浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题

宁波市2023学年第一学期期末考试高三数学试卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．设为虚数单位，且，则（）A．B．C．D．3．已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（）A．24种B．36种C．72种D．96种5．已知是奇函数，则（）A．1B．C．2D．6．已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（）A．B．C．D．7．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（）A．B．C．D．8．在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体．作一平面分别与交于点．若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小題给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示．月份123456生产总值303335384145根据上表可得到回归方程，则（）A．B．与正相关C．若表示变量与之间的相关系数，则D．若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元10．已知函数的部分图象如图所示，，则（）A．B．在区间上单调递增C．在区间上既有极大值又有极小值D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位11．已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（）A．以点为直径端点的圆与轴相切B．当最小时，C．当时，直线与圆相切D．当时，以为圆心，线段长为半径的圆与圆相交公共弦长为12．已知函数满足：对，都有，且，则以下选项正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为____________．（用数字作答）．14．某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________．15．“PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________．16．已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在中，内角所对的边分别为．已知．（1）求的大小；（2）若，求的面积．18．（12分）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．19．（12分）如图，在四棱雉中，底面，，点在上，，过点作的垂线交于点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．20．（12分）已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分．（1）若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量．（i）求；（ii）求使得取最大值时的整数；（2）若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）．22．（12分）已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．（i）求证：为定值；（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C2．D3．A4．C5．D6．B7．B8．A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．ABD10．AB11．AD12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．4014．9215．16．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1）由，结合正弦定理，得，即，因为，所以，即．（2）因为，所以．利用正弦定理得．而，故的面积为．18．（1）由题知，，当时，，所以，曲线在处的切线方程为．（2）由题意，原不等式等价于，即，当时，对任意，不等式恒成立．当时，原不等式等价于，设，则，设，因为，所以存在唯一，使得，即．当时，单调递减，当时，单调递增，故，即．综上所述，的取值范围为．19．（1）因为平面平面，所以．又因为，且，所以平面，又平面，所以，而，且，所以平面．（2）如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，则．由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，即，解得，取，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角余弦值为．20．（1）由，取，得，即．由，得，即．解得，则．（2）．，两式相减，得到，即．因为，所以，故不存在正整数，使得成等比数列．21．（1）（i）因为，所以．（ii）因为．．令，解得，所以当时，最大，此时．（2）由题知，选项不能同时选择，故小明可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为，每种情况出现的概率均为．正确答案是三选项的可能情况为，每种情况出现的概率为．若小明做出的决策是单选，则（分），（分），若小明做出的决策是双选，则（分），（分）．若小明做出的决策是三选，则（分）．经比较，小明选择单选或单选的得分期望最大，