函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（课时训练）（教师用）-秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题03函数的基本性质的灵活运用（单调性与奇偶性）A组基础巩固1．（2020·全国高三专题练习）函数的单调递减区间是A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，结合二次函数与幂函数的单调性可得结果.【详解】由可得或，函数的定义域为，设，则，是单调递增函数，在定义域上的减区间，即为函数的单调减区间是，故选A.【点睛】本题主要考查幂函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.2．（2019·全国高三专题练习）函数的单调递增区间是()A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】结合绝对值的含义与二次函数的性质，可画出函数的图象，即可求出函数的单调递增区间.【详解】，当或时，；当时，，如图所示，函数的单调递增区间是和.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，属于基础题.3．（2020·深圳市龙华高级中学高一期中）已知在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，在各自的区间上均应是减函数，且当时，应有，求解即可．【详解】由已知，在上单减，∴，①在上单调递减，∴，解得②且当时，应有，即，∴

③，由①②③得，的取值范围是，故选B．【点睛】本题考查分段函数的单调性，严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小．特别注意的最小值大于等于的最大值，属于中档题.4．（2020·四川省泸县第四中学高一月考）下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.【详解】.显然该函数为奇函数；时，为增函数，时，为增函数，且该函数在R上为增函数，即该选项正确；.，为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意；.为一次函数，不是奇函数，不符合题意；.为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是减函数，不符合题意；故选：.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，定义是解决该类题目的基本方法熟记基本函数的相关性质是解题基础，是基础题.5．（2020·凌海市第三高级中学高二月考）已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，在区间上是单调增函数，区间在对称轴的右面，即，实数的取值范围为.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.6．（2021·黑龙江鹤岗一中高二期末（文））设函数,则使成立的的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．7．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行8．（2019·广西大学附属中学高一期中）设是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：因为当时，，所以.又因为是定义在R上的奇函数，所以.故应选A.考点：函数奇偶性的性质.9．（2020·福建省罗源第二中学高一月考）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案．【详解】解：∵对任意的恒成立，∴在上是减函数，又，∴当时，，当时，，又是偶函数，∴当时，，当时，，∴的解为．故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．10．（2020·陕西西安一中高一月考）已知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】B【分析】结合函数的奇偶性与单调性得f（x）在[0，+∞）上为减函数，由f（3）＝0，可得f（1﹣2x）＞0⇒f（1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，解得x的取值范围即可．【详解】根据题意，因为f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，由f（3）＝0，则不等式f（1﹣2x）＞0⇒f（1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）.故选B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．11．（2020·广东高一期末）函数在是减函数，则实数a的取值范围是______【答案】【分析】根据单调性确定二次函数对称轴与定义区间位置关系，解得结果.【详解】因为函数在上是减函数，所以对称轴，即.故答案为：【点睛】本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属基础题.12．（2020·黑龙江建三江分局第一中学高一月考）函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数的取值范围．【详解】因为函数是上的单调递减函数所以满足解不等式组可得即所以选A【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题．13．（2020·随州市第一中学高一期中）已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】由，及可得．【详解】因为是增函数，所以，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在定义域上单调，需满足所有段同单调，相邻端点处的函数值满足相应的不等关系．14．（2020·江西鹰潭一中）函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为______________.【答案】【详解】由已知为二次函数且对称轴为轴，∴，即．再根据函数在单调递增，可得．令，求得或，故由，可得或，故解集为．15．（2021·全国高三专题练习）若函数为奇函数，则=________【答案】【分析】根据，即可整理化简求得结果.【详解】由函数f(x)为奇函可得，,∴=，∴,∴,∴,即.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数值，属基础题.16．（2020·六安市裕安区新安中学）已知，若，则_________．【答案】【解析】试题分析：设，则，所以函数为奇函数，由，则，则，则，所以．考点：函数奇偶性应用．17．（2020·北京景山学校远洋分校高一月考）已知函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；（2）由函数的单调性即可得函数最值.试题解析：（1）解：在区间上是增函数.证明如下：任取，且，.∵，∴，即.∴函数在区间上是增函数.（2）由（1）知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为.点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；（4）下结论.18．（2019·陕西高一期中）已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值.【答案】（1）减区间，增区间；（2）.【分析】（1）分析二次函数图象的开口方向和对称轴可得出该函数的减区间和增区间；（2）分析二次函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值.【详解】（1）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，当时，函数取得最大值.【点睛】本题考查二次函数单调区间和最值的求解，要结合二次函数图象的开口方向和对称轴来分析二次函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.B组能力提升19．（2020·全国高三专题练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________．【答案】【解析】【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）即可求解f（x）的解析式【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0；当x＞0时，f（x）=x2﹣4x；那么：x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣4（﹣x）]=﹣x2﹣4x，∴f（x）=【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了函数解析式的求法，属于基础题.20．（2020·西安市阎良区关山中学高一期中）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有．（1）求的值；（2）解不等式.【答案】（1）（2）．【分析】（1）根据，令，即可得出的值；（2）由，都有知为上的减函数，根据的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出的范围即可.【详解】（1）令，则，.（2）解法一：由，都有知为上的减函数，且，即.∵，且，∴可化为，即＝，则，解得.∴不等式的解集为．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.21．（2020·黑龙江大庆中学高一期中）若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对时恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）通过赋值法求得，然后令，利用“时，”这一条件，可证得.（2）令，通过赋值法得，根据（1）的结论可得，由此证得函数为减函数.（3）通过赋值法求得，将题目所给不等式右边变形为后，利用函数的单调性可区间函数符号，变为一元二次不等式在区间上恒成立的问题来解决.【详解】(1)证明：证法1：令y＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.当x<0时，f(x)>1，－x>0.f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，则．故对于x∈R恒有f(x)>0.证法2:.∵f(x)为非零函数，∴f(x)>0.(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x1<0，则f(x2－x1)>1，故，又f(x)>0.∴f(x2)>f(x1)．故f(x)为R上的减函数．(3)f(4)＝＝f(2＋2)＝f2(2)⇒f(2)＝，则原不等式可变形为f(x2－2ax＋2)≤f(2)，依题意有x2－2ax≥0对a∈[－1,1]恒成立．∴∴x≥2或x≤－2或x＝0.故实数x的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．【点睛】本小题主要考查抽象函数单调的证明，考查利用抽象函数单调性解决不等式恒成立问题.属于中档题.22．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝为奇函数．(1)求b的值；(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.【答案】(1)b＝0；(2)见解析；(3)【分析】(1)根据，求得的值；(2)由(1)可得，再利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数；(3)由题意可得，再根据函数在区间上是减函数，可得，由此求得的范围．【详解】(1)∵函数为定义在上的奇函数，经验证b＝0符合题意；(2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上是减函数．证明:设，则有，，可得，，，,即函数在区间(1，＋∞)上是减函数．(3)由不等式可得，再根据函数在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，解得：，故不等式的解集为.23．（2020·福建省平和第一中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）用定义证明在上为增函数；（Ⅲ）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．.【分析】（Ⅰ）可