函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（重难点突破）（教师用）-秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题03函数的基本性质的灵活运用（单调性与奇偶性）考情分析考点梳理1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2、函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.3、函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．4、函数的奇偶性（1）．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（2）．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括，则．（4）若函数是偶函数，则．（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数为偶函数，函数为奇函数．②函数（且）为奇函数．③函数（且）为奇函数．④函数（且）为奇函数．5、函数的周期性1．周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3．函数周期性的常用结论设函数，.①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为；④若，则函数的周期为；⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为；⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为6．奇偶函数图象的对称性①若是偶函数，则的图象关于直线对称；②若是偶函数，则的图象关于点中心对称；三、题型突破重难点1判断或证明函数的单调性1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。2．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．例1．（1）（2020·全国高一课时练习）函数在上是减函数.则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的性质，得出，即可求解.【详解】由题意，函数在上是减函数，根据一次函数的性质，则满足，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查利用一次函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记一次函数的性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.（2）．（2021·全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数的对称轴，再由二次函数的图象和条件列出关于的不等式．【详解】解：函数的对称轴为：，函数在区间上是增函数，，解得，故选：．【点睛】本题考查了二次函数的图象及单调性的应用，属于基础题．（3）．（2021·宁夏贺兰县景博中学高二期末（文））若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.【变式训练1-1】．（2021·全国）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围【详解】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D【变式训练1-2】．（2019·黑龙江鹤岗一中高三开学考试（文））若是的增函数,则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数是上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点处的函数值大小，即，然后列不等式可解出实数的取值范围．【详解】由于函数是的增函数，则函数在上是增函数，所以，，即；且有，即，得，因此，实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．例2．（2020·全国高一课时练习）函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.故选C.【变式训练2-1】．．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）函数，则满足＜的取值范围是A． B．［，）C．（，） D．［，）【答案】D【详解】函数，＜，故答案选D.点睛：这是抽象函数解不等式问题，没有表达式，要解不等式，只能是赋值法；这个题目，利用函数单调性直接比较括号内自变量的大小关系，列出不等式：注意定义域是，因此还要加上.重难点2判断或证明函数的奇偶性1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：（1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.例3．（1）（2018·湖北高三月考（文））函数是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出的值.【详解】由题得，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).（2）．（2021·安徽省亳州市第一中学高一月考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.(3)．（2020·北京市第四十四中学高一期中）若函数为偶函数，则a=A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1,选C【变式训练3-1】．（2021·全国高一课时练习）若函数为奇函数，则=（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得.【详解】∵为奇函数，∴，得．

故选：A.【变式训练3-2】．（2020·江西宜春九中高一月考）函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为A． B．C． D．【答案】D【分析】易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，即f（3）＝0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．【变式训练3-3】．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1）【答案】B【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,【详解】首先函数定义域是R，再者根据和偶函数在区间上单调递增，可得，解得，故选B.【点睛】本题是基础题，考查偶函数的性质.【变式训练3-4】．（2020·衡阳市第二十六中学高一期中）奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）．A． B．C． D．【答案】A【详解】因为函数式奇函数，在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数，再根据可画出函数在上的图像，根据对称性画出在上的图像．根据图像得到的解集是：．故选A．重难点3利用函数的单调性或奇偶性求函数解析式或参数例4．（1）（2020·全国高三专题练习）已知，则满足的的取值范围为_______．【答案】【分析】将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】根据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为[，+∞）．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．（2）．（2021·宁夏贺兰县景博中学高二期末（文））函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．A． B． C． D．【答案】D【详解】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.（3）．（2020·桂林市临桂区五通中学高一期中）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为A． B．C． D．【答案】D【详解】由f(x)为奇函数可知，＝<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0<x<1，或－1<x<0.选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内重难点4单调性与奇偶性的综合应用例5．（2020·合肥一六八中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据函数奇偶性可得且；当时，，根据可求得，又满足，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.【详解】（1）是定义在上的奇函数且当时，又满足（2）由（1）可得图象如下图所示：在区间上单调递增，解得：的取值范围为：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限.例6．（2019·北京北师大二附中高一期中）函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）计算，；（2）当时，求的解析式．【答案】(1)f(0)=0,f(-1)=-1；（2）【分析】（1）根据已知条件，得到f(-x)=-f(x),进而得到f(0)，同时利用对称性得到f(-1)的值．（2）令则则，结合性质得到结论．【详解】（1），（2）令则则，又函数f(x)是奇函数所以【点睛】本题主要是考查函数奇偶性和函数的解析式的运用．解决该试题的关键是利用奇函数的对称性得到x<0的解析式，进而分析得到特殊的函数值．属于基础题．例7．（2019·上海市实验学校高三月考）已知函数是定义域为上的奇函数，且(1）求的解析式.(2)用定义证明：在上是增函数.（3）若实数满足，求实数的范围.【答案】(1)；(2)见证明；(3).【分析】(1)首先根据函数是定义域在上的奇函数可计算出的值，然后根据可计算出的值，即可得出结果；(2)可根据增函数的定义，通过设并计算的值得出结果；(3)可通过奇函数的相关性质将转化为，然后列出算式即可得出结果．【详解】(1)因为函数是定义域在上的奇函数,所以，，因为，所以，．(2)在任取，设，即，则，因为，所以，，即当时，，在是增函数．(3)由题意可知，所以，即，解得．【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查奇函数的相关性质以及增函数的证明，奇函数有，可以通过增函数的定义来证明函数是增函数，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题．重难点5抽象函数的单调性与奇偶性例8．（2020·全国高三专题练习）设是定义在上的函数，且对任意，恒有.（1）求的值；（2）求证：为奇函数；（3）若函数是上的增函数，已知,且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）【分析】（1）通过令，即可得到的值；（2）先判断定义域，然后考虑令，根据题设条件得到，即可完成证明；（3）利用条件将变形为两个函数值之间的大小关系，利用函数的单调性列出不等式求解出实数的范围.【详解】（1）令，所以，所以；（2）因为的定义域为关于原点对称，令，所以，所以，所以是奇函数；（3）令，所以，又因为，所以，所以，又因为函数是上的增函数，所以，所以，即.【点睛】本题考查抽象函数的求值、奇偶性证明以及根据函数单调性解不等式，难度一般.抽象函数在求值或者证明时，一般选用“令值”的方式，将抽象的等式关系转变为待求的值或者待证明的问题.例9．（2019·辽宁高三月考（理））已知定义域为，对任意都有，当时，，.（1）求和的值；（2）试判断在上的单调性，并证明；（3）解不等式：.【答案】（1），；（2）见解析；（3）【分析】（1）令代入，即可求出；令代入，即可求出；（2）根据函数单调性的定义，结合题中条件，即可判断出结果；（3）根据题意，将原不等式化为，再由（2）的结果，即可求出不等式的解集.【详解】（1）因为对任意都有，所以，令，则，所以；令，则，因为，所以；（2）任取，则，，当时，，，在上单调递减；（3）因为，所以原不等式可化为；即，由（2）可得，解得或；即原不等式的解集为.【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，抽象函数单调性的判定，以及根据函数单调性解不等式等问题，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型.【变式训练9-1】．（2019·安庆市第二中学）f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．【答案】(1)0,(2)见解析(3)(4)【分析】（1）利用赋值法令x=y，进行求解即可．（2）利用抽象函数的关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可．（4）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据f（4）=2，结合f（）=f（x）﹣f（y），赋值x=16，y=4，代入即可求得f（16），从而求得f（x）在[1，16]上的值域【详解】（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=0，x＞0（2）设0＜x1＜x2，则由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（），∵＞1，∴f（）＞0．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数（3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2，原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴解得0＜x＜．故原不等式的解集为（0，）（4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函数．∴f（x）min=f（1）=0，f（x）max=f（16）．∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4），∴f（16）=2f（4）=4，∴f（x）在[1，16]上的值域为[0，4]【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．【变式训练9-2】．（2019·河北正中实验中学）设是定义在上的函数，满足，当时，．（）求的值，试证明是偶函数．（）证明在上单调递减．（）若，，求的取值范围．【答案】(1)；证明见解析.(2)证明见解析.(3).【解析】分析：（1）先求得，再求得，令，则，从而可得结论；（2）设，，，，∵，则，即，从而可得结果；(3)求得，可得，化为，从而可得结果.详解：（）∵令得∴．令，，，，令，则．即是定义在上的偶函数．（）∵，∴，设，，，，∵，则，即，即在上单调递减．（）∵，∴，∴，∵为偶函数，且在上单调递减，∴，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.四、定时训练（30分钟）1．（2020·陕西高一期末）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用奇函数偶函数的判定方法逐一判断得解.【详解】A.函数的定义域为R,关于原点对称，,所以函数是偶函数；B.函数的定义域为，关于原点对称.,所以函数是奇函数；C.函数的定义域为R,关于原点对称，,所以函数是偶函数；D.函数的定义域为R,关于原点对称，，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数.故选D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．（2020·定远县育才学校高一月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则A．9 B．-9 C．45 D．-45【答案】C【分析】函数为奇函数，有，再把代入已知条件得到的值.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以.【点睛】本题考查利用奇函数的定义求函数值，即，考查基本运算能力.3．（2020·全国高一课时练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据单调函数的定义直接得到答案【详解】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是故选：C【点睛】本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题4．（2021·全国高一课前预习）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数，C.在区间上单调递增函数，故选A．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．5．（2021·全国）函数在单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为函数在单调递增，则，解得.故选：A.6．（2021·全国高三专题练习（文））若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义