第10题 导数在函数中的应用（原卷版）【2023高考】2022年高考数学真题逐题揭秘与以例及类（新高考全国Ⅰ卷）

第10题导数在函数中的应用

一、原题呈现

【原题】已知函数/(x)=x3—X+1,则

A./(X)有两个极值点B./(X)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D,直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

【答案】AC

【解析】由/(幻=/一》+1得/〈x)=3f-l,令/，(x)>0得工〉#或

令f\x)<0得〈手，所以/(x)在(—乎,当)上单调递减，在(—8,-g),(管,+8)上单调递增,

所以x=±且是极值点，故A正确；

3

因/(-日)=1+孚>0"g)=l-苧>0,/(-2)=-5<。.

所以，函数“力在-8,一理)」.有一个零点.

当“也时,/(x)2/再>0,即函数〃x)在率+8上无零点，

综上所述，函数"X)有一个零点，故B错误；

令h(x)=x3-x,则/?(-%)=(-x)3-(--V)=-x3+x=-/i(x).

则/?(x)是奇函数,(0,0)是的对称中心，

将〃(x)的图象向上移动一个单位得到/*)的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/(幻的对称中心，故C正确；

令/'(x)=3/_l=2,可得x=±l,又/⑴="—1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-l,当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x+3,

故D错误故选AC.

【就题论题】导数是研究函数性质的有力工具，可以用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点，可以

利用导数的几何意义研究曲线的切线，本题虽然涉及极值、零点、切线、对称中心，但所选函数为同学们

熟悉的三次函数，故难度不大，求三次函数对称中心有一个结论：设/'(X)的导函数为/"(X),方程/'(x)=0

的根为％,则(々>就是/(x)图象的对称中心.

二、考题揭秘

【命题意图】本题考查导数在研究函数性质中的应用，考查逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.

【考情分析】导数在往年的高考中一般有1-2道客观题，1道解答题，今年的试卷有5道题涉及导数，这虽

然体现了导数的工具性，但也确实有点反常，估计明年涉及导数的题会有3道左右。

【得分秘籍】

1.函数的单调性

在某个区间伍力)内，如果/(x)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增；如果那么函数)'=/(x)在这个

区间内单调递减.

2.确定函数单调区间的步骤

⑴确定函数4x)的定义域.

(2)求)(分

(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.

(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3.在某区间内/(x)>0(/(x)<0)是函数段)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.可导函数段)在(9)上是

增(减)函数的充要条件是对Vxe①,圾都有/(x)NO(Ax)WO)且/(X)在m力)上的任何子区间内都不恒为零.

4.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

⑴定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.

(2)注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义

域内的间断点.

(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“U”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.

5.求可导函数极值的步骤

①求」(x)；

②求方程/(x)=0的根；

③考查了(X)在方程八》)=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么./U)在这个根处取得极大

值；如果左负右正，那么«r)在这个根处取得极小值.

6.对于极值的认识

(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是

端点.

(2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.

(3)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y=f(x)在一点的导数值为

零是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件,而非充分条件.”所以已知函数极值点或极值求参数,根据极值点处

导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

(4)可导函数f(x)在点xo处取得极值的充要条件是f(xo)=O,且在点xo左侧和右侧f(x)的符号不同.

(5)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为

7.函数“X)在(4,3有意义,则/(月在(4力)上有极值0/("在(氏3上不单调；在(〃力)没有极

值Of(x)在(4力)上单调.

8.函数的最值

在闭区间口⑸上连续的函数人x)在口⑸上必有最大值与最小值.求函数段)在［凡句上的最大值和最小值的步

骤

(1)求函数在(。力)内的极值.

(2)求函数在区间端点的函数值火4)班份.

⑶将函数火X)的极值与形)〃力比较淇中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

9.用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零

点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,

结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的

对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间区

别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.

10.三次函数是高考的一个热点，有必要了解三次函数的一些性质：

(1)三次函数的定义域与值域都是R；

222

(2)三次函数y=ox3+/zr+cx+d(arO)有极值o导函数f(x)=3ar+2/>x+c=0的判别式A=4b-12ac>0.

⑶当A<0时，①若a>0,则f(x)在R上是增函数;②若a<0,则f(x)在R上是减函数.当A>0时，①若a>0,则f(x)的

增区间为(-8,X|)和(X2,+8),减区间为(X|,X2),f(X|)为极大值,f(X2)为极小值;②若a<0,则f(X)的减区间为(-8凶)和

(X2,+8),增区间为(X|,X2),f(X|)为极小值,f(X2)为极大值.(如图所示)

(4)三次方程/(x)=0实根个数

若三次函数/(x)没有极值，则/(x)=0有1个实根；若/(x)有极值(一定是2个)，且2个极值异号，则3次

方程有3个零点，若2个极值同号，则3次方程有1个零点，若1个极值为零，则3次方程有2个零点.

(5)三次函数/(力的图象是中心对称曲线,对函数/(x)进行两次求导，满足了"(加)=0的”正是对称中心函

的横坐标,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质一过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切

的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.

【易错警示】

1.不会利用等价转化思想及导数的几何意义研究曲线的切线

求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点4处的切线方程”的不同.虽只有一字之差,

意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线

方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线，求过某点的切线条数一般也是先设切点，把问题转化为关

于切点横坐标的方程实根个数问题.

2.对极值概念理解不准确致

对于可导函数式x)：沏是极值点的充要条件是在为点两侧导数异号，即/(X)在方程/(x)=0的根xo的左右的符

号：“左正右负在均处取极大值；“左负右正”<;段)在出处取极小值，而不仅是/(xo)=O/(xo)=O是xo

为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑了(xo)=O,又考虑检验“左正右

负”或“左负右正”，防止产生增根.

3.研究含有参数的函数单调性分类标准有误

若函数的单调性可转化为解不等式a(x——W)>°(或<°)(x>°)

求解此类问题，首先根据a的符号进行讨论，当a的符号确定后，再根据是否在定义域内讨论，当司，々都

在定义域内时在根据王,马的大小进行讨论.

三、三年新高考同类题展示

1.(2021新高考全国1卷)函数f(x)=|2x-l|-2/nx的最小值为.

四、以例及类

(以下所选试题均来自新高考1卷地区2022年1月以后模拟试卷)

1.(2022届河北省秦皇岛市高三三模)函数=3/+3-%若存在修4-1,1],使得〃为)>0,则

实数。的取值范围为()

A.（―℃,—1）B.（—oo,l）C.（—1,3）D.（—oo,3）

2.（2022届福建省龙岩市上杭县第一中学高三下学期5月模拟）设实数/>0,若不等式e2H_ln2+lniz。对

t

x>0恒成立，则r的取值范围为（）

3.（2023届湖北省襄阳市第五中学高三上学期返校考）设厂（刈是定义在R上的连续的函数/（x）的导函数，

〃x）-r（x）+2e，<0（e为自然对数的底数），且〃2）=4e2,则不等式/（x）>2疣*的解集为（）

A.（-2,0）U（2,+co）B.（e,+8）

C.（2,+8）D.（—oo,—2）u（2,+<x>）

4.（2023届河北省衡水市深州中学高三上学期第一次月考）已知函数〃力=|12|-±+4有两个零点，则a

的取值范围是（）

5.（2023届福建省宁德市福安市第一中学高三上学期第一次检测）设函数

/（x）=（xf（e,-e）,g（x）=e'-ar-l,其中aeR.若对V/e[0,+oo）,都盯eR,使得不等式/⑻气⑷成

立，则“的最大值为（）

A.0B.-C.1D.e

e

6.（2022届福建省三明市第一中学高三5月质量检测）已知e为自然对数的底数，a,6均为大于1的实数，

若ae"”+。vblnb,则（）

A.b<ea+,B.b>e',+1C.ab<eD.ab>e

7.（2022届山东省潍坊市高三下学期三模）过点「。,小）（〃?£1<）有〃条直线与函数/（可=疣'的图像相切，

当〃取最大值时，加的取值范围为（）

A.--^-</n<eB.--^-</H<0C.--</H<0D.m<e

eee

8.（2022届山东高考考前热身押题）已知函数/。）=/产+|-2此1-依-2,若/（九）20对任意x>0恒成立，

则实数〃的最小值为（）

B.二2

A.C•飞D.&

9.(2023届湖北省九师联盟高三上学期8月开学起点考试)若不等式产-g-2〃-3..0对山£11恒成立,

n

其中加。0,则一的最大值为()

m

A.-g「ln3e

B.-In3eC.In3eD.——

22

10.(2023届湖南省长沙市明德中学高三上学期入学考试)已知20211n〃=a+〃z,20211n/?=0+w,其中标b.

若恒成立，则实数4的取值范围为()

A.（（2021e『,+8）B.（20212,+oo）C.[20212,+»）D.[（2021e）\+8）

11.（2023届湖南省湘潭市高三上学期入学摸底考试）已知«=ysiniZ>=|sin^,c=^-cos1,则（）

6556156

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<a<b

XI

---,X<1

12.(多选)(2023届湖北省襄阳市第五中学高三上学期返校考)已知函数”x)=,:,下列选项正

51nx,

----,x>1

x

确的是()

A.函数f(x)的单调减区间为(ro,l)、(e,+8)

B.函数f(X)的值域为

C.若关于x的方程产(x)-a/(x)|=0有3个不相等的实数根，则实数”的取值范围是g,+e)

D.若关于*的方程/2(x)-4/(x)|=O有5个不相等的实数根，则实数。的取值范围是1,1)

13.(多选)(2023届湖南师范大学附属中学高三上学期第一次月考)已知函数"x)=；aY2+2x-31ar(aeR),

下列说法正确的是()

A.时/(x)存在单调递增区间

B.时/(x)存在两个极值点

C.a,是/(x)为减函数的充要条件

D.VaeRj（x）无极大值

犬+X-1

14.(多选)(2022届湖南省湘潭市第一中学高三下学期3月月考)已知函数/(©=,则下列结论正

-?~

确的是()

A.函数/*)只有一个零点

B.函数Ax)只有极大值而无极小值

C.当-e<%<0时，方程/(幻=4有且只有两个实根

D.若当xe［f,+«>)时，/(幻3=之，则f的最大值为2

e~

15.(多选)(2022届广东省深圳市光明区高级中学高三模拟)若f(x)图像上存在两点A,8关于原点对称，

则点对［AB］称为函数Ax)的“友情点对”(点对［A,B］与