（2020新教材）人教A版数学必修第二册分章节全册单元测试每单元两份

第六章单元质量测评

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时

间120分钟.

第i卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.(石+麻)+(历+南+痂化简后等于()

A.BCB.AB

C.ACD.AM

答案C

解析原式=懑+防+而+施+病=加.

2.设点题一1,2),8(2,3),C(3,-1),且就)=2弱一3反?，则点。的坐标

为()

A.(2,16)B.(-2,-16)

C.(4,16)D.(2,0)

答案A

解析设。(x,y),由题意可知N2)=(x+1,y-2),Aff=(3,l),5C=(1,一

x+l=3,

4),所以2A5-35C=2(3,1)-3(1,-4)=(3,14),所以，c所以

ly—2=14,

x=2,

*

J=16.

3.若向量。=(1,1),6=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a—Z>)-c=30,则x=

()

A.6B.5

C.4D.3

答案C

解析V«=(l,l),6=(2,5),A8«-A=(8,8)-(2,5)=(6,3).又(8。-b>c=

30,(6,3),(3,x)=18+3x=30..'.x=4.

4.设非零向量a,可c满足同=|例=|c|,a+b=c,则向量a,8的夹角为

()

A.150°B.120°

C.60°D.30°

答案B

解析设向量a,b的夹角为仇则|c|2=m+b|2=|aF+向2+2同创cos。，则

cos8=—3.又问0。，180°],所以6=120。.

5.在△N6C中，已知"一be—2c2=0,a=yl6,cosA=l，则△/8C的面积

o

$为()

A.B.y[15

C.D.673

答案A

解析由b1—he—2c2=0可得(6+c)S—2c)=0.

*.b=2c,在△48C中，a2=b2+c2—2bccosA,

7

即6=4〃+/—4c2.d.・.c=2,从而6=4.

o

SAABC

6.向量法=(4,-3),向量比=(2,-4),则△NBC的形状为()

A.等腰非直角三角形B.等边三角形

C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析V5^=(4,-3),比=(2,-4),：.AC=BC-BA=(~2,-1),

Wt商=(2,1)(—2,4)=0,AZC=90°,A\CA\=y[5,\CB\=2y[5,\CA\^\CB\.

，AABC是直角非等腰三角形.

---►>

7.在△/8C中，若|成|=1,|南尸小，|成+南|=|反1，则J)

\BC\

A.—乎B.

C.|D.半

答案B

解析由向量的平行四边形法则，知当|的+式|=|前1时，ZJ=90°.X|A5|

-►-►

=1,\AC\=,故Z5=60°,ZC=30°,|BC|=2,所以=

\BC\

懑|反|cosl20。1

-=-2'

\BC\

8.如图，已知等腰梯形N8C。中，AB=2DC=4,AD=BC=y（5,E是DC的

中点，点尸在线段8C上运动（包含端点），则加•赤的最小值是（）

B.0

D.1

答案A

解析由四边形498是等腰梯形可知cos8=^.设BP=x（OWxW/）,则

CP=小一x.所以丽•丽=（比+丽）•丽=比丽+建•丽=1

X）,X・（-1）=》2一耳Wc.因为OWxW#,所以当时，崩•丽取得最小值一*

故选A.

9.甲船在湖中8岛的正南/处，AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北

方向航行，同时乙船从3岛出发，以12km/h的速度向北偏东60。方向驶去，则

行驶15分钟时，两船的距离是（）

A.巾kmB.yjTikm

C.V19kmD..10-3小km

答案B

解析如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知NM=8X^

=2,8N=12X而=3,MB=AB-AM=3-2=U所以由余弦定理，得脑6=

22

JW5+5^-2A/5X57VCOS120°=1+9-2X1X3X(-y)=13,所以MN=\[l3

(km).

10.设向量a与〃的夹角为仇定义a与力的“向量积"：“X〃是一个向

量，它的模|aXA|=|a||臼sin。，若a=(一小,—1),b=(l,4)，则|aXA|=()

A.小B.2

C.2A/3D.4

答案B

d'h—\[3—*\/311

解析cos<9=j^|=_2X2=­25sin^=2'二l"X6|=2X2X]=2.

11.设0W82兀，已知两个向量分i=(cos。，sin，)，苏2=(2+sin，，2-

cos。)，则向量RN长度的最大值是()

A.6B.73

C.3啦D.2小

答案C

解析,/P1P2=OPi—OP\=(2+sin6^—cos^,2—cos。-sin。)，

\P\P2\='\l(2+sin^—cos02+(2—cos0—sin02

=：10—8cosOW3dl

12.已知O为坐标原点，A,8两点的坐标分别为(a,0),(0,a),其中常数

a>0,点P在线段Z8上，且静=/X(0WfWl),则德•励的最大值为()

A.aB.2a

C.3aD.a2

答案D

解析AB=OB—OA=(0,a)—(a,0)=(—a,a),

.'.AP=tAB=(—at,at).

又励=0+静=(a,0)+(—at,at)=(a—at,at),

：.OAOP=a(a-at)+OXat=a2(i-t)(0^t^\).

，当f=0时，1•次取得最大值，为

第II卷(非选择题，共90分)

二'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横

线上)

13.设向量a,〃满足回=2小，8=(2,1),且a与力的方向相反，则n的坐

标为.

答案(一4,-2)

解析设a=（x,y）,x<Q,y<0,则x—2y=0且/+产=20,解得》=一

4,y=-2.即a=（—4,—2）.

14.在△ZBC中，角/,B,。所对的边分别为a,h,c,若涵•衣=扇・血

=1,那么c=.

答案啦

解析由题知，ABAC+BABC=2,

即养•病一懑抚=养•（病+理）=懑2=20c=|成尸啦.

15.如图，在正方形/8C。中，已知懑|=2,若N为正方形内（含边界）任

意一点，则成•病的最大值是.

答案4

解析AB-AN=\AB\\AN\-cosZBAN,丽cosNB/N表示俞在懑方向上的

投影，又诵|=2,...养•布的最大值是4.

16.若等边三角形43c的边长为2小，平面内一点M满足改=石。+]d1,

则必•而=.

答案一2

解析以N3所在的直线为x轴，48的垂直平分线为y轴，建立如图所示的

平面直角坐标系，则A,B,C三点的坐标分别为（一，5,0）,（木,0）,

（0,3）.设〃点的坐标为（x,刃，则加=（x,y-3）,CB=（yf3,—3）,第=（一小,

—3）,又4/=上理+:dI,即（x,夕—3）=（—坐，一§,可得坐，；），所

以同=（一坐，—g）,所以必•曲=-2.

三'解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或

演算步骤)

17.(本小题满分10分)在△Z8C中，角/,B,。所对的边分别为a,h,c

且6sinB=asmA+(c—a)sinC.

(1)求8；

(2)若3sinC=2siM,且△Z8C的面积为6s，求6.

解⑴由bsin5=asin/4+(c—q)sinC及正弦定理，

得b2=a2+(c-a)c,即a1+ci—b1=ac.

，入口、…山z„/+c2——J

由余弦正理，何Bcos5=­茏一=2a^c=2-

JT

因为86(0,7t),所以8=].

JT

(2)由(1)得B=1,

所以△Z8C的面积为于csin8=*-qc=6S，得ac=24.

由3sinC=2sirb4及正弦定理，得3c=2a,

所以Q=6,C=4.

由余弦定理，得b2=a2+c2—2accosB=36+16—24=28,

所以6=2巾.

18.(本小题满分12分)如图，平行四边形45C。中，AB=a,AD=b,H,

M分别是Z。，。。的中点，F为BC上一点,且8尸=g8C.

(1)以a,6为基底表示向量/法与林;

(2)若同=3,网=4,a与〃的夹角为120。，^AMHF.

解(1)由已知，得施=疝+翁=%+4

连接NE,\'AF=AB+BF=a+^h,

\HF=HA+AF'=—^b+[a+\b^=a—^b.

⑵由已知，得a-Z>=|a||A|cosl20°=3X4X=-6,从而加•彷=

斗|2+»力一剂=gx32+1|x(—6)—]x42=一杀

19.(本小题满分12分)如图，在△0/8中，P为线段上一点，且办=

xOA+yOB.

B

(1)若办=丽，求x,y的值；

(2)若苏=3而，|O4|=4,|加|=2,且总与访的夹角为60°,求舁•感的

值.

解⑴若弄=而,则①=提%+g(宓，

故x=y=^.

(2)若办=3丽，

则。＞=a+/=鼻(宿一少0

=1o4+|(9S,

OPAB=[^pA+^)B^(OB-OA)

^—^O^—^jOAOB+^OB2

=—^X42—^X4X2Xcos60°+^X22=—3.

20.(本小题满分12分)已知向量”1=(小sig,1),〃=(cos泰，cos?；),函数

fix)=mn.

(1)若风丫)=1,求cos伶一x)的值；

(2)在△/BC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosC+%=

h,求/(8)的取值范围.

解由题意，得yu)=，5si€cos/+cos7

(X1

(1)由次x)=l,得sinG+^|=］，

则cos停一x)=2cos2停g)一］

=2sin(f+f)-l=-1.

⑵已知4cosc+*=6,由余弦定理，得

2221

即b+c—a=bc,则cosA=2bcT

7T

又因为4为三角形的内角，所以

从而8+。=专，易知0<8<与，o《q.

El兀5.7171

贝监<5十个5

所以l<sin(f+f)+!<|,

故型)的取值范围为(1,1).

21.(本小题满分12分)在四边形4BCZ)中,港=(6,1),BC=(x,y),CD=

(—2,—3),BC//DA.

(1)求x与丁的关系式；

(2)若衣，防，求x,y的值以及四边形的面积.

解(1)如右图所示.

因为疝=懑+比+前=(刀+4,y-2),

所以应=—AD=(—x—4,2—y).

又因为比〃而，BC=(x,y),

所以x(2—y')—(—x—4)y=0,

即x+2y=0.

(2)JC=A5+5C=(x+6,y+l),

BD=BC+CD=(x-2,y-3).

因为衣，与方，所以衣•应)=0,

即(x+6)(x—2)+(y+l)(y—3)=0,

所以:^一27一3=0,所以y=3或y=-l.

当y=3时，x=—6,

于是比=(-6,3),充=(0,4),筋=(一8,0).

所以瑟1=4,|应)|=8,

所以SABCD=^AC^[BD\=16.

当y=~\时，x=2,

于是有病=(2,-1),就=(8,0),册=(0,-4).

=

所以0(71=8,\BD\4,SBHI»ABCD=16.

=­6,x=2,

“或।

=34=-1,

S四边形ABCDt=16.

22.(本小题满分12分)已知向量〃=(cosa,sina),6=(cos/?,sin份,且Q,

〃满足关系|3+〃|=市]”一涉代>0).

(1)求。与〃的数量积用k表示的解析式人左)；

(2)4能否和〃垂直？a能否和8平行？若不能，则说明理由；若能，则求出

相应的左值；

(3)求”与〃夹角的最大值.

解(1)由已知同=回=1.

'/\ka-\-b\—~\^>\a-kb\,(ka+Z>)2=3(a—^6)2,

.,.的呼+2切力+向2=3(同2-2总力+妁川2),

,M+1

8履力=2庐+2,.；/(左)=ah=-^~(k>0).

⑵■.•田/因>0,

二.a与力不可能垂直.若a〃6,由a力>0知a,8同向，

于是有ab=|a||*|cos0°=|a||6|=1,

pU-1

即可一=i,解得上=24.

一■AC

二当左=2士小时，a//h.

a.b%2—|—i

(3)设“与〃的夹角为仇则cos0=■^丽=4力=—以一(左>0),

又o°wewi8o°,

:.a与b夹角。的最大值为60°.

第六章单元质量测评

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时

间120分钟.

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列等式恒成立的是()

—►—►

A.AB+BA=0

―►-A-A

B.AB-AC=BC

C.{ab\c=a\bc)

D.(a+by-c=ac+b-c

答案D

解析由数量积满足分配律可知D正确.

2.△N8C的三个内角4B,。所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a

+c,b),q=(b-a,c-a).若p〃q,则角C的大小为()

兀71jt2兀

A6B3C2DT

答案B

解析p//q=(a+c)(c—d)—h(h—a)=0,

-1

即c2^a2—b2+ah=0^-------------=/=cosC,

TT

VO<C<71,...C=].故选B.

-►-A-A

3.在五边形Z5C0E中(如图)，AB+BC-DC=()

I)

B

A.ACB.AD

C.BDD.BE

答案B

解析AB+BC~DC=AC+CD=AD.

4.已知a+b=(2,-8),a—b=(—8,16),则a与b之间的夹角的余弦值为

()

6363八635

A65B--65°•士希D-13

答案B

解析由a+b=(2,-8),。-6=(—8,16),得a=(—3,4),6=(5,-12),

1久2

所以同=5,|旬=13,ab=~63,故cos<a,b'=亡力=一行.

5.已知i=(l,0),/=(0,1),则与万+y垂直的向量是()

A.3z+2/'B.-2z+3/-

C.-3z+2/­D.2i~3j

答案C

解析2i+》=(2,3),选项C中一3i+2/=(—3,2).因为2X(—3)+3X2=0,

所以2/+3/与-3i+2)垂直.

6.在△48C中，三个内角4,B,C所对边分别为a,b,c,若(b—c)sin5

=2csinC且a=，T5，cosJ=g,则△45C的面积等于()

A皿

A.2B.V39C.3V13D.3

答案A

解析由正弦定理，得(6—，)力=2。2,得〃一命一2c2=0,得6=2。或b=

-C(舍去).

由a2=b2+c2—2bccosA,得c=2,则h=4.

由c°T知,siM=曙

11AHQA/39

所以3^80=与6晶必=弓乂4乂2乂七一=七一.故选A.

/ZZoz

7.向量a与A不共线，AB=a+kb,AC=la+h(k,/ER),且与NC共

线，则鼠/应满足()

A.k+l=0B.k—l=0

C.kl+l=0D.H—1=0

答案D

解析因为N8与NC共线，所以设/C=M8(，eR),即la+b=2.(a+kb)=Xa

+Xkb,所以(/—/l)a+(l—就涉=0.因为a与6不共线,所以/—2=0且1—求=0.

消去见得1一优=0,所以左/一1=0.

8.在直角梯形/BCD中，AB//CD,ADLAB,Z5=45°,AB=2CD=2,

M为腰8。的中点，则)

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析由已知得8C=啦，Z5CZ)=135°,

=^X坐Xcosl80°+坐X1Xcosl35°+2X乎Xcos45°+2X1Xcos0°=2.

9.已知同=2步|#0,且关于x的方程/+同%+4力=0有实根，则a与b夹

角的取值范围是()

-71兀

A.0,4B仔兀

「兀

D.4,兀

答案B

解析设。与6的夹角为仇

,.,/=|aF—4”620,:.a,bW},

.a-h\a\21

••C0S^a=m^4|a||&r2-

71

V61e[0,7i],：Uy7t

ABAC1

10.则4

|幽\AC\

Z8C的形状是（）

A.三边均不相等的三角形

B.等腰直角三角形

C.等边三角形

D.以上均有可能

答案C

（一一、

ARAC

解析V笠+今-4。=0,二/工的平分线所在的向量与8C垂直，所以

卜第\AC\）

JOAT1

△ZBC为等腰三角形.又二•二=],

\AB\\AQ

]jr

.•・cos/=1,故△NBC为等边三角形.

11.在△/8C中，BABC=3,S^BCW［坐，岁］,则B的取值范围是

)

兀7t兀7t

A.不3B-6*4

喝717T兀71

3D.2

答案C

,3

解析由题意知QC,COS5=3,所以

113

SZVIBC=产7,siafi=1XXsiafi=

坐，上^］,所以tan5G堂小,

因为SAXBCG

所以妹I，全.故选C.

12.设两个向量a=(A+2,一一cos2(z)和b=\m>y+sinaj,其中X,m,a

为实数，若a=2b,则5的取值范围是()

A.[-6,1]B.[4,8]

C.（-8,1]D.[-1,6]

答案A

2+2=2加，

解析由a=2b,得<

A2—cos2a=w+2sina,

J2—2m—2,

所以[乃一/n=cos2a+2sina,

又cos2a+2sina=—sin2a+2sina+1=-（sin。-l）2+2,

所以一2Wcos2a+2sinaW2.

所以一203一加〈2.

将#=（2加一2）2代入上式，

得一2＜（2加-2）2—mW2,

解得；

22m—2=2-^e[-6,l].

所以mm

第II卷(非选择题，共90分)

二'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横

线上)

13.已知在△Z8C中，a+b=小,〃=卡S=4,则。的值为•

答案3小一3也

解析由正弦定理，得6=噜萼=半/由a+b=a+*'a=小,解得a=

S111/1JD

34一3啦.

14.已知向量a=(2,1),6=(1,-2).若〃以+泌=(9,一8)(加，M£R),则

m—n的值为.

答案一3

解析由向量a=(2,1),6=(1,—2),得ma-\-nh=(2m-\-n,m—2〃)=(9,

2m+n=9,\m=2,

—8),贝g__o解得彳__故〃=—3.

jn—2n=-8,[〃=5,

15.设。在△Z8C的内部，点。，E分别为边ZC,8C的中点，且|0。十

—►->-->■-A

2OE\=\,则|ON+2O8+3OC|=^.

答案2

-A-A-A-A-A—>—A

解析如图所示，易知+208+3OC|=|CM+OC+2(OB+OC)|=

—>-A->—A

\1OD+4OE\=2\OD+20E|=2.

16.△ZBC是边长为2的等边三角形，已知向量a,6满足4?=2a,AC=

2a+b,则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).

—►-►

①a为单位向量；②b为单位向量；③小6；@b//BC；⑤(4a+b)_L8c

答案①④⑤

—►-A-A-►

解析,:AB=2a,AC=2a+b,：.a=^AB,b=8C.又△/8C是边长为2的

—►-►

等边三角形，...lalul,\b\=2,①正确，②，③错误；由b=BC,知b//BC,

-►—►―►—►—►—►—►—►

④正确；4a+h=2AB+BC=AB+AC,：.(4a+byBC=(AB+AQ-BC=-2+2

—►

=0,：.(4a+b)A.BC,⑤正确.故①④⑤正确.

三'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)设间=回=1,初一2臼=3,求|3a+臼的值.

解解法一：：|3a-2加=3,

：.9a2-Ua-b+4b2=9.

又同=|臼=1,：.a-h=y

.*.|3a+Z>|2=(3a+6)2=9层+6a-b+b2

=9+6x|+l=12.

：.\3a+b\=2\f3.

解法二：设a=(xi,yi),b=(x2,yi).

|a|=|6|=l,.，.行+炉=必+贯=1.

,/3。一2b=(3xi—2x2,3yl—2y2),

13a_2b\=y](3xi—2x2)2+(3j^i—2>>2)2=3.

••x\xi~\y\y23.

.\\3a+b\=^/(3xi+X2)2+(3J^I+j2)2

=A/9+l+6xg=2s.

18.(本小题满分12分)在△Z8C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c已

3

知cosC=^.

―►-►

9

(1)若C8C4=2，求△4BC的面积；

(2)设向量x=(2sin,,小)，y=[cosB,cos"且刀〃y，求sin(8一4)的值.

—►—►

9Q

解(1)由C8・C4=],得a6cosc=].

3915

又因为cosC=g,所以仍=五嬴=5・

4

又。为△/BC的内角，所以sinC=:

所以AABC的面积S=JbsinC=3.

(2)因为x//y,所以2sin^cos^=-\/3cos5,

即sin5=5cos3,

因为cosBWO,所以tanB=木.

因为8为三角形的内角，所以8=争

27r271

所以力+C=T，所以/=至一。.

所以sin(5—A)=sin(j—=sinfc—7)

19.(本小题满分12分)已知同|b|=#,a-b——5,c=xa+(1—x)b.

(1)当6_1_。时，求实数x的值；

(2)当|c|取最小值时，求向量。与c的夹角的余弦值.

解(1)•.»_Lc,.\h,c=b'[xa-\-(l—x)6]=xZra+(l—x)/?2=xX(—5)+(1—

x)X5=0,

解得》=发

222

(2)|c|=|xa+(l—x)b|2=，/+2x(1—x)q力+(1-x)6=1Of—10x(1~x)+5(x

-1)2=25X2-20X+5

=25.|)2+1.

2

当x=5时，I。/有最小值1，即|c|有最小值L

此时，c=^a+^h.

4.0=4.俘/+]8)=翁+]々.6

=|xi0+|x(-5)=l,

设向量a,c的夹角为仇当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值cos。

ac_____1____VT5

-|a||c|-ixVTb_10°

20.（本小题满分12分）一架飞机从〃地向北偏西60。的方向飞行1000km到

达8地，然后向C地飞行.设。地恰好在〃地的南偏西60。方向上，并且4C

两地相距2000km,求飞机从B地到C地的位移.

解如下图，设N地在东西基线和南北基线的交点处.

北

则4(0,0),5(-1000cos30°,1000sin30°),

SP5(-50073,500),C(-2000cos30°,-2000sin30°),

即C(—100丽，-1000).

—A

.,.8C=(-50M，-1500).

-A

/.\BC\=y)(-50OJ3)2+(-l500)2=100M(km).

设正南方向的单位向量为/=(0,-1),

—►

贝IeC与正南方向的夹角。满足

—►

cBCj1500J3

cos，=-=丽丽=2，

—►

.,.6>=30°,由图形可知8C的方向是南偏西30。.

21.(本小题满分12分)设a,b是不共线的两个非零向量.

-►—>-A

(1)若。4=2。-6,OB=3a+b,OC=a-3b,求证：A,B,C三点共线；

(2)若8a+祐与人+26共线，求实数上的值；

—►―►—►

(3)若Z8=a+b,BC=2a~3b,CD=2a-kb,且/,C,。三点共线，求k

的值.

-►-A―►—►―►―A

解(1)证明：因为/8=OB—O/=a+26,AC=OC~OA=-a~2b,

所以zc=—N8.又因为4为公共点，所以B,。三点共线.

8=Xk,

(2)^8a+kb=^ka+2b),AGR,贝?

、k=22,

解得

所以实数左的值为±4.

―►—►-►

(3)4C=/B+_SC=(a+6)+(2a—36)=3〃-2b,

—►-►

因为Z,C,。三点共线，所以NC与8共线.

—►-►

从而存在实数〃使ZC=〃CD,

即3a—2b=Ma—kb),

3

〃=亍

4

所以所以左=1

22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知四边形0/8C是等

―►-►

腰梯形，J（6,0）,C（l,市），点M满足点尸在线段8c上运动（包括

端点），如图.

CPB

⑴求/OCM的余弦值；

—►-►-A

（2）是否存在实数九^OA-XOP）1CM,若存在，求出满足条件的实数2

的取值范围；若不存在，请说明理由.

—►―►―►―►―►

解（1）由题意可得。〃=（6,0）,。。=（1,小），OM=go4=（3,0）,CM=（2,

一小），CO=（—1,一小）,

0

所以cos/OCM=cos〈CO,CM)=史!f=兴

IcoilCM

―►

(2)设尸(7,小)，其中1WW5,AOP=(At,y/3A),

-A-►-A

OA~AOP=(6~At,一小力，CM=(2,一小)，

—►—►―►—►—►—►

若(04—2OP)，CM,贝iJ(OZ-2OP)-CM=0,

即12—2/+3%=0=(2f—3%=12,

3

若£=5，则2不存在，

312

若则A=~

Z2t-5

因为re1,|)u(|,5,

-12A

故％G(—8,—12]Uy,+°°J.

第七章单元质量测评

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时

间120分钟.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.i是虚数单位，则氏的虚部是（）

A.；iB.-giC；D.-g

答案c

ii（l—i）1+i1」_1.

-+L

用牛析i+i-（i+i）（i_i）-222

2.若（x—i）i=y+2i,x,yGR,则复数x+yi=（）

A.—2+iB.2+i

C.l-2iD.l+2i

答案B

解析(x—i)i=y+2i即xi+l=y+2i,故y=l,x=2,所以复数x+yi=2+

i.

3.设则团=()

A.2B.小C.啦D.1

答案C

用牛析.z_]+2i_q+2i)(i_2i)_5，

...|z|=\J&)2+(_,2=啦故选c

4.若a,b^R,则复数(/-6°+10)+(一〃+4。-5万对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析复数对应点的坐标为(标-6a+10,—〃+46—5)又因为a2—6a+10

=(a-3)2+l>0,-b2+4b-5=-(b-2)2-1<0,所以复数对应的点在第四象限.

5.已知zi=2—5i,Z2=-3+i,zi,Z2的对应点分别为Pi,Pi,则向量P2Pl

对应的复数为()

A.-5+6iB.5—6i

C.5+6iD.-l-4i

答案B

—►—►—>—>

解析・・・尸2尸1=。尸1一。尸2,，尸2Pl对应的复数为ZLZ2=(2—5i)—(—3+i)

=5—6i.

6.已知复数z=a+bi(i为虚数单位)，集合4={-1,0,1,2},8={-2,一

1,1}.若a,bGACB,则团等于()

A.1BmC.2D.4

答案B

解析因为所以a,6G{-1,1),所以团=>°2+62=啦.

故选B.

7.复数1-1的共朝复数是a+bi(a,b&R),i是虚数单位，则点(a,b)为

)

A.(2,1)B.(2,-1)

C.(1,2)D.(1,-2)

答案A

解析依题意，复数毕=2—i的共舸复数是。+历=2+i,点（a,b）即为

（2,1）.故选A.

8.已知i为虚数单位，复数z=2i（2—i）的实部为a,虚部为b,则log/等

于（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析z=2i(2—i)=2+4i,.,.a=2,h=4,logaZ?=log24=2.

9.已知复数zi=w+2i,z2=3—4i,若言为实数，则实数加的值为（）

83_83

A.§B，2C.—D.~2

答案D

zi〃z+2i(m+2i)(3+4i)37%—84加+6.zi上

解析因为2=-=―25—又£为实数，所

Z2

4/«+63

以

25=0,即m=~2-

10.设a,bdR.“a=0”是“复数”+6i是纯虚数”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当。=0时，若6=0,则a+bi是实数，不是纯虚数，因此“。=0”

不是“复数。十历是纯虚数”的充分条件；而若。十历是纯虚数，则实部为0,

虚部不为0,可以得到。=0,因此％=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要条

件.故％=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.

11.若1+啦i是关于x的实系数方程f+bx+c=0的一个复数根，则（）

A.b=2,c=3B.b=-2,c=3

C.b=-2,c=-1D.b=2,c=—\

答案B

解析因为1+啦i是实系数方程x2+hx+c=0的一个复数根，所以1一地

i也是方程的根，则1+啦i+1—■i=2=—b,（1+啦i＞（l—啦i）=3=c,解得

b=­2,c=3.

12.复数z满足|z+l|=|z—i|,则复数z对应点的集合是（）

A.直线B.线段C.圆D.正方形

答案A

解析由复数模的几何意义可知复数z对应点的集合是到点，（一1,0）,点

8（0,1）距离相等的点的集合，即线段N3的垂直平分线，故选A.

第II卷（非选择题，共90分）

二'填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横

线上）

13.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示

复数z,则复数士的共短复数是——

答案-i

z___2+i(2+i)(l+2i)

解析由图知z=2+i,则1-2i=1-2i=(l-2i)(l+2i)其共舸复数是

14.复数、嗡牌＞°2°的虚部为

答案1

—3小+2i/g］，向i(3小i+2)」_1

解析2+3#i+〔1+广=2+3病+产

=i-1.

15.下面三个命题：①0比一i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互

为共枕复数；③x+yi=l+i的充要条件为x=y=l.其中错误命题的序号是

答案①②③

解析①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共扼复数时其和为实

数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共舸复数；③x+yi=l

+i的充要条件为x=y=l是错误的，因为没有表明x,夕是否是实数.

16.若复数z满足|z-i|W/（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形

的面积为.

答案2it

解析设2=工+»©,y£R),

则由匕一i|W啦可得/,即f+g—1)2^2,它表示以点(0,1)

为圆心，啦为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2兀

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

z2ciz~~I-h

17.体小题满分10分)已知z=l+i,若z2—z+1=LL求实数。，人的

值.

解,.*z2+az+/>=:(l+y+。(1+i)+b=a+6+(2+a)i,

z2—z+1=(1+i>—(l+i)+1=i,

.z2+az+b

・二_2_____]=(2+a)—(a+b)i=1-i,

由复数相等，叱[2+a=1,a=­1,

+g,解得

h=2.

18.(本小题满分12分)已知复数2=一；+监，其共辄复数为

(1)求复数5的模;

(2)求"2的值.

解(1)因为复数Z=-3+半i,

所以Im=1,(也可以先求z的模)

(2)由题意可得1=一；—半i,

=-打察

19.(本小题满分12分)已知复数z=(2+i)加2一署一2(1—i).求实数加取

什么值时，复数z是：(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平

分线上的点对应的复数.

解由于加£R,

所以复数z—(2+i)w2—3加(1+i)—2(1—i)=(2m2—3m—2)+(w2—3加+2)1

[2m2-3m—2=0,

(1)当2