浙江省杭州市锦绣育才教育科技集团2024届八年级数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

浙江省杭州市锦绣育才教育科技集团2024届八年级数学第二学期期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式A．x⩾3 B．x⩾0 C．x⩾1 D．x⩽12．下列事件中，属于必然事件的是（）A．经过路口，恰好遇到红灯； B．四个人分成三组，三组中有一组必有2人；C．打开电视，正在播放动画片； D．抛一枚硬币，正面朝上；3．某学习小组8名同学的地理成绩是35、50、45、42、36、38、40、42（单位：分），这组数据的平均数和众数分别为（）A．41、42 B．41、41 C．36、42 D．36、414．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（）A．3，4，5 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．30，40，505．下列运算,正确的是()A． B． C． D．6．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.60元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元/度计算（未超过部分仍按每度电0.60元/度计算），现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）A． B．C． D．7．如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．将直线y=-2x-3怎样平移可以得到直线y=-2x的是（）A．向上平移2个单位 B．向上平移3个单位C．向下平移2个单位 D．向下平移3个单位9．下面四个应用图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．10．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BA．小于1米 B．大于1米 C．等于1米 D．无法确定11．点关于原点的对称点的坐标为()A． B． C． D．12．小红随机写了一串数“”，数字“”出现的频数是()A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每题4分，共24分）13．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后的直线与y轴的交点坐标是_______.14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．15．如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为_____16．等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为17．如果三角形三边长分别为，k，，则化简得___________．18．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．三、解答题（共78分）19．（8分）甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)图中的t1=分；(2)若乙提速后，乙登山的速度是甲登山的速度的3倍，①则甲登山的速度是米/分，图中的t2=分；②请求出乙登山过程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式．20．（8分）阅读下列材料：关于x的方程：的解是，；即的解是；的解是，；的解是，；请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．21．（8分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题:（1）求PR、PQ的值；（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)22．（10分）如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2，AB＝4，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F．（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值．答：t＝________．23．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6cm，∠BAO＝30°，点F为AB的中点.（1）求OF的长度；（2）求AC的长.24．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．25．（12分）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为,，．若,则正方形EFGH的面积为_______．26．甲，乙两人沿汀江绿道同地点，同方向运动，甲跑步，乙骑车，两人都匀速前行，若甲先出发60s，乙骑车追赶且速度是甲的两倍在运动的过程中，设甲，乙两人相距，乙骑车的时间为，y是t的函数，其图象的一部分如图所示，其中．（1）甲的速度是多少；（2）求a的值，并说明A点坐标的实际意义；（3）当时，求y与t的函数关系式．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解题分析】

直接利用图象，观察图像可知，要求y1=x+b在y2=kx+4的下方，包括交点，就得出不等式【题目详解】解：如图所示：∵一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），∴关于的不等式x+b≤kx+4的解集是：x⩽1．故选择：D.【题目点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确运用数形结合思想是解题关键．2、B【解题分析】分析：必然事件就是一定能发生的事件，根据定义即可作出判断．详解：A、经过路口，恰好遇到红灯是随机事件，选项错误；B、4个人分成三组，其中一组必有2人，是必然事件，选项正确；C、打开电视，正在播放动画片是随机事件，选项错误；D、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，选项错误．故选B．点睛：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3、A【解题分析】

根据众数和平均数的概念求解．【题目详解】这组数据中42出现的次数最多，故众数为42，平均数为：35+50+45+42+36+38+40+428故选A.【题目点拨】此题考查众数，算术平均数，解题关键在于掌握其定义.4、B【解题分析】选项A，，三角形是直角三角形；选项B，，三角形不是直角三角形；选项C，，三角形是直角三角形；选项D，，三角形是直角三角形；故选B．5、D【解题分析】

分别根据同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方和合并同类项法则求出即可．【题目详解】A选项：m•m2•m3=m6，故此选项错误；

B选项：m2+m2=2m2，故此选项错误；

C选项：（m4）2=m8，故此选项错误；

D选项：（-2m）2÷2m3=，此选项正确．

故选：D．【题目点拨】考查了同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方和合并同类项法则等知识，熟练应用运算法则是解题关键．6、C【解题分析】解：根据题意，当0≤x≤100时，y=0.6x，当x＞100时，y=100×0.6+0.8（x﹣100）=60+0.8x﹣80=0.8x﹣20，所以，y与x的函数关系为，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．点睛：本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．7、C【解题分析】

根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC=2AB,即可判断②,求出∠BOE=75°，∠AOB=60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出.【题目详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD∴OA=OD=OC=OB∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=15°.∴∠CAE=15°，∴∠DAC=30°.∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°.∴∠DOC=60°.∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形.∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°.∴∠DAC=∠ACB=30°.∴AC=2AB.∵AC＞BC，∴2AB＞BC.∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°.∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°.∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE.∴四边形ABCD是矩形.∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等边三角形，∴DC=OD.∴BE=BO.∴∠BOE=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=135°.∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等可知S△AOE=S△COE∴④正确故正确答案是C.【题目点拨】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用.8、B【解题分析】

根据上加下减，左加右减的平移原则，即可得出答案．【题目详解】解：根据上加下减的平移原则，直线y=-2x可以看作是由直线y=-2x-3向上平移3个单位得到的；

故选B．【题目点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，属于基础题，关键是掌握上加下减，左加右减的平移原则．9、C【解题分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可得出.【题目详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选C．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形:在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.中心对称图形:在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.10、A【解题分析】

由题意可知OA=2，OB=7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=A′B′，又由题意可知OA′=3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．【题目详解】解：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7由勾股定理得：AB=53，由题意可知AB=A′B′=53，又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=211，∴BB′=7-211＜1．故选A．【题目点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．11、A【解题分析】

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【题目详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P（-3，2）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，-2）．

故选：A．【题目点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12、D【解题分析】

根据频数的概念：频数是表示一组数据中符合条件的对象出现的次数．【题目详解】∵一串数“”中，数字“3”出现了1次，∴数字“3”出现的频数为1．故选D．【题目点拨】此题考查频数与频率，解题关键在于掌握其概念二、填空题（每题4分，共24分）13、（0，-3）．【解题分析】

直线y＝3x＋2沿y轴向下平移5个单位后对应的解析式为y＝3x＋2－5，即y＝3x－3，当x＝0时，y＝－3，即与y轴交点坐标为(0，－3)．14、n2+2n【解题分析】试题分析：第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．解：第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．故答案为：n2+2n．15、3.【解题分析】

由直角三角形的性质得到AC=2OB=10，利用勾股定理求出AB=CD=6，再根据三角形的中位线得到OM的长度.【题目详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠D=90，AB=CD，∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=，∵O是AC的中点，M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=CD=3，故填：3.【题目点拨】此题考查矩形的性质，矩形的一条对角线将矩形分为两个全等的直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得AC，根据勾股定理求出CD，在利用三角形的中位线求出OM.16、9【解题分析】试题分析：∵等腰三角形的两边长分别为4和9，∴分两种情况（1）腰为4，底边为9，但是4+4＜9，所以不能组成三角形（2））腰为9，底边为4，符合题意，所以第三边长为9.考点:等腰三角形的概念及性质.17、11-3k.【解题分析】

求出k的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．【题目详解】∵一个三角形的三边长分别为、k、，∴-＜k＜+，∴3＜k＜4，=-|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k，故答案为：11-3k.【题目点拨】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．18、25【解题分析】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．∴∠DAE=1三、解答题（共78分）19、(1)2；(2)①10，20；②．【解题分析】

（1）根据高度=速度×时间即可算出t1的值；

（2）①根据“高度=速度×时间”列式计算即可；②运用待定系数法求出线段OA与线段AB的解析式即可．【题目详解】(1)t1=30÷15=2故答案为：2；(2)①甲登山上升的速度是：(300-100)÷20=10(米/分钟)，故答案为：10，20；t2=(300-100)÷10=20，②当0≤x≤2时，直线过原点，且经过点(2，30)，∴y=15x，当2＜x≤11时，设y=kx+b，直线过点(2，30)，(11，300)得，y与x的数解析式也可以合起来表示为：．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式．20、猜想的解是，．验证见解析；，．

【解题分析】

此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为，．据规律解题即可．【题目详解】猜想的解是，．验证：当时，方程左边，方程右边，方程成立；当时，方程左边，方程右边，方程成立；的解是，；由得，，，，．【题目点拨】考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.21、（1）18海里、24海里；（2）北偏西【解题分析】

（1）根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长；（2）再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．【题目详解】（1）PR的长度为:12×1.5=18海里，PQ的长度为:16×1.5=24海里；（2）∵∴，∵“远航”号向北偏东方向航行，即，∴，即“海天”号向北偏西方向航行．【题目点拨】本题主要考查勾股定理的应用和方位角的相关计算，解题的重点是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形.22、（1）见解析；（2）四边形AECF是矩形，理由见解析；（3）秒或5秒或2秒【解题分析】

（1）已知EF∥BC，结合已知条件利用两组对边分别平行证明BCFE是平行四边形；因为AC=BC，等角对等边，得∠B＝∠BAC，CF平分∠ACH，则∠ACF＝∠FCH，结合∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，等量代换得∠FCH＝∠B，则同位角相等两直线平行，得BE∥CF，结合EF∥BC，证得四边形BCFE是平行四边形；（2）先证∠AED=90°，再证四边形AECF是平行四边形，则四边形AECF是平行四边形是矩形；

AC＝BC，E是AB的中点，由等腰三角形三线合一定理知CE⊥AB，因为四边形BCFE是平行四边形，得CF＝BE＝AE，AE∥CF，一组对边平行且相等，且有一内角是直角，则四边形AECF是矩形；（3）分三种情况进行①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则邻边BE=BC，这时根据S=vt=2t=,求出t即可；②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，过C作CD⊥AB于D，AC=BC，三线合一则BD的长可求，在Rt△BDC中运用勾股定理求出CD的长，把ED长用含t的代数式表示出来，现知EG=CF=EC=EB=2t，在Rt△EDC中，利用勾股定理列式即可求出t；③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则CA＝AF＝BC，此时E与A重合，则2t=AB=4,求得t值即可.【题目详解】（1）证明：如图1，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵CF平分∠ACH，∴∠ACF＝∠FCH，∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，∴∠FCH＝∠B，∴BE∥CF，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：如图2，∵E是AB的中点，AC＝BC，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，∴CF＝BE＝AE，∵AE∥CF，∴四边形AECF是矩形（3）秒或5秒或2秒分三种情况：①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，∴BE＝BC，即2t＝2，t＝；②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC，AB＝4，∴BD＝2，由勾股定理得：CD＝＝＝6，∵EG2＝EC2，即（2t）2＝62+（2t﹣2）2，t＝5；③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，∴t＝2，综上，t的值为秒或5秒或2秒；故答案为：秒或5秒或2秒．【题目点拨】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形等四边形的性质与证明，熟悉基本定理是解题基础，本题第三问的关键在于能够分情况讨论列出方程.23、(1)；（2）.【解题分析】分析：(1)由四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，由点F为AB的中点，得到OF=AB，即可得到结论；（2）在Rt△AOB中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到OB的长，然后由勾股定理求得OA的长，继而求得AC的长．详解：(1)∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在RtΔAOB中，OF为斜边AB边上的中线，∴OF=AB=3cm；（2）在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，∴OB=AB=3，由勾股定理得：OA==3，∴AC=OA=6．点睛：本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形以及勾股定理．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．24、(1)详见解析；（2）结论成立，理由详见解析.【解题分析】

（1）由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，可知△ABC是等边三角形，因为E是线段AC的中点，所以∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，由AE=CF得CE=CF可知∠CEF=∠F由∠ACF=120°可知∠F=30°∴∠F=∠CBE=30°。即可证明BE=EF.（2）过点E作EG∥BC交AB于点G，可得∠AGE=∠ABC=60°，因为∠BAC=60°，所以△AGE是等边三角形，可知AG=AE=GE，∠AGE=60°，可知BG=CE，因为CF=AE，所以GE=CF，进而可证明△BGE≌△ECF，即可证明BE=EF.【题目详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∵∠ECF=120°，∴∠F=∠CEF=30°∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（