数学-2023年中考数学综合压轴题突破-二次函数

2023年中考数学综合压轴题突破——二次函数一、综合题1．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式；（2）若点D的坐标为，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.2．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：…0123……00…（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m的值；（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（4）这个二次函数的图象经过点和两点，写出，．3．小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上.（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长.4．如图，抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE，AC于点G，H．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：GH＝HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，直接写出m的值．5．某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间.经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）…190200210220…y（间）…65605550…

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图形（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.（3）设客房的日营业额为w（元）.若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？6．设二次函数y1=（x-a）（x-a-1）+（x-3），其中a为实数。（1）当a=0时，求函数y1的图象的顶点坐标；（2）若不论a为何值，二次函数y1的顶点都在同一函数y2的图象上，求函数y2的表达式；（3）若二次函数y1的图象与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围。7．如图，，，点从点出发，以的速度向点运动同时点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，、两点停止运动.运动时间为秒.（1）如图1，用含的式子表示的面积求出的最大面积；（2）如图1，的面积与四边形的面积能否相等如果能，求的值，如果不能说明理由.（3）如图2，点为圆心，PQ为半径作圆，点、在运动过程中，当为何值时，直线与相切直接写出的值.8．如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值.9．“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．（1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？10．（1）【问题探究】

如图1，在中，，点为上一点，且，于点，若的面积为24，求的长．（2）【问题解决】

如图2，某小区有一块三角形空地，其中米，米，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场地，在边上选一点，边上取一点，使得，过点作EF//交于点，连接，在和区域内绿化，在四边形区域内修建运动场地．若设的长为

米，运动场地四边形的面积为平方米．①求与之间的函数关系式；②运动场地四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出运动场地四边形面积的最大值及取得最大值时的长；若不存在，请说明理由．11．如图，二次函数y=-x2+2x+1的图像与一次函数y=-x+1的图像交于A、B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点（与端点不重合），过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于点F．（1）若反比例函数y=的图像正好过点C，求k的值；（2）求当面积最大时，点P的坐标；（3）如图2，将二次函数y=-x2+2x+1关于x轴对称得到新抛物线，的顶点为，再将沿直线AB的方向平移得到新抛物线，的顶点为．在平移过程中，是否存在一个合适的位置，使得是一个直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)，A(8，4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3。（1）求该二次函数的解析式；（2）若Ｍ是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求MN的长；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q，过A作AC⊥x轴于C(点P不与点C重合)，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标。13．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接.①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标；②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求四边形的周长.14．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜2）.连接AC，BC，DB，DC.（1）求抛物线的函数表达式；

（2）△BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.15．抛物线y＝x2﹣2x交x轴于原点O及点A1，其顶点为B1：y2＝x2﹣4x交x轴于原点O及点A2，其顶点为B2：y3＝x2﹣6x交x轴于原点O及点A3，其顶点为B2；y3＝x2﹣2nx交x轴于原点O及点An，其顶点为Bn．（1）点A1的坐标为，点B1的坐标为．（2）①直接写出点An，及点Bn的坐标（用含n的代数式表示）②点B1，B2，B3，…，Bn是否在同一条抛物线上？若在，求出此抛物线的解析式；若不在，请说明理由．（3）①求∠OB2A5的度数；②若△A1B2An，与△A1B2An+3相似，求n的值．16．如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作х轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求的最大值及此时点P的坐标；（3）把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.17．如图，已知抛物线经过点、.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积.（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）.18．如图1，抛物线过点，，点为直线下方抛物线上一动点，为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线交于点.（1）求抛物线的表达式与顶点的坐标；（2）在直线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点坐标；（3）在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】（1）解：将A,B两点的坐标代入解析式得，解得故抛物线的表达式为：；（2）解：连接，设点，由（1）中表达式可得点，则，∵，故S有最大值，当时，S的最大值为.2．【答案】（1）解：设这个二次函数解析式为，∴，∴，∴二次函数解析式为；（2）解：∵二次函数解析式为，∴当时，，∴；（3）解：函数图象如下所示：（4）4；53．【答案】（1）解：设，∵杯口直径AB=4，杯高DO=8，∴将，代入，得，（2）解：，，，，当时，，或，，即杯口直径的长为4．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为E（-1，4），∴设抛物线的解析式为：

，∵抛物线过点A（-3，0），将其代入解析式为：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）证明：设直线AE的解析式为：，将点A（-3，0），点E（-1，4）代入解析式：，解得：，直线AE的解析式为：，设直线AC的解析式为：，抛物线的解析式为：化简得：，当时，，∴点C的坐标为：，将点A（-3，0），点C（0，3）代入解析式：，解得：，直线AC的解析式为：，∵D的横坐标为m，DK⊥x轴，代入AE的解析式为：，代入AC的解析式为：，∴，，∴，∴；（3）m的值为或5．【答案】（1）解：如图所示：（2）解：设y＝kx+b，将（200，60）、（220，50）代入，得：200k+b=60220k+b=50,解得k=−1∴（170≤x≤240）（3）解：，∴对称轴为直线，∵，∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，∴当x＝170时，w有最大值，最大值为12750元6．【答案】（1）解：由题意知，y1=（x-a）2+a-3所以函数y1图象顶点坐标为（a，a-3），当a=0时，通数）的图像的点坐标为（0，-3）（2）解：因为函数y1图象的顶点坐标为（a，a-3），又因为不论a为可值，一次函数y2=kx+b都经过y1的顶点，所以一次函数y2的函数表达式为y2=x-3（3）解：当二次函数y1的图象过原点时，0=（0-a）2+a-3a=（此时图象对称轴在y轴左侧）

或a=（此时图象对称轴在y轴右侧）当二次函数的图象顶点在x轴上时，a=3。由图可知，若二次函数y1的图象与x轴正半轴始终有交点，≤x≤37．【答案】（1）解：如图，过点作于，由题意可知，，当时，最大值.（2）解：四边形当的面积与四边形的面积相等时，有整理得：即：原方程没有实数解.

的面积与四边形的面积不相等.（3）解：如图：作，直线与相切.8．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴FC＝4，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，∴CE＝8﹣x＝3，∵点B的坐标为（m，0），∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）（2）解：分三种情形讨论：若AO＝AF，∵AB⊥OF，BF＝6，∴OB＝BF＝6，∴m＝﹣6；若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣（3）解：由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，∴，解得，，∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1，∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1），设对称轴交AD于G，∴G（m﹣6，8），∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9，∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°，∴∠OAB＝∠MAG，又∵∠ABO＝∠MGA＝90°，∴△AOB∽△AMG，∴，即，

解得，m＝﹣12，由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12.9．【答案】（1）解：根据题意得：，；（2）解：根据题意可得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元．（3）解：由题意，得，，，∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，w随x的增大而增大．∵，∴当时，w有最大值，此时，，答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元．10．【答案】（1）解：过点作于点，，，，，，即，，，，，即，；（2）解：①过点作于点，交于点，过点作于点，，，米，米，，，，，，，，即，，，，，，∽，，，四边形是平行四边形，

，即；由可知，，当时，最大，即运动场地四边形的面积存在最大值，最大值为600平方米，此时的长为米．11．【答案】（1）解：由知，点的坐标为（2，3）．根据题意，反比例函数的图像过点（2，3），∴（2）解：解方程得或∴，．∵点的坐标为（2，3），∴直线BC的表达式为y=-2x+7．设．当时，，故点，．∵，∴当时，的面积最大，故点（3）解：根据点的对称性-y´=-+2x+1，即y´=-2x-1，则点C(2，-3)，∵直线AB的表达式为y=x+1，则设点C向右平移m个单位，则向下平移了m个单位，故点D(2+m，-3-m)，由点A、B、C"的坐标得：=+=72，=，，当AB是斜边时，则72=+，解得m=±2；当AC"是斜边时，同理可得：m=3；当BC"是斜边时，同理可得：m=3，∴存在；点的坐标为或或（5，-6）或（-1，0）．12．【答案】（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为(6，0)，设抛物线解析式为y=ax(x-6)，把4(8，4)代入得a×8×2=4，解得a=∴抛物线解析式为y=x(x-6)，即y=x2-x（2）设M(t，0)，设直线OA的表达式为：y=k‘x，将点A的坐标代入上式并解得：k’=故直线OA的解析式为y=x设直线AB的解析式为y=kx+b，把B(6，0)，A(8，4)代入得：，解得：∴直线AB的解析式为y=2x-12，∵MN∥AB，∴设直线MN的解析式为y=2x+n，把M(t，0)代入得2t+n=0，解得n=-2t，∴直线MN的解析式为y=2x-2t，解方程组，解得：，则N（t，t）∴S△AMN=S△AOM-S△NOM=×4t-·t·t=t2+2t=(t-3)2+3，当t=3时，S△AMN有最大值3，此时Ｍ点坐标为(3，0)；则点N(4，2)，MN==；

（3）设Q(m，m2-m)∵∠OPQ=∠ACO，∴当时，△POQ∽△COA，即，∴PQ=2PO，即|m2-m|-2|m|解方程m²-m=2m得m1=0(舍去)，m2=14，此时Ｐ点坐标为(14，0)解方程m²-m=-2m得m1=0(舍去)，m2=-2，此时Ｐ点坐标为(-2，0)；∴当时，△POO∽△CAO，即，∴PO=PO，即|m2-m|=|m|解方程m2-m=m得m1=0(舍去)，m2=8(舍去)；解方程m2-m=m得m1=0(舍去)，m2=4，此时P点坐标为(4，0)；综上所述，P点坐标为(14，0)或(-2，0)或(4，0)13．【答案】（1）解：把点，代入得：，解得：，∴抛物线解析式为（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，∵点C（0，-3），∴OC=3，∵，∴△CPQ为等腰直角三角形，∴CQ=PQ，设点，则OD=-m，，∵轴，∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，∴四边形OCQD为矩形，∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，∴，∴，解得：或0（舍去），∴点；②如图，过点E作EM∥x轴于点M，令y=0，，解得：（舍去），∴点B（-4，0），∴OB=4，∴，设直线BC的解析式为，把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：

，解得：，∴直线BC的解析式为，∵点关于直线的对称点落在轴上时，∴，，，∵DP⊥x轴，∴PD∥CE′，∴，∴，∴CE=PE，∴，∴四边形为菱形，∵EM∥x轴，∴△CEM∽△CBO，∴，设点，则点，当点P在y轴左侧时，EM=-t，当-4＜t＜0时，，∴，∴，解得：或0（舍去），∴，∴四边形的周长为；当点P在y轴右侧时，EM=-t，当t≤-4时，，∴，解得：或0（舍去），此时，∴四边形的周长为；当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t，，∴，解得：或0，不符合题意，舍去；综上所述，四边形的周长为或.14．【答案】（1）解：由抛物线交点式表达式得：y=a（x+1）（x﹣2），将（0，3）代入上式得：﹣2a=3，解得：a=，故抛物线的表达式为：；（2）解：点C（0，3），B（2，0），设直线BC的表达式为：y=kx+n，则，解得：，故直线BC的表达式为：，如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，设点D（m，），则点H（m，m+3），S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB=，

∵﹣＜0，故△BCD的面积有最大值，当m=1，△BCD面积最大为，此时D点为（1，3）；（3）解：m=1时，D点为（1，3），①当BD是平行四边形的一条边时，设点N（n，），则点N的纵坐标为绝对值为3，即，解得：n=0或1（舍去）或，故点N的坐标为（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3），②当BD是平行四边形的对角线时，设点M（z，0），点N（s，t），由中点坐标公式得：，解得t=3，而，解得s=0或s=1（舍去），N的坐标为（0，3）；综上，点N的坐标为：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）.15．【答案】（1）（2，0）；（1，－1）（2）解：①令y3＝x2﹣2nx＝0，解得：x1＝0，x2＝2n，∴点An的坐标为（2n，0），∵y3＝x2﹣2nx＝（x－n）2－n2，∴点Bn的坐标为（n，－n2）；②同①可得：B1（1，－1），B2（2，－4），B3（3，－9），假设B1，B2，B3在同一条抛物线上，其解析式为，则，解得：，∴B1，B2，B3在抛物线上，将Bn（n，－n2）代入，验证成立，∴点B1，B2，B3，…，Bn在同一条抛物线上，其解析式为；（3）解：①由（2）可知B2（2，－4），A5（10，0），如图：则OA52＝102＝100，OB22＝，B2A52＝82+42＝80，∴OB22＋B2A52＝OA52，∴；②由（1）（2）可知A1（2，0），B2（2，－4），如图，任取An，An+3作三角形，∵△A1B2An与△A1B2An+3相似，且∠B2A1An＝∠B2A1An+3＝90°，∴必有△A1B2An∽△A1An+3B2，∴，由（2）可知An（2n，0），An+3（2n+6，0），∴，，∴，

解得：n＝2或n＝－3（舍去），经检验n＝2是分式方程的解，∴n＝2．16．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A(-4，0)，