数学-专项7.6坐标与新定义问题大题提升训练（重难点培优30题）-【】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题（带答案）【人教版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题7.6坐标与新定义问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点A(m−1，n（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）根据P点坐标，代入(m−1，n2)中，求出m和n的值，然后代入2m（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解：（1）点P不是“智慧点”，由题意得：m−1=4，n∴m＝5，n＝20，∴2m＝2×5＝10，6+n＝6+20＝26，∴2m≠6+n，∴点P（4，10）不是“智慧点”；（2）点M在第四象限，理由：∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，∴m−1=a，n∴m＝a+1，n＝2﹣4a，∵2n＝6+n，∴2（a+1）＝6+2﹣4a，解得a＝1，∴点M（1，﹣1），

∴点M在第四象限．2．（2022春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．【解答】解：（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，所以3×3＝2×2+5，所以A（3，2）是“新奇点”；（2）点M在第三象限，理由如下：∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．3．（2021秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），∴k＝1或k＝2．4．（2022秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay

）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）根据关联点的定义和点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N位于x轴上，即可求出N的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣2+2×6）∴B的坐标（2，10）；（2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1）），当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0，解得m=3∴3m+2m﹣1=8∴点N的坐标为（875．（2022秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．【解答】解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，

∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=1②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．6．（2022秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为（2，14）；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标．【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8），∴2x+y=4解得x=0y=4∴点P的坐标为（0，4）；（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，解得：m=−1

∴﹣3（m﹣1）+2m=16∴P′（165②P′位于y轴上，∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝3∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，∴P′（0，﹣16）．综上所述，点P′的坐标为（1657．（2022春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的12级亲密点为B(−2+12（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为（14，2）．（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的3倍，求a的值．【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；（2）根据新定义进行计算可得点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=3|x【解答】解：（1）根据题意可得，点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5），即点D的坐标为（14，2）；故答案为：（14，2）；（2）根据题意可得，点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，即点M1的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3），∵M1位于y轴上，

∴﹣5m﹣1＝0，∴m=−1∴M1（0，165（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据题意可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=3|x即|a|=3解得：a=±38．（2021秋•舒城县校级月考）点P坐标为（x，2x﹣4），点P到x轴、y轴的距离分别为d1，d2．（1）当点P在坐标轴上时，求d1+d2的值；（2）当d1+d2＝3时，求点P的坐标；（3）点P不可能在哪个象限内？【分析】（1）分点P在x轴和y轴两种情况讨论即可；（2）将d1+d2用含x的式子表示出来，根据x的范围化简即可；（3）根据x和2x﹣4的范围即可得出答案．【解答】解：（1）若点P在x轴上，则x＝0，2x﹣4＝﹣4，∴点P的坐标为（0，﹣4），此时d1+d2＝4，若点P在y轴上，则2x﹣4＝0，得x＝2，∴点P的坐标为（2，0），此时d1+d2＝2．（2）若x≤0，则d1+d2＝﹣x﹣2x+4＝3，解得x=1若0＜x＜2，则d1+d2＝x﹣2x+4＝3，解得x＝1，∴P（1，﹣2），若x≥2，则d1+d2＝x+2x﹣4＝3，解得x=7∴P（73，2

（3）∵当x＜0时，2x﹣4＜0，∴点P不可能在第二象限．9．（2020春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，n+22（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解：（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，n+22解得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“爱心点”；当B（4，8）时，m﹣1＝4，n+22解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，所以B点不是“爱心点”；（2）点M在第三象限，理由如下：∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，∴m﹣1＝a，n+22=2∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣12a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．10．（2022春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（2，3）的“长距”等于3，点B（﹣7，5）的“长距”等于7．

（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解：（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；故答案为：3，7．（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），解得k=32或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k∴k=32或11．（2022春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，2）的“长距”为5；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“长距”的定义解答即可；（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；故答案为：5．（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，解得m＝﹣1或2．（3）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），∴k＝1或k＝2．12．（2022•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知点A（2，﹣6）的“12级关联点”是点B，求点B

（2）已知点P的5级关联点为（9，﹣3），求点P坐标；（3）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）设点P的坐标为（a，b），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，即可求出N的坐标．【解答】解（1）∵点A（2，﹣6）的“12级关联点”是点B，故点B的坐标为（12×2−6∴B的坐标（﹣5，﹣1）；（2）设点P的坐标为（a，b），∵点P的5级关联点为（9，﹣3），∴5a+b=9a+5b=−3解得a=2b=−1∵P（2，﹣1）；（3）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”为M′（﹣4（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣4）×2m），当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m=−1∴﹣4（m﹣1）+2m=30∴N（307综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（30713．（2022春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．

（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是B与D．（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于3的点即可；（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．【解答】解：（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，∴与点A互为等差点的是B与D；故答案为：B与D；（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，∴n+1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4﹣|﹣2|＝﹣n﹣1﹣1，解得n＝2或n＝﹣4，∴点N的坐标为（1，3）或（1，﹣3）．14．（2022秋•海淀区校级期中）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“完美间距″．例如：如图，点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“完美间距”是1．（1）点Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5）的“完美间距”是1；（2）已知点O（0，0），A（4，0），B（4，y）．①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为±2；②点O，A，B的“完美间距”的最大值为4；③已知点C（0，4），D（﹣4，0），点P（m，n）为线段CD上一动点，当O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“完美间距”取最大值时，求此时点P的坐标．

【分析】（1）分别计算出Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的长度，比较得出最小值即可；（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB＞OA，OB＞AB，所以“最佳间距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为1，而OA＝4，故OB＝2，即可求解y的值；②由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，当OA≤AB时，“最佳间距”为OA＝4，当OA＞AB时，“最佳间距”为AB＜4，比较两个“最大间距”，即可解决；③同①，当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”为OE或者PE的长度，先求出直线CD的解析式，用m表示出线段OE和线段PE的长度，分两类讨论，当OE≥PE和OE＜PE时，求出各自条件下的“最佳间距”，比较m的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出P点坐标．【解答】解：（1）如图，在给出图形中标出点Q1，Q2，Q3，∵Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5），∴Q1Q2＝1，Q2Q3＝4，在Rt△Q1Q2Q3中，Q1Q3=17∵1＜4＜17“最佳距离”为1；故答案为：1；（2）①如图：

∵O（0，0），A（4，0），B（4，y），∴OA＝4，AB＝|y|，在直角△ABO中，OB＞OA，OB＞AB，又∵点O，A，B的“最佳间距”是2，且4＞2，∴|y|＝2，∴y＝±2，故答案为：±2；②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，∴“最佳间距”的值为OA或者是AB的长，∵OA＝4，AB＝|y|，当AB≥OA时，“最佳间距”为4，当AB＜OA时，“最佳间距”为|y|＜4，∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为4，故答案为：4；③设直线CD为y＝kx+4，代入点D得，如图，﹣4k+4＝0，∴k＝1，

∴直线CD的解析式为：y＝x+4，∵E（m，0），P（m，n），且P是线段CD上的一个动点，∴PE∥y轴，∴OE＝﹣m，PE＝n＝m+4，Ⅰ、当﹣m≥m+4时，即OE≥PE时，m≤﹣2，“最佳间距”为m+4，此时m+4≤2，Ⅱ、当﹣m＜m+4时，即OE＜PE时，﹣2＜m＜0，“最佳间距“为﹣m，此时﹣m＜2，∴点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，m＝﹣2，∴m＝﹣2，∴n＝m+4＝2，∴P（﹣2，2）．15．（2022春•泗水县期末）对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．（1）已知点A（﹣3，4），B（2，﹣22），求点A，点B的折线距离．（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．【分析】（1）根据题意可以求得折线距离[A]，[B]；（2）根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标．【解答】解：（1）[A]＝|−3|+|4|＝7，[B]＝|2|+|﹣22|＝32；所以点A，点B的折线距离分别为7、32；（2）∵点M在x轴的上方，其横坐标均为整数，且[M]＝2，∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，

∴点M的坐标为（﹣1，1），（1，1），（0，2）．16．（2022春•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点P（1，4）的3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4）即Q（7，13），若点B的“2级关联点”是B（3，3）．（1）求点B的坐标；（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N位于y轴上，求N的坐标．【分析】（1）由点B的“2级关联点”是B'（3，3）得出2x+y=3x+2y=3，解之求得x、y（2）由点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N的坐标为（﹣m+3，﹣5m﹣1），且点M′在y轴上知﹣m+3＝0，据此求得m的值，再进一步求解可得．【解答】解：∵点B的“2级关联点”是B'（3，3），∴2x+y=3x+2y=3解得：x=1y=1则点B的坐标为（1，1）；（2）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N的坐标为（﹣m+3，﹣5m﹣1），且点N在y轴上，∴﹣m+3＝0，解得m＝3，则﹣5m﹣1＝﹣16，∴点N坐标为（0，﹣16）．17．（2022春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点A（x，y）若点B的坐标为（kx+y，x﹣ky），则称点B为A的“k级牵挂点”，如点A（2，5）的“2级牵挂点”为B（2×2+5，2﹣2×5），即B（9，5）．（1）已知点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1，求点P1的坐标，并写出点P1到x轴的距离；（2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3），求Q点的坐标及所在象限．【分析】（1）根据“k级牵挂点”的定义判定结论；（2）设Q（x，y），根据点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3）可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可．【解答】解：（1）∵点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1，∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2，

即P1（16，﹣2），点P1到x轴的距离为2；（2）∵点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3），设Q（x，y）．则有4x+y=5x−4y=−3解得x=1y=1∴Q（1，1），点Q在第一象限．18．（2022秋•东城区校级期中）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（12m+a，12n+b），其中a，b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A（x，y）规定“F变换”；点A（x，y）在F的变换下的对应点即为坐标是f（x，y）的点（1）当a＝0，b＝0时，f（﹣2，4）＝（﹣1，2）．（2）若点P（2，﹣2）在F变换下的对应点是它本身，求ab的值．【分析】（1）根据新定义运算法则解得；（2）根据新定义运算法则得到关于a、b的方程，通过解方程求得它们的值即可．【解答】解：（1）依题意得：f（﹣2，4）＝（12×（﹣2）+0，故答案是：（﹣1，2）；（2）依题意得：f（2，﹣2）＝（12×2+a，12所以12×2+a＝2，12所以a＝1，b＝﹣1．∴ab＝﹣1．19．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n

的取值范围．【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．【解答】解：（1）根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”；故答案为：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）①当点B在x轴上时，设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t＝﹣6，∴B（﹣6，0）．②当点B在y轴上时，设B（0，b），由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，解得b＝6，∴B（0，6）．综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．（3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1），∴m＝n+4．∵点B在第四象限，∴m＞0n＜0∴n+4＞0n＜0

解得﹣4＜n＜0，此时0＜n+4＜4，∴0＜m＜4．由定义可知：m≠3，n≠﹣1，∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．20．（2020•朝阳区校级开学）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如图1中，点M（﹣2，3）与点N（1，﹣1）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．根据上述知识，解决下面问题：（1）已知点P（3，﹣4），在点A（5，2），B（﹣1，0），C（﹣2，1），D（0，1）中，与点P之间的“折线距离”为8的点是A，B，D；（2）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，求t的值；（3）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，t+1），且d（P，Q）＝8，直接写出t的取值范围．【分析】（1）分别求出A，B，C，D与点P之间的“折线距离”求解．（2）通过d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8求解．（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8，分类讨论t的取值范围去绝对值符号求解．【解答】解：（1）由题意得d（P，A）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8，d（P，B）＝|3﹣（﹣1）|+|﹣4﹣0|＝8，d（P，C）＝|3﹣（﹣2）|+|﹣4﹣1|＝10，d（P，D）＝|3﹣0|+|﹣4﹣1|＝8，故答案为：A，B，D．

（2）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10，解得t＝﹣1或t＝7．（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|，化简得d（P，Q）＝|3﹣t|+|5+t|，当﹣5≤t≤3时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t+5+t＝8，满足题意．当t＜﹣5时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t﹣5﹣t＝﹣2﹣2t，不满足题意．当t＞3时，|3﹣t|+|5+t|＝t﹣3+5+t＝2+2t，不满足题意．∴﹣5≤t≤3．21．（2022春•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），定义k|x1﹣x2|+（1﹣k）|y1﹣y2|为点M和点N的“k阶距离”，其中0≤k≤1．例如：点M（1，3），N（﹣2，4）的15阶距离”为15|1−(−2)|+（1）若点B（0，4），求点A和点B的“14（2）若点B在x轴上，且点A和点B的“13阶距离”为4，求点B（3）若点B（a，b），且点A和点B的“12阶距离”为1，直接写出a+b【分析】（1）根据“k阶距离”的定义计算点A与点B之间的“14（2）设出点B的坐标，再根据“13阶距离”的定义列出方程，求出字母的值，从而确定点B的坐标，注意x

（3）根据“12阶距离”的定义列出关于字母a和b的式子，当a和b在不同的取值范围内将含有a和b的式子中的绝对值去掉，从而求得a+b【解答】解：（1）由题知，点A（﹣1，2）和点B（0，4）的“14阶距离”为14|−1−0|+（1−（2）∵点B在x轴上，∴设点B的横坐标为m，则点B的坐标为（m，0），∵点A（﹣1，2）和点B（m，0）的“13∴1313|﹣1﹣m|＝8，∴﹣1﹣m＝8或﹣1﹣m＝﹣8，∴m＝﹣9或7，∴点B的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．（3）∵点A（﹣1，2）和点B（a，b）的“12∴.12|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝2，①当a≤﹣1，且b≤2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+2﹣b，由此得出a+b＝﹣1，②当a≤﹣1，且b＞2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+b﹣2，由此得出b＝5+a，则a+b＝2a+5，∵b＞2，即5+a＞2，∴a＞﹣3∵a≤﹣1，∴﹣3＜a≤﹣1∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，∵a＞﹣1，

即b﹣1＞﹣1，∴b＞0，∵b＜2，∴0＜b＜2，∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，综上所得，﹣1≤a+b≤3．22．（2022春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，b＝x+y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如：P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．【分析】（1）根据“关联点”定义求解；（2）根据“关联点”的定义列方程求解；（3）根据“关联点”的定义列方程组求解，注意分类讨论，不要漏解．【解答】解：（1）∵2×4﹣3＝5，4+3＝7，∴点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．故答案为：（5，7）与（7，5）．（2）由题意得：2x﹣8＝x+8，解得：x＝16．（3）设B（x，y），∴2x−y=−1x+y=7或2x−y=7∴x=2y=5或x=2∴B（2，5）或B（2，﹣3）．23．（2022春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下：①f（a，b）＝（﹣a，b）．如：f（7，3）＝（﹣7，3）；②g（a，b）＝（b，a）．如：g（7，3）＝（3，7）；

③h（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：h（7，3）＝（﹣7，﹣3）；例如：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（3，2）规定坐标的部分规则与运算如下：①若a＝b，且c＝d，则（a，c）＝（b，d），反之若（a，c）＝（b，d），则a＝b，且c＝d．②（a，c）+（b，d）＝（a+b，c+d）；（a，c）﹣（b，d）＝（a﹣b，c﹣d）．例如：f（g（2，﹣3））+h（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）+h（﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝（6，0）．请回答下列问题：（1）化简：f（h（6，﹣3））＝（6，3）（填写坐标）；（2）化简：h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝（﹣3，1）（填写坐标）；（3）若f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））且k为绝对值不超过5的整数，点P（x，y）在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值．【分析】（1）根据新定义进行化简即可．（2）根据新定义进行化简即可．（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）f（h（6，﹣3））＝f（﹣6，3）＝（6，3），故答案为：（6，3）；（2）h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝h（1，﹣2）﹣g（1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）＝（﹣3，1），故答案为：（﹣3，1）；（3）f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝f（﹣kx，2x）﹣h（﹣1﹣y，﹣2）＝（kx，2x）﹣（1+y，2）＝（kx﹣1﹣y，2x﹣2），h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））＝h（﹣1，ky﹣1）+f（﹣y，﹣x）＝（1，1﹣ky）+（y，﹣x）＝（y+1，1﹣ky﹣x），∵f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x）），∴（kx﹣1﹣y，2x﹣2）＝（y+1，1﹣ky﹣x），∴kx−1−y=y+12x−2=1−ky−x

∴kx−2y=23x+ky=3∴x=2k+6∵点P（x，y）在第三象限，∴2k+6＜03k−6＜0∴k＜﹣3，∵k为绝对值不超过5的整数，∴k的所有可能取值为﹣4、﹣5．24．（2022春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．（1）已知点A（﹣3，4），B（2，−32），求点A，点B（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．【分析】（1）根据题意可以求得折线距离[A]，[B]；（2）根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标．【解答】解：（1）[A]＝|−3|+|4|＝7，[B]＝|2|+|−32|＝42；（2）∵点M在x轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M]＝2，∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，∴点M的坐标为（﹣1，1），（1，1），（0，2）．

25．（2022春•濠江区期末）已知a，b都是实数，设点P（a+2，b+32），且满足3a＝2+b，我们称点P（1）判断点A（3，2）是否为“梦之点”，并说明理由．（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【分析】（1）直接利用“梦之点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用“梦之点”的定义得出m的值进而得出答案．【解答】解：（1）当A（3，2）时，a+2＝3，b+32解得a＝1，b＝1，则3a＝3，2+b＝3，所以3a＝2+b，所以A（3，2），是“梦之点”；（2）点M在第三象限，理由如下：∵点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，∴a+2＝m﹣1，b+32∴a＝m﹣3，b＝6m+1，∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．26．（2022秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；；（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（−3，23）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求

点的坐标．【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．【解答】解：（1）根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”；故答案为：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）①当点B在x轴上时，设B（t，0），由题意得t﹣5＝0﹣（﹣3），解得t＝﹣8，∴B（8，0）．②当点B在y轴上时，设B（0，b），由题意得0﹣5＝b﹣（﹣3），解得b＝﹣8，∴B（0，﹣8）．综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（8，0）或（0，﹣8）．（3）由题意得2m+3=−n﹣2∴2m＝﹣n﹣33．∵m、n互为相反数，∴m+n＝0，解得m+n+m＝﹣33，∴m＝﹣33，n＝33．

∴2m＝﹣63，∴B（﹣63，﹣33）．27．（2022秋•朝阳区校级期末）如图①，将射线OX按逆时针方向旋转β角（0°≤β＜360°），得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用（m，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（m，β）．例如，图2中，如果OM＝5，∠XOM＝110°，那么点M在平面内的位置记为M（5，110°），根据图形，解答下列问题：（1）如图3，若点N在平面内的位置记为N（6，30°），则ON＝6，∠XON＝30°．（2）已知点A在平面内的位置记为A（4，30°），①若点B在平面内的位置记为B（3，210°），则A、B两点间的距离为7．②若点B在平面内的位置记为B（m，90°），且AB＝4，则m的值为4．③若点B在平面内的位置记为B（3，α），且AB＝5，则a的值为120°或300°．【分析】（1）根据新定义直接得到答案；（2）①先根据新定义画图，证明A，O，B三点共线，从而可得答案；②先根据新定义画图，证明△AOB是等边三角形，从而可得答案；③先根据新定义画图，证明△AOB，△AOB1是直角三角形，从而可得答案．【解答】解：（1）点N在平面内的位置记为N（6，30°），则ON＝6，∠XON＝30°．故答案为：6，30；（2）①如图，∵A（4，30°），B（3，210°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，

∴∠AOX+∠BOX＝180°，∴A，O，B三点共线，∴AB＝4+3＝7；故答案为：7；②如图，∵A（4，30°），B（m，90°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴AB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝m＝4；故答案为：4；③如图，∵A（4，30°），B（3，α），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3＝OB1，∠BOX＝α或∠B1OX＝360°﹣α，∵AB＝5，∴OB2+OA2＝25＝AB2，∴∠AOB＝90°＝∠AOB1，

∴α＝90°+30°＝120°或α＝120°+180°＝300°．故答案为：120°或300°．28．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P不在同一直线上，对于点P和线段AB给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂点，当垂足Q满足|AQ﹣BQ|最小时，称点P为线段AB的最佳内垂点．已知点S（﹣3，1），T（1，1）．（1）在点P1（2，4），P2（﹣4，0），P3（﹣2，12），P4（1，3）中，线段ST的内垂点为P3，P4（2）若点M是线段ST的最佳内垂点，则点M的坐标可以是（﹣1，4），（﹣1，2）（写出两个满足条件的点M即可）；（3）已知点C（m﹣2，3），D（m，3），若线段CD上的每一个点都是线段ST的内垂点，直接写出m的取值范围；（4）已知点E（n+2，0），F（n+4，﹣1），若线段EF上存在线段ST的最佳内垂点，直接写出n的取值范围．【分析】（1）利用图象法画出图形解决问题即可；（2）满足条件的点在线段ST的中垂线上；（3）构建不等式组解决问题即可；（4）构建不等式组解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，线段ST的内垂点为P3，P4．

故答案为：P3，P4；（2）如图，点M（﹣1，4），M′（﹣1，2）是线段ST的最佳内垂点，故答案为：（﹣1，4），（﹣1，2）（答案不唯一）；（3）由题意，m−2≥−3m≤1解得﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．（4）如图2中，观察图象可知，m满足n+4≥−1n+2≤−1解得﹣5≤n≤﹣3．29．（2022春•嘉鱼县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．（1）点A的坐标为（1，4）；点D的坐标为（5，4）；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为3；

②若区域W内恰