数学-专题9.9正方形的性质专项提升训练（重难点培优）-【】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（带答案）【苏科版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.9正方形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（

）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分【答案】B【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．2．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（

）A．5 B．6 C．12 D．13【答案】D【分析】利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵∠C=90∘，∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，∴正方形面积S=AB2=13，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.

3．（2021秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(

).A．22.5° B．45° C．30° D．135°【答案】A【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，∵四边形AEFC是菱形，∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．4．（2021秋·江苏南京·八年级校联考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（）A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GF∥AC，GF=12AC，同理可得IG∥BD，IG=12BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形【详解】解：如图所示，

四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，∵四边形EFGI是正方形，∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，又∵G、F是AD、CD中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GF∥AC，GF＝12AC同理有IG∥BD，IG＝12BD∴12AC＝12即AC＝BD，∵GF∥AC，∠IGF＝90°，∴∠IHO＝90°，又∵IG∥BD，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．故选：D．【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．5．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则DE的长为（

）A．2−1 B．24 C．23【答案】A【分析】设DE的长为x，过点E作EG⊥AC于点G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EG=ED=x，再根据正方形的性质可得AEGC是等腰直角三角形，可得EC=2x，根据DC=DE+

x的值，即DE的长．【详解】解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，设DE的长为x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，CD=1．∵EG⊥AC，且AE平分∠CAD，∴EG=DE=x．在△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=45°，∴∠CEG=∠ECG=45°，∴CG=EG=x，∴EC=E∴DC=DE+EC=x+2解得：x=2即DE的长为2−1故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质等，利用角平分线的性质添加辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．用反证法可证明AO【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD，∵CE=DF，∴DE=AF，∴△ADE≌△BAF，∴AE=BF（故①正确）；S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠∵S△AOB=S△BAF-S四边形DEOF=S△ADE∴S△AOB=S∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°，∴∠AFB+∠EAF=90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；假设AO=OE，∵AE⊥BF，∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；

故错误的只有一个．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF=3，则BE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如图，首先把△ADF旋转到△ABG，然后利用全等三角形的性质得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF=3，AB=6和勾股定理，可以求出BE的长，本题得以解决．【详解】解；如图，把△ADFF绕A逆时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴∠ADF=∠ABG=∠ABE=90∴∠ABG+∠ABE=180∴G、B、E三点共线，∴DF=BG,∠DAF=∠BAG，∵∠DAB=90∴∠DAF+∠EAB=45∴∠BAG+∠EAB=45∴∠EAF=∠EAG，在△EAG和△EAF中，

AG=AF∠EAG=∠EAF∴△EAG≌△EAFSAS∴.GE=FE，设BE=x，∵CD=6,DF=3，∴CF=3，则GE=BG+BE=3+x,CE=6−x，∴EF=3+x，∵∠C=90∴(6−x)2解得，x=2，∴BE的长为2．故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答8．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D，E两点分别在AB,BC上，且BD=BE．若AB=10,DE=4，则△EFC的面积为（

）

A．7.5 B．8 C．6 D．10【答案】C【分析】作DM⊥BC,FN⊥BC,垂足分别为M，N，证明△DME≌△ENF，得到ME=NF=2，根据面积公式S△EFC【详解】如图，作DM⊥BC,FN⊥BC,垂足分别为M，N，因为正方形DEFG，所以DE=EF,∠DEF=90°,∠DEM+∠NEF=90°，因为∠DEM+∠MDE=90°，所以∠MDE=∠NEF，所以∠MDE=∠NEF∠DME=∠ENF所以△DME≌△ENF，所以ME=NF，因为等边△ABC，BD=BE，AB=10,DE=4，所以等边△BDE，BD=BE=DE=4，所以AB=BC=10,EC=BC−BE=6,BM=ME=FN=2，所以S△EFC故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型的构造是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）【答案】必然

【分析】根据正方形、矩形、菱形的性质、随机事件的定义解答．【详解】正方形四个都是直角，是矩形，正方形四条边都相等，是菱形，正方形既是矩形，又是菱形，是必然事件；故答案为：必然．【点睛】本题主要考查了随机事件、正方形的性质以及矩形、菱形的判定，正确掌握矩形、菱形的判定方法是解题关键．10．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=40°，则∠ANM=_________°．【答案】50【分析】利用CE⊥MN，求得∠CMG=50°，再利用平行线的性质即可解答本题．【详解】解：如图，∵CE⊥MN，∴∠CGM=90°，∵∠MCE=40°，∴∠CMG=90°−40°=50°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠ANM=∠CMG=50°．故答案为：50．

【点睛】本题考查正方形的性质及平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解答关键．11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是_______．【答案】45°##45度【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD=DC=DE=CE，∠ADE=150°，可求∠DEA=15°，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=AD，∠ADC=90°，∵△CDE是等边三角形，∴CD=DE，∠DEC=∠EDC=60°，∴∠ADE=150°，AD=DE，∴∠AED=180°−150°∴∠AEC=∠DEC−∠AED=45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B【答案】1【分析】根据图①得出SA=2SB

DOF，利用面积之间的关系即可得出结果．【详解】解：设正方形A的面积为SA，正方形B的面积为S在图1中，S阴=1∴SA在图2中，进行标注，如图所示：∵∠COD=∠COE+∠EOD=90°，∠EOF=∠DOF+∠EOD=90°，∴∠COE=∠DOF，在∆COE与∆DOF中，∠COE=∠DOFOE=OF∴∆COE≅∆DOF，∴SΔ∴S阴影故答案为：12【点睛】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，找出全等三角形并证明是解题关键．13．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E是正方形ABCD边AD上一点，AE＝2cm，DE＝6cm，点P是对角线BD上的一动点，则AP＋PE的最小值是______cm．【答案】10

【分析】连接EC，根据正方形的性质可得CE的长，即为AP＋PE的最小值，勾股定理即可求解．【详解】解：如图：连接EC，PC，∵点P是正方形ABCD对角线BD上的一动点，∴PA=PC∴PA+PE=PC+PE≥EC则EC就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD，AE=2cm，DE=6cm，∴CD=AD=AE+DE=8cm，∴CE=62∴AP+PE的最小值是10cm．【点睛】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．14．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF.设M，N分别是AB，BG的中点，EF=5，则MN的长为______．【答案】2.5【分析】如图所示。连接AG，CG，先证明△ABG≌△CBG（SSS），得到AG=CG，再证四边形ECFG是矩形，得到CG=EF=5，最后证明MN是△ABG的中位线，则MN=1【详解】解：如图所示。连接AG，CG，∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SSS），∴AG=CG，∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，∴四边形ECFG是矩形，∴CG=EF=5，∵M、N分别是AB，BG的中点，∴MN是△ABG的中位线，∴MN=1故答案为：2.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6cm和4cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接【答案】26cm##26【分析】延长GH交DC的延长线于N，由AAS可证△FGH≌△CNH，可得GH=HN，GF=CN=4，在Rt△GDN【详解】解：如图，延长GH交DC的延长线于N，

∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6cm和4∴AE∥GF∥∴∠FGH=∠N，∵点H是CF的中点，∴CH=FH，在△FGH和△CNH中，∠FGH=∠N∠FHG=∠CHN∴△FGH≌∴GH=HN，∴DN=DC+CN=6+4=10cm∴GN=G∴GH=26故答案为：26cm【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．16．（2022春·八年级单元测试）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．

【答案】k＞22或k＜0且k≠﹣4【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M，∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，∴E点不在AD边上，∴k≠0，①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，当点E在AB边且OE＝3时，由勾股定理得AE∴AE＝22∴E（1，22当直线y＝kx经过点（1，22）时，k＝2∵OB∴OB=17＜5，当点E在线段BM上时，OE＜OB=17＜5，∴k＞22②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；当OE＝5时，由勾股定理得DE∴DE＝4，∴E（﹣3，4），此时E与C重合，当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=−4

当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，∴k＜0且k≠−4综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞22或k＜0且k≠−【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=2．求证：DE平分∠BDC【答案】见解析【分析】求得BE=2，证明BE=BD，推出∠BDE=∠E=∠DCE【详解】证明：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴BD=12+∵BE=2，∠CDE=∠E∴BE=BD，∴∠BDE=∠E=∠CDE，∴DE平分∠BDC．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明BE=BD是解题的关键．18．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．

(1)求证：DE＝AF；(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）证明△ADE≌△BAF，即可求证；（2）根据勾股定理可得DE=25，从而得到AF=25，再由S△ADE（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAFASA∴DE=AF．（2）解：∵AB=4，点E是AB中点，∴AE=2，在Rt△ADE中，DE=A∵DE=AF，∴AF=25∵S△ADE∴AG=4∴GF=6

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．19．（2022春·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．【答案】(1)见解析(2)80【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；（2）根据勾股定理可得AE＝410，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延长线上的点，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，AD=AB∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝AD2+D由（1）知△ADE≌△ABF，

∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴S【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．20．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．(1)求证：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分线，求OE【答案】(1)见解析(2)OE=2−【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF=∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根据正方形的性质，可知BC=2，即可求出OE．（1）证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，

在△EOC和△GOB中，∠EOC=∠GOBOC=OB∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=2，根据勾股定理，得BC=2，∴OE+2=2，∴OE=2-2．【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．21．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上的定点．(1)如图1中仅用圆规分别在AD、BC上作点E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：EP⊥PF，且EP=PF．【答案】(1)见解析

(2)见解析【分析】（1）利用圆规在AD上截取AE＝BP，在BC上截取BF＝AP；（2）利用正方形的性质得到∠A＝∠B＝90°，再证明△APE≌△BFP得到PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，再证明∠EPF＝90°，从而得到PE⊥PF．【详解】（1）解：如图1，点E、F为所作；（2）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠B＝90°，在△APE和△BFP中，AE=BP∠A=∠B∴△APE≌△BFP（SAS），∴PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，∵∠AEP+∠APE＝90°，∴∠APE+∠BPF＝90°，∴∠EPF＝180°－（∠APE+∠BPF）＝90°，∴PE⊥PF，

即EP⊥PF，且EP＝PF【点睛】本题考查了作图，此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．22．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．(1)若AB=6，且BD=BF，求BE的长；(2)若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．【答案】(1)BE=12−6(2)见解析【分析】（1）在正方形ABCD中，由FD⊥DE，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且AD=DC，利用AAS得到ΔDAE≌ΔDCF，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF，进而利用BE=AB−AE计算BE的长；（2）在HF上取一点P，使FP=EH，连接DP，利用SAS得到ΔDEH≌ΔDFP，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到DH=DP，∠EDH=∠FDP，进而确定出ΔDHP为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，DF⊥DE∴AD=CD，∠A=∠DCB=∠ADC=90°∵DE⊥DF∴∠EDF=90°∴∠2=90°−∠EDC=∠CDF，∠A=∠DCF=90°在△DAE和△DCF中∠2=∠CDF

∴ΔDAE≌ΔDCF∴AE=CF又∵CF=BF−BC=BD−BC=6∴AE=CF=6则BE=AB−AE=6−（2）在HF上取一点P，使PF=HE，连接DP由（1）ΔDAE≌ΔDCF∴DE=DF则△EDF是等腰直角三角形∴∠DEF=∠DFE=45°在△DEH和△DPE中DE=DF∴ΔDEH≌ΔDFP则DH=DP，∠EDH=∠FDP∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF∴∠EDH=∠1=∴∠EDH=15°，∠FDP=15°则∠HDP=90°−15°−15°=60°∴ΔDHP为等边三角形

∴HD=HP∵HF=HP+PF∴HF=HE+HD【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．23．（2022春·江苏·八年级期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝度，……根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，证明见解析(3)2【分析】（1）把ΔABE绕点A逆时针旋转90°至ΔADE′，则F、D、E′在一条直线上，ΔADE

（2）将ΔABE绕点A逆时针旋转90°得到ΔADE′，由旋转的性质得ΔADE′（3）将ΔABD绕点A逆时针旋转得到ΔACD′，连接ED′，则ΔACD′≌ΔABD，得CD′=BD，因此SΔABC=S【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至ΔAD则F、D、E′在一条直线上，ΔADE∴DE′＝BE，∠DAE′＝∠BAE，∴∠E′AE＝∠EAD+∠DAE′＝∠EAD+∠则∠E′AF＝∠E′∴∠EAF＝∠E′∴△AEF≌△AE′F∴E′∵E′∴EF＝BE+DF．故答案为：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE

∴△ADE′