数学-专题50 三角形的存在性综合问题（原版）

专题50三角形的存在性综合问题【题型演练】一、解答题1．如图，在中，，，点D为边上一点，连结，过点B作交的延长线于点E．(1)如图1，若，，求的面积；(2)如图2，延长到点F使，分别连结，，交于点G．求证：．(3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连结，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．2．已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接(1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系；(2)如图2，①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；②若点P在直线上，，，直接写出的长；(3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长．

3．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F．(1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长；(2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明；(3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积．4．在中，，平分，为上一点．(1)如图1，过作交于点，若，，求的长；(2)如图2，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，猜想线段与之间的数量关系并证明你的猜想；(3)如图3，将（2）中沿翻折得到，为上一点，连接，过作交于点，，，再将沿翻折得到，交、分别于点、

，请直接写出的值．5．如图1，中，，，以为直径的恰好经过点，延长至，使得，连接．(1)求的半径；(2)求证：；(3)如图2，在上取点，连接并延长交于点，连接交于点．①当时，求的值；②设，，求关于的函数表达式．6．在中，，．点D是平面内一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)如图1，若点D为线段的中点，且，求的长；(2)如图2，若点D为内部一点，过点A作交的延长线于点F，交于点G，求证：；(3)如图3，在（1）的条件下，点M是射线上的一点，点N是线段上一点，且，连接，．当最小时，直接写出与的面积的和．7．【问题发现】（1）如图①，是等边三角形，点D，E分别是边上一点，且，点P在线段上运动，以为边向右作等边．①求证：

②过点F作于点G，连接，请判断的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【类比探究】（2）如图②，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程．8．如图，等腰中，，平分．点为上的动点，连接，将沿折叠得到．(1)若，试求出的长度；(2)若，设与相交于点．①请求出的度数；②连接，过点作交的延长线于点．若，．试求线段的长．9．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，；

(1)如图1，若，，连接，求的长；(2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：；(3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积．10．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．解：是由折叠而得到

，

的周长为：【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．

（1）如图1，若，，求的面积；（2）如图2，求证平分；【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．（3）若，，，直接写出长；（4）若，求证．11．（1）已知中，，．①如图1，点M，N均在边上，，，，连接；请直接写出与的数量关系②如图2，点M在边上，点N在的上方，且，求证：；（2）如图3，在四边形中，，平分，若与互余，则的大小为______（用含的式子表示）．

12．如图，在中，半径弦于点E，连接，，点D为上一点，连接、．(1)如图1，求证；(2)如图2，点F为上一点，连接，，若，求证：平分；(3)如图3，在（2）的条件下，平分，交于点K，连接，设与交于点H，，，，求的长．13．如图，四边形内接于，对角线交于点E，连接交于点F，．(1)如图（1）求证：．(2)如图（2）若，求证：．(3)如图（3）在（2）的条件下，作交CD于点G，于点M，若，，求线段OF的长．14．在四边形中，，；

(1)如图1，已知，求得的大小为___________；(2)已知，，在（1）的条件下，利用图1，连接，并求出的长度；(3)问题解决：如图2，已知，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形面积的最小值；如果不能，请说明理由．15．问题探究：(1)如图（1），在中，，，点为边上的一动点，以为边在右侧作，且，，连．若，求的长；(2)如图（2），边长为4的等边，点为边上的一动点，以为边在右侧作，连接，则__________；__________；的周长最小值是__________．问题解决：(3)如图3，四边形中，，，，，点分别为边，上的动点，且，是否存在点，使得四边形面积最大且的周长最小？若存在，求出四边形面积最大值和的周长最小值；若不存在，请说明理由．16．如图1，已知，在中，，，，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段，向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设，．(1)求的值．

(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点P作于点E，连接，．①当为等腰三角形时，求x的值．②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为___________．17．问题提出

如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．尝试应用

如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．问题拓展

如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．18．如图，在中，，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作，交延长线于点F，，，．

(1)求证：；(2)当与相切于点D时，求的半径；(3)若，求的值．19．【模型建立】如图，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：．【模型