数学-专题13 一元一次不等式(组)的实际应用（带答案）

七年级数学下册解法技巧思维培优专题13一元一次不等式(组)的应用题型一一元一次不等式（组）应用题【典例1】（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？【点拨】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，根据y的范围确定购买方案即可；【解析】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，70x＝9800，x＝140，∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，10y≤30，∴y≤3；购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；【典例2】（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？

（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？【点拨】（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元，根据“若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2，根据总费用＝种植每m2所需费用×种植数量结合总费用不超过6300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】解：（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元，依题意，得：2x+3y=430x+2y=260解得：x=80y=90答：该社区种植甲种花卉1m2需80元，种植乙种花卉1m2需90元．（2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2，依题意，得：80（75﹣m）+90m≤6300，解得：m≤30．答：该社区最多能种植乙种花卉30m2．【典例3】（2019•两江新区期末）两江新区某小学每年的六一儿童节都会举办不同主题色的童装盛会，记录孩子们成长的印记，这种活动让商家们看到了新的商机，某网店获悉今年的主题色是梦幻紫色，在六一节前购进梦幻紫色系列的A、B两款童装共86件，其中A款童装120元每件，B款童装80元每件，共用去资金8480元．（1）求此网店购A、B两款童装各多少件？（2）六一儿童节的童装盛会反响非常好，引起社会上的童爸童妈们的高度关注，将这两款童装再次推向了热销，此网店决定再次购进A、B两款童装，数量与上次相同，购进时，发现A款童装的进价上涨了a%，B款童装的进价下降了38a%，总价不超过9050元，求a【点拨】（1）设网店购A款童装x件，购B款童装y件，由题意得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合总价不超过9050元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中

的最大值即可得出结论．【解析】解：（1）设网店购A款童装x件，购B款童装y件，由题意得：x+y=86120x+80y=8480解得：x=40y=46答：网店购A款童装40件，购B款童装46件；（2）根据题意得：120×（1+a%）×40+80×（1-38a%）×46≤解得：a≤163857答：a的最大值为16．题型二一元一次不等式（组）与方程（组）的综合【典例4】（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？【点拨】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价＝单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．【解析】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，依题意，得：2x-y=6x+2y=48

解得：x=12y=18答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，依题意，得：5m+3(8-m)≤3512m+18(8-m)≤128解得：83≤m∵m为整数，∴m＝3，4，5，∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．∵114＜120＜126，∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．巩固练习1．（2019•赣榆区期末）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【点拨】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解析】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，依题意，得：3x+5y=502x+3y=31解得：x=5y=7答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．∵a≤3（200﹣a），∴a≤150．∵﹣2＜0，∴w值随a值的增大而减小，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50．答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．2．（2019•永定区期末）某校计划组织师生共310人参加一次野外研学活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个．（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了20人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．【点拨】（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个，根据“租用6辆大客车和5辆小客车正好能乘坐310人，每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆小客车，则租用（6+5﹣a）辆大客车，根据可乘坐的总人数＝每辆车的乘客座位数×租车辆数结合可乘坐的总人数不少于330人（310+20），即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．【解析】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个，依题意，得：y-x=155x+6y=310解得：x=20y=35答：每辆小客车的乘客座位数是20个，每辆大客车的乘客座位数是35个．

（2）设租用a辆小客车，则租用（6+5﹣a）辆大客车，依题意，得：20a+35（6+5﹣a）≥330，解得：a≤323∵a为整数，∴a的最大值为3．答：租用小客车数量的最大值为3．3．（2019•沙雅县期末）某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（提示：列方程组解答）（2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球？（提示：列不等式解答）【点拨】（1）根据“购买3个足球和2个篮球共需170元．购买2个足球和5个篮球共需260元”分别得出等式方程组成方程组求出即可；（2）利用一次性购买足球和篮球共46个，购买足球和篮球的总费用不超过1480元，得出不等式求出即可．【解析】解：（1）设足球单价x元、篮球单价为y元，根据题意得：3x+2y=1702x+5y=260解得：x=30y=40答：足球单价30元、篮球单价40元；（2）设最多买篮球m个，则买足球（46﹣m）个，根据题意得：40m+30（46﹣m）≤1480，解得：m≤10，∵m为整数，∴m最大取10，答：这所中学最多可以买10个篮球．4．（2019•方城县一模）学校准备购置一批教师办公桌椅，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000

元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．（1）求一套A型桌椅和一套B型桌椅的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的办公桌椅200套，平均每套桌椅需要运费10元，并且A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【点拨】（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，根据“购进2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元；购进1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅（200﹣m）套，由购进A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再设购买费及运费的总和为w元，根据总费用＝购买单价×购买数量+每套的运费×套数，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可找出最省钱的购买方案．【解析】解：（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，依题意，得：2x+y=2000x+3y=3000解得：x=600y=800答：一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元．（2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅（200﹣m）套，依题意，得：m≤3（200﹣m），解得：m≤150．再设购买费及运费的总和为w元，依题意，得：w＝600m+800（200﹣m）+10×200＝﹣200m+162000．∵﹣200＜0，∴w值随着m值的增大而减小，∴当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元．5．（2019•呼兰区月考）某自行车行销售甲、乙两种品牌的自行车，若购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元，若购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆需要进货款4500元．（1）求甲、乙两种品牌自行车每辆进货价分别为多少元？（2）今年夏天，车行决定购进甲、乙两种品牌自行车共50辆，在销售过程中，甲品牌自行车的利润率为80%，乙品牌自行车的利润率为60%，若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500

，那么此次最多购进多少辆乙种品牌自行车？【点拨】（1）设甲种品牌自行车每辆进货价为x元，乙种品牌自行车每辆进货价为y元，根据“购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元；购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆，需要进货款4500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进乙种品牌自行车m辆，则购进甲种品牌自行车（50﹣m）辆，根据利润＝成本×利润率，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】解：（1）设甲种品牌自行车每辆进货价为x元，乙种品牌自行车每辆进货价为y元，依题意，得：5x+6y=95003x+2y=4500解得：x=1000y=750答：甲种品牌自行车每辆进货价为1000元，乙种品牌自行车每辆进货价为750元．（2）设购进乙种品牌自行车m辆，则购进甲种品牌自行车（50﹣m）辆，依题意，得：1000×（50﹣m）×80%+750m×60%≥29500，解得：m≤30．答：此次最多购进30辆乙种品牌自行车．6．（2019•梅州模拟）我市大力发展乡村旅游产业，全力打造客都美丽乡村”，其中“客家美景、客家文化、客家美食”享誉全省，游人络绎不绝．去年我市某村村民抓住机遇，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮收入是住宿收入的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的收入各为多少万元？（2）今年该村村民再投入了10万元，增设了土特产的实体销售和网上销售项目并实现盈利，村民在接受记者采访时说，预计今年餐饮和住宿的收入比去年还会有10%的增长．这两年的总收入除去所有投资外还能获得不少于10万元的纯利润，请问今年土特产销售至少收入多少万元？【点拨】（1）设去年餐饮收入为x万元，住宿为收入y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设今年土特产的收入为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．【解析】解：（1）设去年餐饮收入x万元，住宿收入y万元，依题意得：x+y=20×80%x=2y+1

解得：x=11y=5答：去年餐饮收入11万元，住宿收入5万元；（2）设今年土特产m万元，依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣10≥10，解之得，m≥6.4，答：今年土特产销售至少有6.4万元的收入．7．（2019•百色一模）某学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同），购买1个足球和2个篮球共需270元；购买2个足球和3个篮球共需464元．（1）问足球和篮球的单价各是多少元？（2）若购买足球和篮球共20个，且购买篮球的个数不超过足球个数的2倍，购买球的总费用不超过1910元，问该学校有哪几种不同的购买方案？哪种方案最省钱？【点拨】（1）设足球的单价为x元/个，篮球的单价为y元/个，根据“购买1个足球和2个篮球共需270元；购买2个足球和3个篮球共需464元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买篮球m个，则购买足球（20﹣m）个，根据购买篮球的个数不超过足球个数的2倍及购买球的总费用不超过1910元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各购买方案，求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．【解析】解：（1）设足球的单价为x元/个，篮球的单价为y元/个，依题意，得：x+2y=2702x+3y=464解得：x=118y=76答：足球的单价为118元/个，篮球的单价为76元/个．（2）设购买篮球m个，则购买足球（20﹣m）个，依题意，得：m≤2(20-m)76m+118(20-m)≤1910解得：1057≤m≤13∵m为正整数，∴m＝11，12，13．故有3种购买方案：

方案一：购买篮球11个，足球9个，费用为76×11+118×9＝1898（元）；方案二：购买篮球12个，足球8个，费用为76×12+118×8＝1856（元）；方案三