线性动态电路的复频域分析课件

第十四章线性动态电路的复频域分析主要内容拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质；②反变换的方法；KCL、KVL和VCR的运算形式；拉氏变换在线性电路中的应用；⑤网络函数的定义与含义；⑥极点与零点对时域响应的影响；⑦极点与零点与频率响应的关系。2024/2/191线性动态电路的复频域分析重点①基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路（模型）；②拉普拉斯反变换部分分式展开；③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤；④网络函数的的定义和极点、零点的概念。与其它章节的联系1本章讲述基于拉氏变换的动态电路的分析方法，称为运算法；主要解决一般动态电路、特别是高阶动态电路的分析问题；2是变换域分析方法（相量法）思想的延续，把时域问题变换为复频域问题。2024/2/192线性动态电路的复频域分析§14-1拉普拉斯变换的定义1.引言拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换化为复频域问题。两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中，初始条件成为变换的一部分。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。2024/2/193线性动态电路的复频域分析1.定义

一个定义在[0,+∞]区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为：F(s)=ℒ[f(t)]=∫0-∞f(t)e-stdt式中s=s+jw为复数，被称为复频率；F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。

由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为：f(t)=ℒ-1[F(s)]=2pj1∫c-j∞c+j∞F(s)estdt式中c为正的有限常数。2024/2/194线性动态电路的复频域分析象函数F(s)存在的条件：Re[s]=s>c，一般都存在。(1)定义中拉氏变换的积分从t=0-

开始，即：

注意在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。F(s)=ℒ[f(t)]=∫0-∞f(t)e-stdt=∫0-0+

f(t)e-stdt+∫0+∞f(t)e-stdt它计及t=0-至0+

，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。(2)象函数F(s)一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t)，u(t)。2024/2/195线性动态电路的复频域分析2.典型函数的拉氏变换P345例14-1(1)单位阶跃函数

f(t)=

e(t)F(s)

=∫0-∞e(t)e-stdtℒ[e(t)]=s1=∫0-∞e-stdt=-s1e-st0-∞(2)单位冲激函数d(t)F(s)=∫0-∞d(t)e-stdt=∫0-0+

d(t)e-stdt=e-s(0)ℒ[d(t)]=1(3)指数函数

f(t)=eat(a为实数)F(s)=∫0-∞

eate-stdt=∫0-∞e-(s-a)tdt=-(s-a)1e-(s-a)t0-∞ℒ[eat]=s-a12024/2/196线性动态电路的复频域分析§14-2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质设：ℒ[f1(t)]=F1(s)，ℒ[f2(t)]=F2(s)A1、A2是两个任意实常数。则：ℒ[A1

f1(t)+A2

f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)证：

左

=∫0-∞[A1

f1(t)+A2

f2(t)]e-stdt

=

A1∫0-∞f1(t)e-stdt

+

A2∫0-∞f2(t)e-stdt

=

右A1F1(s)A2F2(s)2024/2/197线性动态电路的复频域分析P346例14-2若f1(t)=sin(wt)，f2(t)=K(1-e-at)的定义域为[0，∞]，求其象函数。ℒ[f1(t)]=ℒ[sin(wt)]2j1(ejwt-e-jwt)欧拉公式

ℒ线性性质2j1ℒ[ejwt]-ℒ[e-jwt]引用ℒ[eat]=s-a1=2j1s-jw1-s+jw1=s2+w2wℒ[f2(t)]=

ℒ[K(1-e-at)]引用阶跃函数和指数函数的结论=sK-s+aK=s(s+a)Kaℒ[K(1-e-at)]=

线性性质ℒ[K]-ℒ[Ke-at]解：s(s+a)Kaℒ[sin(wt)]=s2+w2w2024/2/198线性动态电路的复频域分析2.微分性质若ℒ[f(t)]=F(s)，则ℒ[f

'

(t)]=

sF(s)-f(0-)证：ℒ[f

'

(t)]=∫0-∞df(t)dte-stdt=∫0-∞e-stdf(t)=e-stf(t)0-∞-∫0-∞f(t)de-st=-f(0-)+

s∫0-∞f(t)e-stdtF(s)推论：ℒ[f

(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0-)-sn-2f

'(0-)-

-f(n-1)(0-)

特别，当f(0-)

=f'(0-)

=

=f(n-1)(0-)=

0时则有ℒ[f

'

(t)]=

sF(s)，

，ℒ[f(n)(t)]=

snF(s)该性质可将f(t)的微分方程化为F(s)的代数方程，是分析线性电路(系统)的得力工具。2024/2/199线性动态电路的复频域分析P347例14-3用微分性质求cos(wt)和d(t)的象函数。解：dtdsin(wt)=w

cos(wt)利用微分性质和已知结果：=d(t)dtde(t)ℒ[e(t)]=1/s，ℒ[sin(wt)]=s2+w2wℒ[cos(wt)]=ℒw1dtdsin(wt)=w1ss2+w2w-

sin(0-)ℒ[cos(wt)]=s2+w2s

ℒ[d(t)]=ℒdtde(t)=s(s1-

0)=12024/2/1910线性动态电路的复频域分析3.积分性质若ℒ[f(t)]=F(s)则ℒ

∫0-tf(t)dt=s1F(s)证：设g(t)

=∫0-tf(t)dt则有g'(t)=f(t)，且g(0)=0由微分性质ℒ[g'(t)

]=

sℒ[g(t)]-g(0)=

sℒ[g(t)]ℒ[g(t)

]=s1ℒ[g'(t)

]推论：设ℒ[f(t)]=F(s)则重复应用积分性质可得n重积分的象函数ℒ∫0-tdt∫0-tdt···∫t0-f(t)dt=sn1F(s)2024/2/1911线性动态电路的复频域分析解：f(t)=

t=∫0-te(x)dxℒ[t]=s1P348例14-4，求f(t)=

t的象函数。利用积分性质=s21ℒ

[tn]=sn+1n!ℒ[e(x)]4.延迟性质若ℒ[f(t)]=F(s)，又t<0时f(t)=0则对任一实数t0有：ℒ[f(t-t0)]=e-st0F(s)5.卷积性质若f1(t)、f2(t)在t<0时为0，则f1(t)和f2(t)的卷积定义为[f1(t)*f2(t)=ℒ[f1(t)*f2(t)]=F1(s)F2(s)∫0tf1(t-x)f2(x)dx取拉氏变换有2024/2/1912线性动态电路的复频域分析P349例14-5求矩形脉冲的象函数。

解：f(t)=A[e(t)-e(t-t)]*5.位移性质：

ℒ[eat

f(t)]=F(s-a)*6.初值定理：

f(0)=[s

F(s)]s

∞*7.终值定理：f(∞)=[s

F(s)]s

0

常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。otf(t)Atℒ[e(t)]=s1ℒ[e(t-t)]=s1e-stℒ[f(t)]=sA-sAe-st=sA(1-e-st)2024/2/1913线性动态电路的复频域分析§14-3拉氏反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有

利用公式f(t)=2pj1∫c-j∞c+j∞F(s)estdt

若象函数是，或稍加变换后是表14-1中所具有公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较复杂。工程上一般不采用这种方法。

把F(s)分解为简单项的组合，称部分分式展开法。的形式，可直接查表得原函数。F(s)=F1(s)+F2(s)+

f(t)=f1(t)+f2(t)+

2024/2/1914线性动态电路的复频域分析例：求F(s)=s2+31的原函数。解：F(s)=查表：31s2+(3)23ℒ[sin(wt)]=s2+w2w所以：f(t)=31sin3t2024/2/1915线性动态电路的复频域分析1.部分分式展开法F(s)=D(s)N(s)=a0sm+

a1sm-1+

···+bmb0sn+

b1sn-1+

···+bn在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。当n>m时，F(s)为真分式；当n=m时，用多项式除法将其化为：F(s)=A

+D(s)N0(s)部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。2024/2/1916线性动态电路的复频域分析情况1D(s)=0只有单根K1、K2、···、Kn为待定系数。确定方法如下：F(s)=s-p1K1+s-p2K2+

···+s-pnKnp1、p2、…、pn为D(s)=0的n个不同单根，它们可以实数，也可以是(共轭)复数。方法1：按Ki

=lims

pi(s-pi)F(s)来确定，i=1,2,3,···,n方法2：用求极限方法确定Ki的值。按Ki

=lims

pi(s-pi)N(s)D(s)

=lims

pi(s-pi)N'(s)+N(s)D'(s)=D'(pi)N(pi)i=1,2,3,···,n2024/2/1917线性动态电路的复频域分析P352例14-6求F(s)=的原函数。s3+7s2+10s2s+1解：s3+7s2+10s=0的根分别为：p1=0,p2=-2,p3=-5用Ki

=lim(s-pi)F(s)确定系数。s

piK1=limsF(s)s

0s

0s3+7s2+10s2s+1=0.1=limsK2=lim(s+2)F(s)s

-2s

-2=lim(s+2)2s+1s(s+2)(s+5)=0.5K3=lim(s+5)F(s)s

-5s

-5=lim(s+5)2s+1s(s+2)(s+5)=-0.6f(t)=

0.1+0.5e-2t-0.6e-5tF(s)=s0.1+s+20.5+s+5-0.62024/2/1918线性动态电路的复频域分析在情况1中，若D(s)=0有共轭复根原则上也是上述方法，只是运算改为复数运算：p1=a+jw，p2=a-jwK1=D'(a+jw)N(a+jw)K2=D'(a-jw)N(a-jw)由于F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2必是共轭复数(证明从略)，即若K1=|K1|

ejq1，则必有K2=|K1|

e-jq1f(t)=K1e(a+jw)t+K2e(a-jw)t

=|K1|ejq1e(a+jw)t+|K1|e-jq1e(a-jw)t=|K1|eat[ej(q1+wt)

+

e-j(q1+wt)]根据欧拉公式得：f(t)=

2|K1|eatcos(wt+q1)2024/2/1919线性动态电路的复频域分析解：求s2+2s

+5=0的根P353例14-7求F(s)=s2+2s+5s+3的原函数f(t)。p1=-1+j2，p2=-1-j2a=-1，w=2K1=D'(-1+j2)N(-1+j2)=

0.5

-j0.5=

0.52e-j4p|K1|

=

0.52q1=-4p代入：f(t)=

2|K1|eatcos(wt+q1)得4f(t)=2e-tcos(2t-p)2024/2/1920线性动态电路的复频域分析情况2：如果D(s)=0有q重根(设p1有q重根)。则D(s)中含有(s-p1)q

的因式，F(s)的展开式为系数Ki+1的求法同上，K11~K1q的确定：F(s)=(s-p1)qK11+(s-p1)q-1K12+

···+s-p1K1q

+

∑i=1n-qs-pi+1Ki+1K11=lims

p1(s-p1)q

F(s)K12=lims

p1dsd[(s-p1)qF(s)]K1q=(q-1)!

1lims

p1dsq-1dq-1[(s-p1)qF(s)]f(t)=(q-1)!K11tq-1+(q-2)!K12tq-2+···+K1qep1t

+

∑i=1n-qKi+1e

pi+1t2024/2/1921线性动态电路的复频域分析P354例14-8求F(s)=求K21、K22的方法相同：解：的原函数。s2(s+1)31(s+1)3F(s)=s21s2F(s)=(s+1)31K1q=(q-1)!

1lims

p1dsq-1dq-1[(s-p1)qF(s)]K11==

1lims

-1s21K12==

2lims

-1dsds21K13==

3lims

-1ds2d2s21K21==

1lims

0(s+1)31K22==-3lims

0dsd(s+1)31f(t)=2！1t2e-t+2te-t+3e-t+t-32!12024/2/1922线性动态电路的复频域分析§14-4运算电路用拉氏变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉氏反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。2024/2/1923线性动态电路的复频域分析1.KL的运算形式对KL的时域形式取拉氏变换并应用其线性性质可得KL在复频域中的运算形式：2.VCR的运算形式R+-u(t)i(t)ℒ[∑i(t)]=∑ℒ[i(t)]=

∑I(s)=0ℒ[∑u(t)]=∑ℒ

[u(t)]=

∑U(s)=0(1)电阻R时域形式：u(t)=

Ri(t)运算形式：U(s)=

RI(s)R+-U(s)I(s)运算电路2024/2/1924线性动态电路的复频域分析(2)电感L时域形式u(t)=

L取拉氏变换并应用线性和微分性质sL+-U(s)I(s)+-Li(0-)+-U(s)I(s)sL1i(0-)sdtdi(t)得运算形式：U(s)=

sLI(s)-Li(0-)sL称为L的运算阻抗i(0-)为L的初始电流或者写为：I(s)=sL1U(s)+由上式得电感L的运算电路如图。L+-u(t)i(t)1/sL称为运算导纳si(0-)2024/2/1925线性动态电路的复频域分析(3)电容C取拉氏变换并应用线性和积分性质时域形式：U(s)=sC1I(s)+su(0-)1/sC称为C的运算阻抗。+-U(s)I(s)+-sC1u(0-)su(t)=C1∫0-ti(t)dt+u(0-)得运算形式：C+-u(t)i(t)或者写为：I(s)=sCU(s)-Cu(0-)sC为C的运算导纳。u(0-)为C的初始电压。运算电路如图。+-U(s)I(s)sCCu(0-)2024/2/1926线性动态电路的复频域分析(4)耦合电感U1(s)=

sL1I1(s)

-L1i1(0-)+

sMI2(s)

-Mi2(0-)U2(s)=

sL2I2(s)

-L2i2(0-)+

sMI1(s)

-Mi1(0-)u1=

L1dtdi1

+

Mdtdi2-+sM+-sL1sL2I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)-+L1i1(0-)Mi2(0-)+--L2i2(0-)++-Mi1(0-)-+M+-L1L2i1(t)i2(t)u1(t)u2(t)u2=

L2dtdi2

+

Mdtdi1电压电流关系为两边取拉氏变换，得耦合电感VCR的运算形式。由运算形式得耦合电感的运算电路图2024/2/1927线性动态电路的复频域分析(5)运算电路模型L+-u(t)i(t)CRS+-sL+-U(s)I(s)RS+-+-Li(0-)+-u(0-)ssC1设电容电压的初值为u(0-)电感电流的初值为i(0-)时域方程为u=Ri+L

didt+1C∫0-tidt取拉氏变换得U(s)=RI(s)+sLI(s)-Li(0-)+sC1I(s)-su(0-)(R+sL+sC1由上式得运算电路。)I(s)=Z(s)I(s)=U(s)+Li(0-)+su(0-)2024/2/1928线性动态电路的复频域分析Z(s)=

(R+sL+sL+-U(s)I(s)RS+-+-Li(0-)+-u(0-)ssC1sC1)称运算阻抗运算电路实际是：①电压、电流用象函数形式；②元件用运算阻抗或运算导③电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。纳表示；友情提示

运算法可直接求得全响应；

用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中。2024/2/1929线性动态电路的复频域分析§14-5应用拉氏变换法分析线性电路相量法由电阻电路推广而来，运算法也是。所以运算法的分析思路与相量法非常相似：推广时引入拉氏变换和运算阻抗的概念：

i→I(s)u→U(s)R→Z(s)G→Y(s)

用运算法分析动态电路的步骤：

①求初始值；

②将激励变换成象函数；

③画运算电路(注意附加电源的大小和方向)；

④用电阻电路的方法和定理求响应的象函数；

⑤求原函数得时域形式的表达式。2024/2/1930线性动态电路的复频域分析P359例14-9电路处于稳态。t=0时S闭合，求i1(t)。解：求初值：iL(0-)=0，UC(0-)=

US

=1V求激励的象函数：ℒ[US]=

ℒ[1]=1/s画运算电路：用回路电流法求响应的象函数：+-Usi1(t)R1SCR2(t=0)L1W1V1F1W1HIa(s)Ib(s)Ia(s)

-Ib(s)=0Ia(s)

+I1(s)=Ia(s)

=s(s2+2s+2)1求原函数：

ℒ[I1(s)]=(1+e-tcost-e-tsint)A1+s+s1s1-s1+-+-I1(s)11ss1s1s1211+s1Ib(s)=s12024/2/1931线性动态电路的复频域分析P361例14-11稳态时闭合S。求t≥0时的uL(t)。由结点电压法UL(s)=

Un1(s)5W+-us1iL(t)R1S(t=0)LR2+-us2+-uL2e–2tV5V5W1H解：iL(0-)==1AUn1(s)

=5s2s+5Un1(s)=5(s+2)2

=(s+2)(2s+5)2sℒ[UL(s)]=(-4e–2t

+5e–2.5t

)Vus2R2+-5Ws+-+-UL(s)+-1V5W①s+225s51+51+s15(s+2)2+5s5-s1ℒ[2e–2t

]=s+22ℒ[5

]=5s2024/2/1932线性动态电路的复频域分析P362例14-12求S闭合时的i1(t)和i2(t)。解：根据运算电路列回路电流方程(R1+sL1)I1(s)-sMI2(s)=(1/s)-sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)=0代入数据(1+0.1s)I1(s)-0.05sI2(s)=(1/s)-0.05sI1(s)+(1+0.1s)I2(s)=0取反变换-+sMsL1sL2I1(s)I2(s)R1R2s1-+ML1L2i1(t)i2(t)u1(t)R1SR21W1W1V0.1H0.05H0.1HI1(s)=s(7.5×103s2+0.2s+1)0.1s+1I2(s)=s(7.5×103s2+0.2s+1)0.05i1(t)=(1-0.5e-6.67t-0.5e-20t)Ai2(t)=0.5(0.5e-6.67t-e-20t)A解方程2024/2/1933线性动态电路的复频域分析P363例14-13电路处于稳态时打开S。求i(t)和电感元件电压。解：ℒ[10

]=(10/s)，

iL1(0-)=5A，L1iL1(0-)=1.5VuL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]VuL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]VL1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)I(s)=2+3+(0.3+0.1)ss10+1.5=s(0.4s+5)(1.5s+10)=s2+s+12.51.75i(t)=(2+1.75e-12.5t)AUL1(s)=0.3sI(s)-1.5=-s+12.56.56-0.375UL2(s)=0.1sI(s)=-s+12.52.19-0.3752024/2/1934线性动态电路的复频域分析iL1(0-)=5A

i(t)=(2+1.75e-12.5t)A

uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V

uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]VS打开瞬间iL1(0+)=3.75A所以，当分析iL(t)或uC(t)有跃变情况的问题时，运算法不易出错。L1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)电流发生了跃变。uL1(t)、uL2(t)中将出现冲激电压。

但uL1(t)+uL2(t)无冲激，回路满足KVL。可见拉氏变换已自动把冲激函数计入在内。2024/2/1935线性动态电路的复频域分析加e(t)后再求导，也会产生错误结果。因为e(t)的起始性把函数定义成t<0时为0。所以当电压或电流不为0时，一般不能在表达式中随意加e(t)。本例在求出i(t)后，不要轻易采用对i(t)求导的方法计算uL1(t)和uL2(t)，这会丢失冲激函数项。

提示iL1(0-)=5A

i(t)=(2+1.75e-12.5t)A

uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V

uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]VL1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)2024/2/1936线性动态电路的复频域分析经典法有一定的局限性。若要求用三要素法求解，则按磁链不变原则有：L1iL1(0-)+L2iL2(0-)=(L1+L2)i(0+)i(0+)=L1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1HL1+L2L1iL1(0-)+L2iL2(0-)=0.3+0.10.3×5+0=3.75Ai(∞)=2+310=2At

=2+30.3+0.1=

12.51s代入三要素公式得：i(t)=2+(3.75-2)e-12.5tAi(t)ot245(t≥0+)2024/2/1937线性动态电路的复频域分析为表示t≥0-的情况i(t)=[5-5e(t)+(2+1.75e-12.5t)e(t)]

A，(t≥0-)此时：uL1(t)=L1dtdi(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]Vi(t)=2+(3.75-2)e-12.5tAi(t)ot245i(0-)=iL1(0-)=5AL1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H2024/2/1938线性动态电路的复频域分析§14-6网络函数的定义1.网络函数的定义若电路在单一独立源激励下，其零状态响应r(t)的象函数为R(s)，激励e(t)的象函数为E(s)，则该电路的网络函数H(s)定义为R(s)与E(s)之比。2.网络函数的类型即H(s)delE(s)R(s)H(s)可以是驱动点阻抗、导纳；根据激励E(s)与响应R(s)所在的端口：无源网络I1(s)+-+-ZLI2(s)U2(s)U1(s)电压转移函数、电流转移函数；转移阻抗、转移导纳。2024/2/1939线性动态电路的复频域分析注意

若激励E(s)=1，即e(t)=d(t)，则响应R(s)=

H(s)E(s)=H(s)。

h(t)=ℒ-1[H(s)]=ℒ-1[R(s)]=

r(t)

说明网络函数的原函数为电路的单位冲激响应。或者说，如果已知电路某一处的单位冲激响应h(t)，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关。因此，如果已知某一响应的网络函数H(s)，它在某一激励E(s)下的响应R(s)就可表示为R(s)=

H(s)E(s)2024/2/1940线性动态电路的复频域分析P366例14-15已知激励is=d(t)

求冲激响应h(t)=uc(t)解：激励与响应属同一端口is+-ucGCH(s)=E(s)R(s)=Is(s)Uc(s)=Z(s)为驱动点阻抗。Z(s)=G+sC1

=C1s+RC11h(t)=

uc(t)=

ℒ-1[H(s)]=C1e(t)eRCt-2024/2/1941线性动态电路的复频域分析P366例14-16已知低通滤波器的参数当激励是电压u1(t)

时，求电压转移函数和驱动点导纳函数。1.5H0.5H1WI1(s)I2(s)+-+-u2(t)C2u1(t)L1L3i2(t)i1(t)R34F解：用回路电流法)I1(s)I2(s)=U1(s)(sL1+sC21sC21-I1(s)=

0-sC21+sC21+R)I2(s)(sL3+解方程得：I1(s)

=D(s)L3C2s2+RC2s+1U1(s)I2(s)=D(s)1U1(s)2024/2/1942线性动态电路的复频域分析式中：D(s)

=L1L3C2

s3+RL1C2

s2+(L1+L2)s+R代入数据：D(s)=

s3+2s2+2s+1I1(s)

=D(s)L3C2s2+RC2s+1U1(s)I2(s)=D(s)1U1(s)1.5H0.5H1W+-+-u2(t)C2u1(t)L1L3i2(t)i1(t)R34F电压转移函数为：U2(s)=RI2(s)=I2(s)H1(s)=U2(s)U1(s)=D(s)1=

s3+2s2+2s+11驱动点导纳函数为：H1(s)=I1(s)U1(s)=3(s3+2s2+2s+1)2s2+4s+32024/2/1943线性动态电路的复频域分析§14-7网络函数的极点和零点

由于H(s)定义为响应与激励之比，所以H(s)只与(网络)电路参数有关。在H(s)中不会包含激励的象函数。对于由R、L(M)、C和受控源组成的电路来说，H(s)是s的实系数有理函数，其分子、分母多项式的根或是实数或是(共轭)复数。1.H(s)的一般形式H(s)=D(s)N(s)=ansn+an-1sn-1+

+

a0bmsm+bm-1sm-1+

+

b02024/2/1944线性动态电路的复频域分析写成H(s)=D(s)N(s)=

H0(s-p1)(s-p2)

(s-pj)

(s-pn)(s-z1)(s-z2)

(s-zi)

(s-zm)=

H0Pj=1n(s-pj)Pi=1m(s-zi)H0为常数z1、z2、

zm是N(s)=0的根，当s=zi

时，H(s)=0，称之为网络函数的零点；p1、p2、

pm是D(s)=0的根，当s=pi

时，H(s)→∞，称之为网络函数的极点。2024/2/1945线性动态电路的复频域分析2.网络函数的零、极点分布图在s平面上，H(s)的零点用“○”表示，极点用“×”表示。这样就可以得到网络函数的零、极点分布图。的零、极点图。osjw[s平面]24-2-4-1-212×s3+4s2+

6s+32s2-12s+16解：对分子作因式分解2(s2-6s+8)=2(s-2)(s-4)对分母作因式分解(s+1)(s2+3s+3)例：求H(s)==(s+1)s+23+j23s+23-j23××2024/2/1946线性动态电路的复频域分析§14-8极点、零点与冲激响应根据H(s)的定义可知，电路的零状态响应为：D(s)N(s)Q(s)P(s)R(s)=

H(s)E(s)=H(s)、E(s)的分子和分母都是s的多项式，D(s)Q(s)=0的根将包含D(s)=0和Q(s)=0的根。Q(s)=0的根与激励有关，属强制分量。D(s)=0的根只与网络(电路)参数有关，是自由分量。根据冲激响应过程可知，h(t)中只有自由分量，而h(t)=ℒ-1[H(s)]。所以，分析H(s)的零、极点与冲激响应的关系，就能预见时域响应的特点。2024/2/1947线性动态电路的复频域分析设H(s)为真分式，且分母D(s)=0只有单根，则冲激响应h(t)

=ℒ-1[H(s)]=ℒ-1sjwo[s平面]×pito×pito××pipi*toto×pi×××pipi*toPi仅由网络的结构及元件值确定。∑i=1ns-piKi

=

∑i=1nKi

epit2024/2/1948线性动态电路的复频域分析归纳如下：sjwo[s平面]×pito×pito××pipi*toto×pi×××pipi*to若所有极点全部在左半s平面，则电路(或系统)是稳定的。只要有一个极点pi在右半s平面，电路(或系统)不稳定。若极点在虚轴上，为临界稳定状态。若极点在实轴上，则响应按指数衰减或增长。(单调变化)若极点不在实轴上，一般为共轭复数，则响应为正弦振荡：衰减振荡，或增幅振荡，或等幅振荡。2024/2/1949线性动态电路的复频域分析P371例14-18

根据H(s)的极点分布情况分析uC(t)的变化规律。解：US(s)为激励，

UC(s)为响应，H(s)=UC(s)/US(s)为电压转移函数：C+-uC+-RLuS(t=0)SI(s)UC(s)=I(s)=R+sL+sC1US(s)sC1=s2LC

+sRC+1US(s)H(s)=

LC1(s-p1)(s-p2)1sC1式中p1、p2分别为：p1=-2LR+2LR2-LC1p2=2LR--2LR2-LC12024/2/1950线性动态电路的复频域分析(1)当0<jwso×p1×p2-djwd×p2×p1p1=-2LR+2LR2-LC1p2=2LR--2LR2-LC12LRd=LCw0=1d2+w0wd=2R<2LCp1=-d+jwd，p2=-d-jwd极点位于左半s平面。uC(t)的自由分量为衰减的正弦振荡。极点离虚轴越远，衰减越快。极点离实轴远，振荡频率高。(2)R=0,p1=jwd，p2=-jwd极点位于虚轴，自由分量为等幅振荡。2024/2/1951线性动态电路的复频域分析p1、p2是两个不等的负实根。(3)R>2极点位于负实轴上×p1×p2jwsop1=-2LR+2LR2-LC1p2=2LR--2LR2-LC12LRd=LCw0=1d2+w0wd=2LCuC(t)的自由分量为两个衰减速度不同的指数项。极点离原点越远，衰减越快。uC(t)中的强制分量取决于激励。以上根据H(s)的极点分布情况，定性地分析uC(t)的变化规律。2024/2/1952线性动态电路的复频域分析§14-9极点、零点与频率响应令网络函数H(s)中复频率s=jw，分析H(jw)随w

变化的情况，就可预见相应的网络函数在正弦稳态情况下随w

变化的特性，H(jw)是一个复数。H(jw)=

|H(jw)|j(jw)|H(jw)|为网络函数在频率w处的模值，

|H(jw)|随w

变化的关系为幅度频率响应，简称幅频特性；j(jw)为相位频率响应，简称相频特性。由于H(jw)=H0Pj=1n(jw-pj)Pi=1m(jw-zi)2024/2/1953线性动态电路的复频域分析所以幅频特性具体分析方法(1)公式计算若已知网络函数的零点、极点，则可以通过公式计算频率响应。(2)作图法定性描绘频率响应曲线。①Bode图；②几何求法。举例如下：|H(jw)|=H0Pj=1n|(jw-pj)|Pi=1m|(jw-zi)|相频特性j(jw)=Si=1marg(jw-zi)-Sj=1narg(jw-pi)=ji

-Si=1mSi=1mqi2024/2/1954线性动态电路的复频域分析例14-19定性分析RC串联电路的频率特性，u2为输出。解：(1)写频率特性表达式H(jw)=.U1(jw).U2(jw)=jw

+RC1RC1+-u1+-u2RC为电压转移函数。幅频特性：|H(jw)|

=jw+

H0RC1相频特性：j(jw)=0-q(jw)=-arctg(wRC)(2)为绘制频率特性曲线，需要求若干个点：w=0：|H(j0)|=1j(j0)=0；w=wC

=RC1|H(jwC)|=21j(jwC)=-45o；w→∞：|H(j∞)|=0j(j∞)=-90o。2024/2/1955线性动态电路的复频域分析用几何求法再算几个点：|H(jw)|

=H0osjwjw1M1q1jw2M2q2jw3M3q3jw+

RC1RC1×j(jw)=-q(w)

=

-arctg(wRC)=M(w)H0作图求M(w)和q(w)w=w1：|H(jw1)|=

H0/M1j(jw1)=-q1w=w2：|H(jw2)|=H0/M2j(jw2)=-q2w=w3：|H(jw3)|=H0/M3j(jw3)=-q3幅频特性|H(jw)|ow10.5w1w2wCw321H0/M1H0/M1H0/M22024/2/1956线性动态电路的复频域分析wC称为截止频率。或转折频率。该电路具有低通特性，通频带为wC-0=wC

。wC=RC1采用几何求法，要按比例画图，然后量长度M(w)和测角度q(w)

。此法虽不精确，但不用计算。当需要较准的曲线时，应多求一些点。幅频特性|H(jw)|ow10.5w1w2wCw321wCw1w2j(jw)ow-90ow3-45o相频特性q1q3q22024/2/1957线性动态电路的复频域分析例14-20RLC串联电路的电压转移函数H(s)=解：引用P371例14-18的结果C+-u2+-RLu1U2(s)U1(s)H(s)=LC1(s-p1)(s-p2)1=(s-p1)(s-p2)H0,试根据其零、极点定性绘出H(jw)。为分析频率特性，令s=jw得H(jw)=(jw-p1)(jw-p2)H0式中无零点，极点为：只讨论极点是一对共轭复数的情况。p1，2=-2LR±2LR2-LC12024/2/1958线性动态电路的复频域分析一对共轭复数极点为：p1=-d+jwd，p2=-d-jwd幅频特性表达式：相频特性表达式：j(jw)=-(q1+q2)|H(jw)|

=|

jw-p1||

jw-p2|H0=M1(w)M2(w)H0M1M2q2q1-jwdjwd-djwso××p1p2w=w1：|H(jw1)|

=M1

M2

H0j(jw1)=-(-q1+q2)w=w2，…。用几何求法的作图过d、wd、w0与电路参数的关系同前。jw1程，与例14-19相同，不再重复。2024/2/1959线性动态电路的复频域分析

主导极点的概念对频率特性影响最大，或者说起主要作用的极点。

一对共轭复数极点靠近虚轴，且周围无零点，其它极点与虚轴的距离大于这对极点5倍以上。那么靠近虚轴的这对共轭复数极点对频率特性影响大。jws××-d1M3M1w1p1p2w=0××z1p3p4-d2M4M2N1|H(jw1)|=M1M2

M3M4N1|j(jw1)|=

j1-(q1+q2+q3+q4)从图中看出，当w变化时，对M1、M2和q1、q2的影响较大，而影响最大的是M1和q1。2024/2/1960线性动态电路的复频域分析

极点的品质因数Qp当极点为一对共轭复数时Qpdefd=2dw0d2+w2d21jwso-jwdjwd××p1p2-d是RLC串联谐振回路的品质因数。本例：d=

2LRw0=

LC1即极点到坐标原点的距离与极点实部之比的一半。代入上式得Qp=

R1