高数期末考试

高数期末考试模拟试题

一、填空题________1

1.函数y=arcsinVl—x2+-----------的定义域为

V1—x

2.函数y=x+e'上点(0,1)处的切线方程是。

f(Xo+2h)-f(Xo-3h)

3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则1im------------------------------

h-*oh

4.设曲线过（0,1）,且其上任意点（X,Y）的切线斜率为2X,则该曲线的方程

是

x

5.f---------dx=o

1—x4

1

6.1imXsin-----=o

xf8X

7.设f(x,y)=sin(xy),贝ljfx(x,y)=

RVR2-X2

8.累次积分/dxff（X2+Y2）dy化为极坐标下的累次积分为

00

d3y3d2y

9.微分方程-----+——(-------)2的阶数为—

dx3xdxJ

10.设级数£a”发散，则级数Ea„

n=ln=1000

二、单项选择题内,

(一)每小题1分，共10分

1

1,设函数f(x)=一g(x)=l—X,则f[g(x)]=()

111

①1----------②1+—③-----------------@X

XX1—X

1

2.x-0时，xsin-------1-1是()

x

①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量

3.下列说法正确的是()

①若f(X)在X=Xo连续，则f(X)在X=X。可导

②若f(X)在X=Xo不可导，则f(X)在X=Xo不连续

③若f(X)在X=Xo不可微，则f(X)在X=Xo极限不存在

④若f(X)在X=Xo不连续，则f(X)在X=Xo不可导

4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)<0,f"(x))0,则在(a,b)

内曲线弧丫=f(x)为()

①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧

5.设F'(x)=G'(x),则()

①F(X)+G(X)为常数

②F(X)-G(X)为常数

③F(X)-G(X)-0

dd

(4)------IF(x)dx=-------fG(x)dx

dxdx

1

6.f|x|dx=()

①0②1③2④3

7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()

①平行于Xoy面的平面

②平行于oz轴的平面

③过oz轴的平面

④直线

X

8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg——，贝Uf(tx,ty)=()

y

①tf(x,y)②12f(x,y)

1

③13f(x,y)④——f(x,y)

a„+18

9.设a会0,且1im--------=p,则级数£an()

n—8an=l

①在p〉1时收敛，p〈1时发散

②在P21时收敛，p〈1时发散

③在pWl时收敛，P>1时发散

④在P〈1时收敛，P)1时发散

10.方程y'+3xy=6x2y是()

①一阶线性非齐次微分方程

②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程

④二阶微分方程

(-)每小题2分，共20分

11.下列函数中为偶函数的是()

①y=e^'②y=x“l

(3)y=xJcosx④y=ln|x|

12.设f(x)在(a,b)可导，a<xt(x2<b,则至少有一点€s(a,b)

使()

①f(b)-f(a)=f'(C)(b-a)

②f(b)—f(a)=f'(C)(x2—xi)

③f(X2)—f(xi)=f*(€)(b—a)

④f(x2)—f(Xi)=f'(4)(x2—xD

13.设f(X)在X=Xo的左右导数存在且相等是f(X)在X=Xo可导的()

①充分必要的条件

②必要非充分的条件

③必要且充分的条件

④既非必要又非充分的条件

d

14.设2f(x)cosx=---[f(x)]",则f(0)=1,

则f(x)=()

dx

①C0SX②2—cosx③1+sinx④1—

sinx

15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()

①X，②X'+c③x"+1④X'一

1

1X

16.1imf3tgt2dt=()

x—0x30

1

①o②1③——④00

3

Xy

17.1imxysin----------=()

x-0x2+y2

yf0

①0②1③8④S

in1

18.对微分方程y“=f(y,y'),降阶的方法是()

①设y'=p,则y"=p'

dP

②设y'=P,则y"=

dy

dP

③设y'=P,则y〃=P--------

dy

1dp

④设y'=P,则y〃=------------

Pdy

oooo

19.设基级数£anx"在x°(x0)收敛，则£anxn在|x|(|xo

()

n=on=o

①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关

sinx

20.设D域由y=x,y=x?所围成,贝打f----------do=()

Dx

11sinx

①Jdxf----------dy

0XX

1sinx

②fdy---------dX

0X

1Vxsinx

③fdxf---------dy

0XX

1Jxsinx

④fdyf---------dX

0XX

三、计算题（每小题5分，共45分）

/x—1

1.设y=/-----求y

Vx(x+3)

sin(9x2—16)

2.求1im

x-4/33x—4

dx

3.计算/

(1+ex)

t1

dy

4.设x=f(cosu)arctgudu,y=J(sinu)arctgu

du求------o

0t

dx

5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。

6.设u=ex+Vy+sinz,求du。

xasin0

7.计算ffrsinOdrd。。

00

y+1

8.求微分方程dy=(----------)2dx通解。

x+1

3

9.将f(x)=---------展成的幕级数。

(1-x)(2+x)

四、应用和证明题（共15分）

1.（8分）设一质量为m的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度

（比例常数为k〉0）求速度与时间的关系。

1

2.(7分)借助于函数的单调性证明：当x〉l时，2Jx）3--------

x

附：高数（一）参考答案和评分标准

一、填空题（每小题1分，共10分）

1.(—1,1)

2.2x-y+1=0

3.5A

4.y=x2+1

1

5.------arctgx'+c

2

6.1

7.ycos(xy)

冗/2JI

8.Jd0ff(r2)rdr

00

9.三阶

10.发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的

（）内，1〜10每小题1分，11〜20每小题2分，共30分）

（一）每小题1分，共10分

1.③2.③3.④4.④5.②

6.②7.②8.⑤9.④10.③

（二）福小题2分，共20分

11.©12.④13.⑤14.③15.③

16.②17.®18.③19.①20.②

三、计算题（每小题5分，共45分）

1

1.解：1ny=------[1n(x-1)-1nx—1n(x+3)]（2分）

2

11111

y=(------------)(2分)

y2x-1xx+3

1/X-1111

y'=——/------------(-------------------------)(1分)

2Vx(x+3)x—1xx+3

18xcos(9x16)

2.解：原式=]im--------------------------------(3分)

x-4/33

18(4/3)cosL9(4/3)2-16]

=----------------------------------------------=8(2分)

3

1+ex-ex

3.解：原式=/--------------dx(2分)

(1+ex)2

dxd(1+ex)

=f---------------f---------------(]分)

1+ex(1+ex)2

1+e'-ex1

=f--------------dx+-----------(]分)

1+e'1+ex

1

=x-1n(1+ex)H------------+c(1分)

1+ex

4.解：因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arc

tgtdt(3分)

dy—(sint)arctgtdt

所以------=----------------------------------=-tgt

(2分)

dx(cost)arctgtdt

5.解：所求直线的方向数为{1,0,—3}(3分)

x—1y—1z—2

所求直线方程为--------=--------=--------(2分)

10-3

6.解：du=ex+7y+sinzd(x+Jy+sinx)(3分)

DCACA

BCCBA

DABAD

ADBDA

二课程代码：00020

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设函数式工)=上，则f(2x)=()

XX-1

c2(XT)D2(XT)

-2x'x

2.已知f(x)=ax+b,且f(-l)=2,f(l)=-2,则f(x)=()

A.x+3B.x-3

C.2xD.-2x

3.lim(上尸=()

XT8X+1

A.eB.e_1C.ooD.l

4.函数y=—的连续区间是()

(x+2)(x-1)

A.(-oo,-2)U(-l,+oo)

B.(-oo,-l)U(-l,+oo)

C.(-00,-2)U(-2,-1)U(TM)

D.[3,+oo)

(x+l)ln(x+l)2x*1在x=-l连续，则a=(

5.设函数f(x)=,)

a,x=-l

A.lB.-1C.2D.O

6.设y=lnsinx,贝Udy=()

A.-cotxdxB.cotxdx

C.-tanxdxD.tanxdx

7.设y=ax(a>O,a^1),则y(n)*=o=()

A.0B.l

C.lnaD.(lna)"

8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产X。个单位时的总成本变化率(即边际成本)

是()

egD.^ll

dxdx1x=x0

9.函数y=e"-x在区间(-1,1)内()

A.单调减小B.单调增加

C.不增不减D.有增有减

10.如可微函数f(x)在X。处取到极大值f(x0),则()

,,

A.f(xo)=OB.f(x0)>0

,

C.f(x0)<0Df(X。)不一定存在

11.j[f(x)+xf,(x)]dx=()

A.f(x)+CB.Jxf(x)dx

D.|[x+f(x)]dx

C.xf(x)+C

12.设f(x)的一个原函数是则［xf(x)dx=()

A.—+CB.X5+C

3

5

x

C.-x3+CD.—+C

315

13.fe我dx=()

B.2/e&dx

A.0

cje'dxD.3j\2exdx

14.下列广义积分中，发散的是()

A-B伤

Ax

c・墙

DJ卷

15.满足下述何条件，级数f(J”一定收敛()

n=l

n

A.Z5有界

B.limUn=0

n—>oo

i=l

C.lim-^-=r<l00

D.^IUn1收敛

fu

nn=l

16.基级数£(X-l)n的收敛区间是(

)

n=l

A.(0,2]B.(0,2)

c.[0,2)D.(-l,l)

C)7

17.设z=e丫测丝=()

5y

2

2x

B.^-ey

y

1一

C.--e'yD.--e丫

yy

18.函数z=(x+D、(y-2)2的驻点是()

A.(l,2)B.(-L2)

C.(-l,-2)D.(l,-2)

19.JJcosxcosydxdy=()

0^x<-

2

OKy《

A.OB.lC.-lD.2

20.微分方程包=1+sinx满足初始条件y(0)=2的特解是(

)

dx

A.y=x+cosx+lB.y=x+cosx+2

C.y=x-cosx+2D.y=x-cosx+3

二、简单计算题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

21求.极限lim(Jn+3-G)Jn-1.

nfoo

22设.y=xx,求y().

23.求不定积分f—四迎一dx.

JI+sinxcosx

24.求函数z=ln(l+x、y2)当x=l,y=2时的全微分.

25.用级数的敛散定义判定级数£一■的敛散性.

念Jn+Jn+1

三、计算题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)

26设.z=xy+xF(u),u=2,F(u)为可导函数，求x丝+y—.

x5xdy

27.计算定积分1=fxInV7dx.

28.计算二重积分1=jjcos(x2+y2)dxdy淇中D是由x轴和y=所围成的闭区域.

D

29.求微分方程x吆+y-ex=0满足初始条件y(l)=e的特解.

dx

四、应用题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

30.已知某厂生产x件某产品的成本为C=25000+200x+—X2.问

40

(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品？

(2)如产品以每件500元出售，要使利润最大,应生产多少件产品？

31.求由曲线y=J7,直线x+y=6和

10.设函数y=lnX,则它的弹性函数且=.

Ex

11.函数/)=/e"的单调增加区间为.

12.不定积分\-^=________________.

J2x+3

13.设段)连续且J：/(f)df=x2+cos2x,则於)=_______________.

14.微分方程xdy・ydx=2dy的通解为.

Q27

15.设z=xe£则.

dxdy

三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

k—e“龙〉0

16.设函数f(x)=/在40处连续，试求常数

3x4-1x<0

e'I~

17.求函数f(x)=——；—+xarctanVx的导数.

sin-x

-)

X"

18.求极限lim-------------

ioxer-sinx

19.计算定积分/sin岳dr.

20.求不定积分产\心.

Jl+x2

四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)

21.求函数式x)=x3-62+9x-4在闭区间［0,2］上的最大值和最小值.

22.已知_/(3x+2)=2re，计算/f(x)dx.

23.计算二重积分,其中。是由直线y=xx=l以及x轴所围的区域.

五、应用题(本大题9分)

24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y,其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体(如

图).问当各为多少时可使旋转体的体积最大？

21-3/2

22-eA-l

23x-arctgx+C

243/2

25y+2=0

26tA2f(x,y)

27-l/(2sqrt(x)sqrt(y))

282pi/3

291/2

30(c_lx+c_2)eA(4x)

31.解:原式=+.£-)

_]；ln(l+7)].

klim，…•inn~

zhzsin”工

K1

32・解；・"(工”3G多

.广—笈(.二3)

•㈠+])3

33.解:原式二J：土二里如

=(尹_*血)|?

x

4

34,^：vg=(l+yMn(14.y)

索=x(l+,y)x-*

,••心=■“+影

(1+y)*ln(l+x(l+y)Li4

35.解:fCz)-y,一%-

1一号工

=,圣小।i<4

四

36.证:令A<X)=/(X)—g(H)

VA<a)=/(a)-g(a)=0Mb)=/(«-g(6)=0

:.对Mz)在［a,可上应用罗尔定理得

在(a,B)内至少有一点c,使得A*(c)=0

而五'(工)=/(工)一g'Cr)

从而/(c)=/«)

37.证：1

；.5<5+3cosGW8

从而J■■答e.J~~z"'44

854-3cosx5

由定积分性质得；

J：卷心《J：•点嬴卢《「W七

即:金&L/七7=工〈出

、

DCACA

BCCBA

DABAD

ADBDA

21-3/2

22-eA-l

23x-arctgx+C

243/2

25y+2=0

26tA2f(x,y)

27-l/(2sqrt(x)sqrt(y))

282pi/3

291/2

30(c_lx+c_2)eA(4x)

31.解二原式=

uar，♦s)nz.x弓)

vln(l-i-j：2)i、/

=iim”——尸—•inn-r-n"•-

arzsm'x

二1

32.解C=(紧;y

jG+i»

33.解：原式=]--—^c£r

=(-1-x—^-sin2x)|j

F

34.解：，；言=(1+y)xln(l+y)

意=工(1+》产

,••&=•"+热

=(l+y)xln(l+y)dz+x(l+y)^ldy

35.解:f(N)-y--马—

1一丁

系r|Vl

=自轰不।i<4

2。0乙

四

36.证:令"£)=fGO-gG)

\*A<a)=/(a)——0A(d)=，S)—gS)=0

二对人(工)在［a力］上应用罗尔定理得

在(a,6)内至少有一点c,使得附0=0

而6’Gr)=f(H)—g'Gr)

从而/(c)=/“)

37.证：•；0&cos/4l

；.545+3cosz工《8

从而34汗急

由定积分性质得；

J：i•&<J：甲W工心wJ：冷心

即:金wj：S+iod/zW"

大一上学期高数期末考试

一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1.^/(x)=cosx(x+binx|),贝1J在X=0处有()

(A)r(o)=2(B)r(o)=i(or(o)=o(D)/⑺不可导.

设a(x)=^~,/?(x)=3-3^［x,贝!］当x—>1时()

2.1+x.

(A)a(x)与"工)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；⑺)a(x)与仪x)

是等价无穷小；

(C)是比夕(X)高阶的无穷小；(D)伙工)是比。(幻高阶的

无穷小.

3.若尸(幻=1⑵-xW)",其中y(x)在区间上(-1,1)二阶可导且

/'(x)>0,则().

(A)函数/(%)必在x=()处取得极大值；

(B)函数F(x)必在x=0处取得极小值；

(C)函数尸(%)在x=0处没有极值，但点(0/(。))为曲线y=「(x)的拐点；

(D)豳"X)在X=()处没有极值,点(0,尸⑼)也不是曲线y=尸⑶的拐点。

4郎(X)是连续函数，且/(X)=X+21,贝！J/(x)=()

x2'+2

(A)T(B)T+(C)x-1(D)X+2.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

Iim(l+3x)

已知二三是〃x）的一个原函数,

X

Vx2arcsinx4-1,

----/■——dx=

JK

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.设函数y=y（x）由方程e"'+sin（孙）=1确定，求V（x）以及V（0）.

xex<0

设/(x)=«9

O<x<1

g(x)=^f(xt)dt=4

12.设函数/（*）连续，。，且…。x一，4为常数.求

g'（x）并讨论g'（x）在X=0处的连续性.

,y（l）=

13.求微分方程盯+2y=xIn*满足9的解.

四、解答题（本大题10分）

14.已知上半平面内一曲线y=y（x）（XN°）,过点（°」），且曲线上任一点

“（/，打）处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x=x°所围成

面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题io分）

15.过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围

成平面图形D.

（1）求D的面积A；（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数/J）在［°川上连续且单调递减，证明对任意的qdo，iJ,

jf(x)dx>qjf(x)d.

九冗

\f{xydx=0f/（x）cosxdx=0

17.设函数/（X）在[°，句上连续，且W,o

证明：在（°，万）内至少存在两个不同的点54,使/值）=/（$）=0•（提

X

尸口）=[f（x）dx

示：设0）

解答

一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

71

6-1(/C---O----S---X--)、2+C-4

.6.2x.7.2.8.3

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.解：方程两边求导

ex+y（l+y'）+cos（盯）（盯'+y）=0

*+ycos(xy)

x+y+xcos(xy)

%=0,y=0,y'(0)=-1

10.解：u=x17xhdx=du

原西T式=—1—)d,u=-1)du

7z)7

=y(InIizI-2InIw+11)+c

1.2

=-Inlx71——lnll+x7l+C

77

2

U.解：l'3fMdx=^xe-dx+^2x-xdx

=£xrf(-e~x)+fy/l-(x-l)2dx

^cos20d0(令-1=sin6)

2

=----2e'-1

4

12.解：由/（°）=°,知g（°）=°。

1w

g(x)=jf(xt)dt=-----------

(xwO)

X

xf(x)-jf(u)du

0(x*0)

x2

g，(0)=lim__--=lim2

XTOXXT。2x2

X

Xf(x)-jf(u)du

Hmg，(x)=lim----------%---------=A---=—,,、

—…。x222,g(x)在x=O处连续。

dy2

—+—v=Inx

13.解：dxx

-f,「rldI

y=e>x(\elxInxdx+C)

=—xlnx——x+Cx~2

39

j(l)=--,C=0j=—xlnx-—x

9,39

四、解答题(本大题10分)

14.解:由已知且y'=2>dx+y,

将此方程关于X求导得y"=2y+<

特征方程：r2-r-2=0解出特征根：。=-1，々=2.

x2x

其通解为y=Cte-+C2e

c=—C=—

代入初始条件y(°)=y'(°)=i,得।3,23

y=-e~x+—e2x

故所求曲线方程为：’33

五、解答题(本大题10分)

y-1111ro=—(x-x0)

15.解：(1)根据题意，先设切点为(Xo，Ex。)，切线方程：*0

1

V=—X

由于切线过原点，解出“。=%从而切线方程为：e

1]

A=\(ey-ey)dy=-e-l

则平面图形面积02

V——乃e2

(2)三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为匕，则।3

曲线y=lnx与*轴及直线*=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积

为V2

1

y2

V2=^(e-e)dy

V=V.-V=-(5e2-12e+3)

D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积'226V

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)

夕1g<71

J7(x)dx-qj7(x)d=J7(x)dx-q(J7(x)dx+J/(x)d>

16.证明：00。0q

qi

=