快速傅里叶变换(FFT)课程设计

快速傅里叶变换(FFT)的DSP实现(马灿明计算机学院计算机应用技术2110605410)摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后，然后介绍FFT在TMS320C55xx定点DSP上的实现，FFT算法采用C语言和汇编混合编程来实现，算法程序利用了CCS对其结果进行了仿真。关键字：FFT，DSP，比特反转1.引言傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式，是信号处理领域中一种重要的分析工具。离散傅里叶变换〔DFT〕是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。由于DFT的计算量很大，因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。20世纪60年代由Cooley和Tukey提出了快速傅里叶变换〔FFT〕算法，它是快速计算DFT的一种高效方法，可以明显地降低运算量，大大地提高DFT的运算速度，从而使DFT在实际中得到了广泛的应用，已成为数字信号处理最为重要的工具之一。DSP芯片的出现使FFT的实现变得更加方便。由于多数的DSP芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算，而且还提供了专门的FFT指令〔如实现FFT算法所必需的比特反转等〕，使得FFT算法在DSP芯片上实现的速度更快。本节首先简要介绍FFT算法的根本原理，然后介绍FFT算法的DSP实现。2.FFT算法的简介快速傅里叶变换〔FFT〕是一种高效实现离散傅里叶变换〔DFT〕的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。2.1离散傅里叶变换DFT对于长度为N的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换〔DFT〕为〔1〕式中，，称为旋转因子或蝶形因子。从DFT的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k值，直接按〔1〕式计算X(k)只需要N次复数乘法和〔N-1〕次复数加法。因此，对所有N个k值，共需要N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N值〔如1024点〕来说，直接计算它的DFT所需要的计算量是很大的，因此DFT运算的应用受到了很大的限制。2.2快速傅里叶变换FFT旋转因子WN有如下的特性。。对称性：。周期性：利用这些特性，既可以使DFT中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT分解成几个短序列的DFT。FFT就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。FFT的算法是将长序列的DFT分解成短序列的DFT。例如：N为偶数时，先将N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，使复数乘法减少一半：再将每个N/2点的DFT分解成N/4点的DFT，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数，对于基数为2的FFT算法，它的最小变换是2点DFT。一般而言，FFT算法分为按时间抽取的FFT〔DITＦＦＴ〕和按频率抽取的ＦＦＴ〔DIFFFT〕两大类。ＤIFFFT算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇／偶分成２个短序列进行计算。而DIFFFT算法是在频域内将每一级输入序列依次奇／偶分成２个短序列进行计算。两者的区别是旋转因子出现的位置不同，得算法是一样的。在DIFFFT算法中，旋转因子出现在输入端，而在DIFFFT算法中它出现在输入端。假定序列x(n)的点数N是2的幂，按照DIFFFT算法可将其分为偶序列和奇序列。偶序列：奇序列：那么x(n)的DFT表示为由于，那么〔3〕式可表示为式中，和分别为和的N/2的DFT。由于对称性，那么。因此，N点可分为两局部：前半局部：〔4〕后半局部：〔5〕从式〔4〕和式〔5〕可以看出，只要求出0~N/2-1区间和的值，就可求出0~N-1区间的N点值。以同样的方式进行抽取，可以求得N/4点的DFT，重复抽取过程，就可以使N点的DFT用上组2点的DFT来计算，这样就可以大减少运算量。基2DIFFFT的蝶形运算如图(a)所示。设蝶形输入为和，输出为和，那么有〔6〕〔7〕在基数为2的FFT中，设N=2M，共有M级运算，每级有N/2个2点FFT蝶形运算，因此，N点FFT总共有个蝶形运算。-1图(a)基2DIFFFT的蝶形运算例如：基数为2的FFT，当N=8时，共需要3级，12个基2DITFFT的蝶形运算。其信号流程如图(b)所示。x(0)x(0)WN0x(4)x(1)-1WN0x(2)x(2)-1WN0WN2x(6)x(3)-1-1WN0x(1)x(4)-1WN0WN1x(5)x(5)-1-1WN0WN2x(3)x(6)-1-1WN0WN2WN3x(7)x(7)-1-1-1图(b)8点基2DIFFFT蝶形运算从图(b)可以看出，输入是经过比特反转的倒位序列，称为位码倒置，其排列顺序为。输出是按自然顺序排列，其顺序为。3.FFT算法的DSP实现DSP芯片的出现使FFT的实现方法变得更为方便。由于大多数DSP芯片都具有在单指令周期内完成乘法—累加操作，并且提供了专门的FFT指令，使得FFT算法在DSP芯片实现的速度更快。FFT算法可以分为按时间抽取FFT(DIFFFT)和按频率抽取FFT(DIFFFT)两大类，输入也有实数和复数之分，一般情况下，都假定输入序列为复数。下面以N复数点FFT算法为例，介绍用DSP芯片实现的方法。3.1FFT运算的实现用TMS320C55XX的C语言和汇编混合编程实现FFT算法主要分为三步:实现输入数据的比特反转输入数据的比特反转实际上就是将输入数据进行位码倒置,以便在整个运算后的输出序列是一个自然序列。在用汇编指令进行位码倒置是，使用位码倒置寻址可以大大担高程序执行速度和使用存储器的效率。在这种寻址方式下，AR0存放的整数N是FFT点的一半，一个辅助存放器指向一个数据存放的章元。当使用位码倒置寻址将AR0加到辅助存放器时，地址将以位码倒置的方式产生。实现N点复数FFTN点复数FFT算法的实现可分为三个功能块，即第一级蝶形运算，第二蝶形运算，第三级至级蝶形运算。对于任何一个2的整数幂N=2M，，总可以通过M次分解最后成为2点的DFT计算。通过这样的M次分解，可构成M〔即〕级迭代运算完成。输出FFT结果3.2FFT算法程序主要由exp7b.c,w_table.c,fft.asm,bit_rev.asm四个程序组成.exp7b.c：主调用子程序用来调用其他程序,实现统一接口。w_table.c：旋转因子程序，用来计算旋转因子。bit_rev.asm：位码倒置程序，用来实现输入数据的比特反转。fft.asm：FFT算法主程序，用来完成N点FFT运算。4.小结：本实验通过学习快速傅里叶变换(FFT)的原理，然后在CCS平台下编程对其进行模拟仿真，对快速傅里叶变换(FFT)有个一个较深刻的理解。并且熟悉了DSP，CCS平台，到达了课程教学的目的。但由于初学DSP，许多东西不明白，以后还需对DSP努力学习研究，到达一个高水平。参