大一高数复习总结及相关习题

大一高数第一章复习总结及相关习题大一高数第一章复习总结及相关习题

第一章函数与极限习题课

一、主要内容

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一）函数

1.函数的定义函数的分类

2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数

5.根本初等函数6.复合函数7.初等函数

8.双曲函数与反双曲函数（二）极限

1、极限的定义：\“N\“定义\“\“定义\“X\“定义单侧极限极限存在的条件2、无穷小与无穷大

无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限4、求极限的常用方法

a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；g.利用重要极限

5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限

(1)limsinx1x0x某过程limsin1;

1x(2)1xlim(1)exx1lim(1x)x0e

某过程

7、无穷小的比拟

8、等价无穷小的替换性质

9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续

1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性

lim(1)e.2、连续点的定义连续点的分类第一类、其次类

3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性

4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题例当x1时,

242n求lim(1x)(1x)(1x)(1x).n解将分子、分母同乘以因子(1-x),则

n(1x)(1x)(1x2)(1x4)(1x2)原式limn1x

2242n(1x)(1x)(1x)(1x)limn1x

n22n2n11(1x)(1x)1xn1.(当x1时,limx20.)limlimnn1xn1x1x1例1tanxx3求lim().x01sinx111tanxtanxsinx33xx解原式lim[1(1)]lim[1]x0x01sinx1sinx

1tanxsinx1limsinx(1cosx)1limsinx1cosx1lim3x0x0xx2(1sinx)cosx211sinxx3x0(1sinx)cosxx

原式e2.p(x)x3例xx2p(x)lim1,求p(x).x0x

p(x)x32,解limxx2

可设p(x)x32x2axb(其中a,b为待定系数)

p(x)又lim1,

x0x32p(x)x2xaxb~x(x0)

从而得b0,a1.故p(x)x32x2x

x1,x1例6争论f(x)的连续性.x

cos,x12将f(x)改写成解1x,x1xf(x)cos,1x12x1,x1

设p(x)是多项式,且lim2,明显f(x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.当x1时,

x1limf(x)lim(1x)2.x1x1x1x1limf(x)limf(x)coslimf(x)xlim1x20.故f(x)在x1连续.当x1时,x1limf(x)limcosx1x20.f(x)limf(x)limf(x)lim(x1)limx1x1x1x1

故f(x)在x1连续.f(x)在(,1)(1,)连续.

[0,1]上连续,且f(0)f(1),例设f(x)在闭区间1证明必有一点[0,1]使得f()f().211令F(x)f(x)f(x),则F(x)在[0,]上连续.证明22111F(0)f()f(0),F()f(1)f(),222争论:1f(0)f(0);若F(0)0,则0,211111若F()0,则,f()f();222221若F(0)0,F()0,则2例证

即xn单调减，有下界

xn存在故由单调有界原理得limn1a设x10,证明xn1(xn)有极限(a0)2xn1ax(x)an1n明显xn02xn21aax1nxn1xn(xn)02xn2xn1a1aA(A)设limxnA，则A0在xn1(xn)两边取极限得n2A2xn解得Aa,Aa（舍去）12sinxxcos例求xlimx0(1cosx)ln(1x)

解sinx1xcos101xx原式limx0ln(1x)212(1cosx)x例求

令ux1则x1u解3n(1u1)(1u1)(1u1)由(1u)1~u得Ilimu0un1111uuu1

lim23n1nu0n!u

(x1)(3x1)(nx1)limx1(x1)n1xxxcoscos,(x0)例.求极限2nn222

xxxxcoscos2cosn2sinn

2222解原式limnx2sin

2n

xxxxcoscoscos2sinn1n12422limnx22sin2nx

nsinxsinx2limlimnnxxnsinx2sinnn22

limcossinxxxxc设lim例4，求cxxcxc2ccxx2c2c2c2climxc11limlim1xxcxc解一xxcxxc

e2c42c2ln2得cln2

x解二c1xxxceclime2climxcxxcexc1x

limnn1例证明n

n(n1)2n(n1)22nhn1hn证首先nn1记nn1hnn(1hn)1nhn2!2!

220hn

nlimhn0limnn1由夹逼定理知nn

xb例确定a,b的值，使f(x)有无穷(xa)(x1)

连续点x0,，有可去连续点x解因f(x)在x=0处为无穷连续，即limf(x)x0

xa1(xa)(x1)lim0limlimx0xbx0f(x)x0xb

又x=1为可去连续，故limf(x)存在例解

x1a0,b01blim(xb)lim[f(x)(xa)(x1)]limf(x)lim(xa)(x1)0x1x1x1x1b11f(x)sin2x12,求limf(x)x0x0e3x11f(x)sin2x1由lim23xx0e1而lim(e3x1)0lim(1f(x)sin2x1)已知limx0x0limx0x01f(x)sin2x13x(e1)201*xe1f(x)sin2x0lim1f(x)sin2x1limx0从而由等价无穷小的代换性质得

1f(x)sin2x1sin2x1f(x)sin2x12limf(x)2limlim3x3x02xx0x0e13xsin2xf(x)存在，且limf(x)6由lim1limx0x0x02xnn1例利用介值定理证明，当n为奇数时，方程a0xa1x至少有一实根

证令f(x)axnaxn1axa0,01n1n

an1anf(x)a1limlim(a)a000xxnxxxn1xn

故由函数极限的保号性质可知

an1xan0,(a00)又n是奇数，所以

x)nX00,使当|x|X0时f(n与a0同号，亦即，当|x|X0时，f(x)与a0x同号xf(2X0)f(2X0)0a(2X)n与a(2X)n异号0000

即a0xna1xn1an1xan0至少有一实根

和差化积积化和差

sinθ+sinφ=2sin*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαsinβ=*cos(α+β)-cos(α-β)+\/2sinθ-sinφ=2cos*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαcosβ=*cos(α+β)+cos(α-β)+\/2cosθ+cosφ=2cos*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαcosβ=*sin(α+β)+sin(α-β)+\/2cosθ-cosφ=-2sin*