浙江省2024年普通高中学业水平考试数学模拟卷(六)（含答案）

浙江省2024年普通高中学业水平考试数学模拟卷(六)(时间:80分钟,满分:100分)一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1.已知集合A={0,1,2},B={0,2,4},则A∪B=()A.⌀ B.{0,2}C.{1,4} D.{0,1,2,4}2.函数y=ln(x+1)的定义域是()A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)C.(0,+∞) D.[0,+∞)3.设命题p:∃n∈N,n2>2n+5,则p的否定为()A.∀n∈N,n2>2n+5 B.∀n∈N,n2≤2n+5C.∃n∈N,n2≤2n+5 D.∃n∈N,n2=2n+54.设α∈R,则sinα-π2=()A.sinα B.-sinα C.cosα D.-cosα5.已知a,b∈R,则“|a-b|<1”是“|a|+|b|<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量a=(m,1),b=(2,-3),若a⊥b,则实数m=()A.-23 B.23 C.32 D7.若数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s2,则5x1+2,5x2+2,…,5xn+2的平均数和方差分别为()A.x,s2 B.5x+2,s2 C.5x+2,25s2 D.x,25s28.为得到函数y=sin2x的图象,只需将函数y=sin2x-π4的图象()A.向右平移π4个单位 B.向左平移πC.向右平移π8个单位 D.向左平移π9.科学研究已经证实,人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期,按y=sin(ωx+φ)进行变化,记智力曲线为I,情绪曲线为E,体力曲线为P,且现在三条曲线都处于x轴的同一点处,那么第322天时()A.智力曲线I处于最低点B.情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期C.智力曲线I与情绪曲线E相交D.情绪曲线E与体力曲线P都关于(322,0)对称10.两条异面直线与同一平面所成的角,不可能是()A.两个角均为锐角 B.一个角为0°,一个角为90°C.两个角均为0° D.两个角均为90°11.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log22024)等于()A.-125128 B.125128 C.-128125 12.在三棱锥A-BCD中,平面ACD⊥平面BCD,△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形,AB⊥BC,AC=2CB=4,则该三棱锥的外接球的半径为()A.23 B.10 C.210 D.3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)13.关于复数z=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位),下列说法正确的是()A.z2=x2+y2 B.若|z-2i|=2,则x2+(y-2)2=4C.若zi为纯虚数,则x≠0,y=0 D.|z|>22(|x|+|y|14.已知函数f(x)=2x-2-x,函数g(x)=lnx+11-A.f(x)·g(x)是偶函数B.f(x)·|g(x)|是奇函数C.|f(x)|·g(x)是偶函数D.|f(x)·g(x)|是偶函数15.下列说法正确的是()A.若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)B.若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)D.若事件A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,过D,M,N三点的平面截正方体,得到截面多边形α,则下列说法正确的是()A.多边形α是一个六边形B.多边形α的周长为613+32C.AC1⊥平面DMND.截面多边形α在顶点D处的内角的余弦值为4三、填空题(本大题共4小题,共15分)17.已知函数f(x)=2x,x≥1,log2(1-x),x18.已知等腰三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinB+(c-b)sinC=asinA,延长线段BC至D,使BD=5,若△ACD的面积S=3,则AD=.

19.已知实数a>0,b>0,a-2b=1,则a2+4b2+14ab的最小值为20.已知2个单位向量m,n满足:对任意的x∈R,有|m+xn|≥m-12n恒成立.若2|c|=1,则对任意的λ∈R,|c-λm-(1-λ)n|四、解答题(本大题共3小题,共33分)21.(11分)某地为了了解市场经营户年收入情况,随机抽取60家经营户,经统计,这60家经营户去年经营收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9.(1)求a,b的值;(2)估计这60家经营户年收入的平均值(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);(3)用分层抽样的方法在收入区间为[6.5,8.5)的经营户中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2个,求至多有1户在收入区间为[7.5,8.5)内的概率.22.(11分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AC,AB⊥BC,PA=6,AB=BC=8.设D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,且DF=5.(1)求证:平面DEF⊥平面ABC;(2)求平面PBC与平面PAC所成角的正弦值.23.(11分)已知函数f(x)=ax2-|x-a|,a∈R.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间(不必写明证明过程);(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)当-1≤a≤2时,若对任意的x∈[1,3],恒有f(x)+bx≤0成立,求a2+3b的最大值.参考答案1.D解析由题知A∪B={0,1,2}∪{0,2,4}={0,1,2,4},故选D.2.A3.B解析因为命题p:∃n∈N,n2>2n+5,所以p的否定p:∀n∈N,n2≤2n+5,故选B.4.D解析sinα-π2=-sinπ2-α=-cosα,故选D.5.B6.C解析∵a=(m,1),b=(2,-3)且a⊥b,则a·b=2m-3=0,解得m=32故选C.7.C8.D解析因为将函数y=sin2x-π4的图象向左平移π8个单位,则y=sin2x+π8-π4=sin2x.故选D.9.D解析当第322天时,322除33余25,322除28余14,322除23余0,即智力曲线I位于2533周期处,情绪曲线E位于12周期处,体力曲线PA选项,因为2533>34,则智力曲线I不处于最低点,B选项,情绪曲线E处于最高点,即将开始下降,故B错误;C选项,经过n个周期后,因为周期不同,所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交,故C错误;D选项,(322,0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上,故D正确,故选D.10.D解析对于A,两个角可能均为锐角,故A不符合题意;对于B,可能一个角为0°,一个角为90°,故B不符合题意;对于C,可能两个角均为0°,故C不符合题意;对于D,如果两个角均为90°,则两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,不是异面直线,故这两个角不可能均为90°,故D符合题意.故选D.11.A解析定义在R上的函数f(x)满足f(x)为奇函数,f(x+1)为偶函数,可得f(-x)=-f(x),f(-x+1)=f(x+1)⇒f(-x)=f(x+2),则f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得f(x)的最小正周期为4,由于log22024∈(10,11),则log22024-12∈(-2,-1),(log22024-12)+2∈(0,1),当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,所以f(log22024-12+2)=2log22024-10-1=2-10×2log22024-1则f(log22024)=f(log22024-12)=-f(log22024-10)=-(2log22024-10-1)=1-故选A.12.B解析设CD中点为M,连接AM,因为△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形,AC=2CB=4,所以AM=DM=CM=22,AM⊥CD,过点M作MN⊥CD,因为平面ACD⊥平面BCD,平面ACD∩平面BCD=CD,MN⊂平面BCD,AM⊂平面ACD,所以MN⊥平面ACD,AM⊥平面BCD,所以三棱锥的外接球的球心在MN上,设外接球的半径为R,则由AB⊥BC得AB=23,由AM⊥BM得BM=2=BC,又因为BM2+BC2=CM2,所以△BCM为等腰直角三角形,设球心为O,CM中点为P,连接BP,则MP=CP=BP=2,所以OM=R2-即R2-(22)2=R13.BC解析z2=(x+yi)2=x2+2xyi+y2i2=x2-y2+2xyi,故选项A错误;|z-2i|=2,由几何意义可得(x,y)到(0,2)的距离为2,进而可得,x2+(y-2)2=2,即x2+(y-zi=(x+yi)i=-y+xi且为纯虚数,x≠0,y=0,故选项C正确;|z|=x2+y2,可取x=12,y=12,则|z|=x2+y2=22,22(|x|+|y|)=2故选BC.14.ABD解析函数f(x)=2x-2-x的定义域为R,函数g(x)=lnx+11-x的定义域为(-1,1),f(-x)=2-x-2x=-f(x),g(-x)=ln-x+11+对于A,函数f(x)·g(x)的定义域为(-1,1),f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x),f(x)·g(x)是偶函数,A正确;对于B,函数f(x)·|g(x)|的定义域为(-1,1),f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,f(x)·|g(x)|是奇函数,B正确;对于C,函数|f(x)|·g(x)的定义域为(-1,1),|f(-x)|·g(-x)=-|f(x)|·g(x),|f(x)|·g(x)是奇函数,C错误;对于D,函数|f(x)·g(x)|的定义域为(-1,1),|f(-x)·g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)·g(x)|是偶函数,D正确.故选ABD.15.ABC解析对于A,根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确;对于B,若事件A,B相互独立,则A,B也相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),对于C,根据互斥事件的概率加法公式即可判断C正确;对于D,例如,从1,2,3,4中随机选出一个数字,记事件A=“取出的数字为1或2”,B=“取出的数字为1或3”,C=“取出的数字为1或4”,则AB=AC=BC=ABC=“取出的数字为1”,显然P(A)=P(B)=P(C)=24P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=14满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),所以事件A,B,C两两独立,但是P(ABC)≠P(A)·P(B)P(C),故D错误.故选ABC.16.BD解析延长MN,AB相交于Q,连接DQ交BC于E,连接NE,则由△BNQ≌△B1NM可得BQ=B1M=3,又△QBE∽△QAD,∴QBAQ=BE取B1H=2,连接D1H,过M作MF∥D1H,连接DF,由于EH∥B1B,EH=B1B,又DD1∥B1B,DD1=B1B,∴EH∥D1D,EH=D1D,四边形DD1HE为平行四边形,故ED∥HD1,又MF∥HD1,∴MF∥ED,根据BEBN∴NE∥DF,则五边形MNEDF即为截面多边形,故A错误;由MF∥D1H可知A1F=2,∴五边形MNEDF的周长为MN+NE+ED+DF+MF=32+32+22+62+4由于B1D1⊥A1C1,B1D1⊥A1A,且A1C1∩A1A=A1,A1C1,A1A⊂平面A1C1A,∴B1D1⊥平面A1C1A,C1A⊂平面A1C1A,∴C1A⊥D1B1,若AC1⊥平面DMN,MF⊂平面DMN,则AC1⊥MF,MF∥D1H,故AC1⊥D1H,D1H∩D1B1=D1,D1H,D1B1⊂平面D1B1H,故AC1⊥平面D1B1H,这显然是不成立的,故AC1与平面DMN不垂直,故C错误;连接EF,EH,HF,由于EH∥BB1,EH=BB1,HF∥A1B1,HF=A1B1,∴四边形BEHB1,A1B1HF均为平行四边形,则EF=EH2+Hcos∠EDF=ED2+DF2-E17.-12解析因为f(x)=2则f(sin30°)=f12=log21-12=-1,f(-3)=log2(1+3)=2.18.21解析由正弦定理,b2+(c-b)c=a2,即bc=b2+c2-a2故cosA=b2又因为A∈(0,π),故A=π3所以△ABC是等边三角形.又因为△ACD的面积S=12CA·CDsin∠ACD=3故S=12CA·(5-CA)·3解得(CA-1)(CA-4)=0,解得AC=1或AC=4.当AC=1时,CD=5-1=4,当AC=4时,CD=5-4=1,故AD2=CA2+CD2-2CA·CDcos2π3=1+16+4=21,故AD=19.3解析实数a>0,b>0,a-2b=1,则a2+4b2+14ab=(a-2b)2+4ab+14ab≥1+当且仅当b=-1+34,a=1+3a2+4b2+14ab的最小值为20.3-12,+∞解析因为对任意的x∈R,有|m+xn|≥m-12n恒成立,所以(m+xn)2≥m-12即m2+2xm·n+x2n2≥m2-m·n+14n2恒成立又因为m,n为单位向量,所以x2+2xm·n+m·n-14≥0恒成立所以Δ=(2m·n)2-4m·n-14=4(m·n)2-4m·n+1=(2m·n-1)2≤0,所以2m·n-1=0,所以m·n=12,设m与n的夹角为θ,则m·n=|m||n|cosθ=cosθ=1又因为θ∈[0,π],所以θ=π3,不妨设m=OA=(1,0),n=OB=12,32,c=OC=(x因为2|c|=1,所以x2+y2=14,所以点C在以坐标原点为圆心,半径r=12设OD=λm+(1-λ)n=λOA+(1-λ)OB,则D在直线AB上,又因为直线AB的方程为y=3212即3x+y-3=0,所以c-λm-(1-λ)n=OC−所以|c-λm-(1-λ)n|=|DC|,又因为O到直线AB的距离d=|-3所以|DC|≥32-r=3即|c-λm-(1-λ)n|的取值范围是3-12,+∞21.解(1)依题意得0.10+0.15+0.15+a+b+0.05=1,即a+b=0.55,又第80百分位数在[8.5,9.5),∴0.05+0.6b=1-0.8,解得a=0.3,b=0.25.(2)x=5×0.1+6×0.15+7×0.15+8×0.3+9×0.25+10×0.05=7.6.(3)在[6.5,7.5)有9户,在[7.5,8.5)有18户,所以在[6.5,7.5)内抽取2户,在[7.5,8.5)内抽取4户,设在[6.5,7.5)内抽取的2户为A1,A2,在[7.5,8.5)内抽取的4户为B1,B2,B3,B4,任取2户的所有情况为A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,共15种情况,其中至多有1户在[7.5,8.5)内的样本点包含A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,共9个,设至多有1户在[7.5,8.5)内为事件A,则P(A)=91522.(1)证明由PA⊥AC,D,E分别为棱PC,AC的中点,得DE∥PA,DE⊥AC,AB=BC=8,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,且EF=4,DE=3,DF=5,DF2=DE2+EF2,DE⊥EF,EF⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,EF∩AC=E,∴DE⊥平面ABC,DE⊂平面DEF.∴平面DEF⊥平面ABC.(2)解连接BE,则由AB=BC,BE⊥AC,得DE⊥BE,DE∩AC=E,DE⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,∴DE⊥平面ABC,过点B作BH⊥PC,垂足为H,连接EH,则∠EHB是二面角B-PC-A的平面角.于是PB=10,BC=8,PC=241,∴BH=4041∵AB=BC=8,AC=82,∴BE=42,∴sin∠EHB=BEBH23.解(1)当a=1时,f(x)=x2-|x-1|=x由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)=x2-x+1,此时f(x)