高等数学：空间解析几何

空间解析几何7.1空间直角坐标系与向量7.2向量的数量积与向量积7.3平面方程7.4空间直线方程7.5曲面与空间曲线本章小结

7.1空间直角坐标系与向量

图7-1图7-2

由三个坐标轴两两决定的三个平面xOy平面、yOz平面和zOx平面统称为坐标平面.三个坐标平面将空间分成八个部分,称为八个卦限,分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示,如图7-3所示.图7-3

如图7-4所示,设M是空间中任意一点,过点M作xOy平面的垂线与xOy平面交于点M',M'称为点M在xOy面上的投影.设M'在xOy平面直角坐标系中的坐标为(x,y),再过点M作垂直于z轴的平面与z轴相交.设交点在Oz轴上的坐标为z,则点M唯一确定了一个有序实数组(x,y,z).反之,任给一个有序实数组(x,y,z),先以(x,y)为坐标在xOy平面上确定一点M',再过M'作xOy平面的垂直线段M'M,其长度为z.当z>0时,点M在xOy平面的上方;当z<0时,点M在xOy平面的下方;当z=0时,点M即为M'.因此,有序实数组(x,y,z)唯一确定了空间中的一个点M,即空间中任意一点M与一个有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关系,我们将有序实数组(x,y,z)称为点M的空间直角坐标,简称为坐标,记作M(x,y,z),x、y和z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.图7-3图7-4

显然,坐标原点O的坐标为(0,0,0),x轴上点的坐标形式为(x,0,0),yOz平面上点的坐标形式为(0,y,z)等.对于一般的点,如(2,3,-1),可用如图7-5所示方式确定其位置.图7-5

点(x,y,z)关于xOy平面、yOz平面和zOx平面对称的点分别为(x,y,-z)、(-x,y,z)和(x,-y,z),关于x轴、y轴和z轴对称的点分别为(x,-y,-z)、(-x,y,-z)和(-x,-y,z),关于坐标原点对称的点为(-x,-y,-z).

点M与它在xOy平面上的投影点M'之间的距离称为点M到xOy平面的距离.类似地,可定义点M到yOz平面的距离和到zOx平面的距离.过点M作垂直于x轴的平面交x轴于点M″,称点M″为点M在x轴上的投影,点M与点M″之间的距离称为点M到x轴的距离.类似地,可定义点M在y轴和z轴上的投影以及到这两个坐标轴的距离.若M的坐标为(x,y,z),它在xOy平面、yOz平面和zOx平面上的投影坐标分别为(x,y,0)、(0,y,z)和(x,0,z),则它在x轴、y轴和z轴上的投影坐标分别为(x,0,0)、(0,y,0)和(0,0,z).

图7-6

式(7-1)称为向量a的坐标分解式,式中三个系数组成的数组(a1,a2,a3)正好是点M的坐标.由于向量a与点M是一一对应的,因此称{a1,a2,a3}为向量a的坐标,我们将

称为向量a的坐标表示式

三、向量的模与方向余弦

我们已经知道向量的坐标表示式,那么怎样用向量的坐标来表示它的模(长度)和方向呢?任给一个向量a={a1,a2,a3},从图7-6可以看出它的模(长度)是

则有

即向量的模(长度)等于其坐标平方和的算术平方根.

下面讨论如何用坐标表示向量的方向.非零向量a与x轴、y轴和z轴正向的夹角统称为向量a的方向角,分别记作α、β和γ,显然0≤α、β、γ≤π.当三个方向角确定后,向量的方向也就确定了,如图7-7所示.

图7-7

例7-2设向量a={1,2,-3},求向量a的方向余弦及与向量a同方向的单位向量a0

.

解向量a的模为

所以向量a的方向余弦及与向量a同方向的单位向量a0分别为

四、向量的代数运算

与平面的向量代数运算类似,可将平面的向量运算推广到空间向量中,则有如下结论:

7.2向量的数量积与向量积

在物理中,我们已经知道,若力F作用在物体上,使其产生位移s,则该力所作的功为

即F所作的功W是向量F和s的模相乘再乘以它们夹角的余弦.这种运算在其他问题中也会遇到,因此我们引入向量的结构性运算.

定义7-2向量a和b的模和它们夹角余弦的乘积,称为向量a和向量b的数量积(内积),这种运算也称为点乘,记作a·b,即

由数量积的定义7-2以及向量夹角的定义7-1可以得到:

(1)a·a=|a|2;

(2)向量a和向量b互相垂直的充分必要条件是a·b=0.

两个向量的数量积满足下列运算规律:

(1)交换律:a·b=b·a;

(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c,c·(a+b)=c·a+c·b;

(3)数乘结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)(λ为常数).

根据数量积的定义7-2,基本单位向量i、j和k满足下列关系:

由上面的结论,我们可以推导出两个向量数量积的坐标表示式:

二、向量的向量积

定义7-3向量a和向量b的向量积(外积)规定是一个向量,这种运算也称为叉乘,记作a×b,它的模和方向分别定义为:

(1)|a×b|=|a||b|sin<a,b>;

(2)a×b垂直于向量a和向量b,且a、b和a×b符合右手法则,如图7-8(a)所示.

由图7-8(b)可知,模|a×b|的几何意义是以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积S▱,即

因此以向量a和向量b为边的三角形面积为图7-8

由向量积的定义7-3可得:

(1)a×a=0;(2)向量a和向量b平行的充分必要条件是a×b=0.两个向量的向量积满足下列运算规律:

(1)反交换律:a×b=-b×a;

(2)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c,c×(a+b)=c×a+c×b;

(3)数乘结合律:λ(a×b)=(λa)×b=a×(λb)(λ为常数).

根据向量积的定义7-3,基本单位向量i、j和k满足下列关系:

由上面的结论,我们可以推导出两个向量向量积的坐标表示式:

为便于记忆,可把式(7-6)改写为

7.3平面方程

图7-9

由于n是非零向量,因此A、B和C不全为零,方程(7-8)称为平面的点法式方程.经整理,方程(7-8)又可等价地写为

其中D=-Ax0-By0-Cz0

方程(7-9)称为平面的一般方程.从上面的推导可以看出,平面方程是一个三元一次方程.反过来,任意一个三元一次方程都表示一个平面.特别地,在式(7-9)中,当A=0且D≠0时,平面平行于x轴;A=0且D=0时,平面通过x轴.类似地,当B=0且D≠0时,平面平行于y轴;B=0且D=0时,平面通过y轴;当C=0且D≠0时,平面平行于z轴;C=0且D=0时,平面通过z轴.

例7-10已知一个平面过点(1,1,-2)且与向量2i+j+3k垂直,求此平面方程.

解由平面的点法式方程可得

即所求平面方程为

例7-12求xOy坐标平面的方程.2y-z=0

解因为单位向量k垂直于xOy平面,故取k={0,0,1}为xOy平面的法向量.又xOy平面过原点O=(0,0,0),故xOy平面的方程为

0·(x-0)+0·(y-0)+1·(z-0)=0

即xOy坐标平面的方程是z=0.

事实上,因为xOy平面上任一点的竖坐标z都等于0,而横坐标x和纵坐标y可以任z意取值,所以可直接写出xOy平面的方程为z=0.类似地,可得yOz平面的方程为x=0,Ox平面的方程为y=0

例7-13设一平面与x轴、y轴和z轴的交点分别为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c),求这个平面的方程,其中a≠0,b≠0,c≠0.

解设所求平面的一般方程为

由题意可知P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点都在该平面上,所以这三点的坐标都满足一般方程,即有

解得

代入平面的一般方程并除以D(D≠0),即可得所求平面方程为

该方程称为平面的截距式方程,a、b和c分别称为平面在x轴、y轴和z轴上的截距.

二、两平面的位置关系

两个平面之间的位置关系可用它们的法向量来表示.设有两个平面π1和π2,它们的方程分别为

它们的法向量分别为n1={A1,B1,C1}和n2={A2,B2,C2}.

两平面的夹角θ就是<n1,n2>和<-n1,n2>=π-<n1,n2>两者中的锐角或直角,因此有

当两平面的法向量互相平行或互相垂直时,这两个平面也就互相平行或互相垂直,因而可得两个平面平行的充分必要条件为

当分母为零时,规定分子也是零.

两个平面垂直的充分必要条件为．

例7-16求点(1,-2,-1)到平面2x+y-2z+4=0的距离.

解由式(7-13)可得

7.4空间直线方程

图7-10

此外,两平面相交成一直线,所以可将两平面方程联立

当x、y、z的对应系数不成比例时,式(7-16)表示一条直线,称为空间直线的一般方程.

例7-17-求通过点M0(-1,2,0)且与向量{1,-1,2}平行的直线方程.

解取s={1,-1,2},则所求直线方程为

例7-18一条直线过点M0(1,-1,3)且垂直于平面x+2z-1=0,求此直线的点向式方程和参数方程.

解平面的法向量n={1,0,2}可作为所求直线的方向向量,因此直线的点向式方程为

参数方程为

二、直线的夹角

两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)称为两直线的夹角.两直线的夹角及它们平行、垂直的条件,可以利用直线的方向向量来表示.设直线L1和直线L2的方向向量分别为s1={a1,b1,c1}和s2={a2,b2,c2},则L1和L2的夹角φ应是<s1,s2>和π-<s1,s2>两者中的锐角或直角,因此

从两向量垂直、平行的充分必要条件可得下列结论:

三、直线与平面的夹角

给定直线L和平面π,当直线L与平面π不垂直时,过直线L作垂直于平面π的平面交平面π于直线L',则称直线L'为直线L在平面π上的投影.此时,直线L和投影直线L'的夹角φ(0≤φ≤π/2)称为直线L和平面π的夹角.当直线L和平面π垂直时,规定直线与平面的夹角为π/2.

设直线L的方向向量为s={a,b,c},平面π的法线向量n={A,B,C},直线与平面的夹角为φ,那么因此

因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行,所以直线与平面垂直的充分必要条件是

因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直,所以直线与平面平行的充分必要条件是

7.5曲面与空间曲线

一、曲面及其方程与平面解析几何中把曲线看作是动点的轨迹类似,在空间解析几何中把曲面也看成是具有某种性质的点的轨迹.如果一个曲面S和一个三元方程F(x,y,z)=0满足下面两个条件:(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0,(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,那么方程F(x,y,z)=0称为曲面的方程,曲面S称为方程的图形.

二、旋转曲面

一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴.

设在yOz坐标面上有一已知曲线C,其方程为

把这条曲线绕z轴旋转一周,就可得到一个以z轴为轴的旋转曲面,其方程为

把这条曲线绕y轴旋转一周,就可得到一个以y轴为轴的旋转曲面,其方程为

同理,xOy坐标面上的曲线C(f(x,y)=0)绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为

绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为

zOx坐标面上的曲线C(f(x,z)=0)绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为

绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为

三、柱面

直线L沿定曲线C(不与直线L在同一平面内)平行移动形成的轨迹称为柱面,定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.本书我们只讨论母线平行于坐标轴的柱面方程.

设C是xOy平面上的一条曲线,其方程为

将平行于z轴的直线L沿曲线C平行移动,就得到一个柱面,如图7-11所示.在柱面上任取一点M(x,y,z),过M作一条平行于z轴的直线,则该直线与xOy平面的交点为M0(x,y,0).由于M0在准线C上,故F有

式(7-21)就是母线平行于z轴的柱面方程.

由此可见,母线平行于z轴的柱面方程的特征是只含x、y,不含z.

同理,方程F(y,z)=0和F(x,z)=0都表示柱面,它们的母线分别平行于x轴和y轴.图7-11

例如,方程x2+y2=R2表示母线平行于z轴的柱面,准线是xOy平面上一个以原点为中心、半径为R的圆,如图7-12所示,该柱面称为圆柱面.

又如方程的图形是母线平行于z轴的椭圆柱面,方程y2

=2x的图形是母线平行于z轴的抛物柱面,方程x-2y+3=0的图形是母线平行于z轴的平面.图7-12

四、二次曲面

下面介绍一些常见的三元二次方程及图形——二次曲面.椭球面的方程为

用平面z=h去截椭球面所得交线为

即

当h与c的大小不同时,分别为以下三种情形:

(1)当|h|<c时,交线是在平面z=h上的椭球,即

且|h|越大椭圆越小,h越小椭圆越大.

(2)当|h|=c时,交线缩成一点.

(3)当|h|>c时,没有交线.

同理,若用平面y=h或x=h去截曲面也有类似的结果.

综合上述讨论,可以得到椭球面的形状,如图7-13所示.

当a=b=c=R时,式(7-22)就是球心在原点、半径为R的球面方程.

其他一些特殊二次曲面的方程及图形详见表7-1图7-13

五、空间曲线

空间中任意一条曲线可以看成是两个曲面的交线,因此空间曲线可用两个曲面方程联立起来表示,即

式(7-23)称为空间曲线的一般方程.用一般方程表示空间曲线的方式是不唯一的,例都表示xOy平面上以原点为圆心的单位圆.

类似于空间直线,空间曲线也可用参数方程

表示.式(7-24)称为空间曲线的参数方程,其中t为参数.

例7-26【螺旋曲线的参数方程】空间一动点M(x,y,z)在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的方向上升,求此动点的轨迹方程.此轨迹称为螺旋线,如图7-14所示.图7-14

解以时间t作为参数来建立螺旋线的方程,并设点M开始运动的位置是M0(a,0,0),则在时刻t,点M0沿z轴的运动规律是z=vt,而转动的角度θ=ωt,故点M的运动轨迹方程为

这就是螺旋线的方程.

六、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为(7-23),从中消去变量z(若可能的话)所得方程为

由于式(7-25)是由式(7-23)消去z所得的结果,因此当x、y、z满足方程组(7-23)时,x、y也满足式(7-25),这说明曲线C上的所有点都在由方程(7-25)所表示的曲面上.

而式(7-25)缺少变量z,它表示一个母线平行于z轴的柱面,因而该柱面必定包含曲线C.以曲线C为准线、母线平行于z轴(即垂直于xO