高等数学：导数与微分

导数与微分2.1导数的概念2.2函数的求导法则2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.4高阶导数2.5函数的微分本章小结

2.1导数的概念

一、引例

为了说明导数的概念,我们首先讨论与导数概念的形成密切相关的两个问题:变速直线运动的瞬时速度与曲线的切线斜率.

1.变速直线运动的瞬时速度

设质点做变速直线运动的位置函数为s=s(t),试确定该质点在任一给定时刻t0时的瞬时速度v(t0).根据该质点的位置函数,从时刻t0到时刻t0+Δt这段时间内,质点从位置s(t0)运动到s(t0+Δt),所经过的路程是Δs=s(t0+Δt)-s(t0),如图21所示,因而质点在时刻t0到时刻t0+Δt这段时间内的平均速度为

引例2【制作圆形的餐桌玻璃】一张圆形餐桌上需要加装圆形玻璃.测量出餐桌的直径后,工艺店的师傅就会在一块方形的玻璃上画出一个同样大的圆,然后沿着圆形的边缘划掉多余的玻璃,最后用砂轮不断在边缘打磨.当玻璃的边缘非常光滑时,一块圆形的餐桌玻璃就做好了.从数学的角度来讲,工艺店师傅打磨的过程就是在作圆的切线的过程.

由中学知识,我们知道圆的切线是与圆有唯一交点的直线.但是对于一般的曲线y=f(x)来说,其在点(x0,f(x0))处的切线又是怎样定义的呢?

2.平面曲线的切线斜率

设有曲线L,P为曲线上一定点,在L上点P外另取一点Q,作割线PQ.当点Q沿曲线L移动并趋近于点P时,如果割线PQ绕点P旋转的极限位置存在,那么处于此极限位置的直线PT称为曲线L在点P处的切线,定点P叫做切点,如图22所示,过切点垂直于该切线的直线叫做曲线在该点的法线.图22

下面讨论如何求切线的斜率.设曲线L是函数y=f(x)的图形,如图23所示,求曲线L在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.图23

在曲线L上点P外另取一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx)),割线PQ的倾斜角为φ,则割线PQ的斜率为

当点Q沿曲线L趋于点P时,Δx→0,割线PQ的倾斜角φ就趋于切线PT的倾斜角α.如果割线PQ斜率的极限存在(设为k),那么此极限值k即为曲线L在点P处的切线的斜率,即

函数y=f(x)在x0处可导,也称函数y=f(x)在点x0处具有导数或导数存在.若令x=x0+Δx,则式(21)也可以写为

如果式(21)或式(22)中的极限不存在,则称函数y=f(x)在x0处不可导.

例21已知函数f(x)=x2,求f'(3).

式(21)或式(22)极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等.当这两个单侧极限存在时,我们给出如下单侧导数的定义:

定义23如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导,则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右可导(点b左可导),则称函数y=f(x)在左闭右开区间[a,b)(左开右闭区间(a,b])上可导.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右可导,在点b左可导,则称函数y=f(x)在闭区间[a,b]上可导.

显然,函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是导函数f'(x)在点x=x0处的函数值,即

有时为了清晰表明对哪个自变量求导,也可在导数右下角写出该自变量.例如,y'x和f'u表示函数y和f分别对x和u求导(分别以x和u为自变量)

有了导数的概念,前面两个实际问题可以重述为:

(1)变速直线运动在时刻t0的瞬时速度就是位置函数s=s(t)在t0处的导数s'(t0),即

这就是导数的物理意义.

(2)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即

这就是导数的几何意义.

曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为

当切线不平行于x轴(f'(x0)≠0)时,法线方程为

当切线平行于x轴(f'(x0)=0)时,切线方程可简化为y=f(x0),此时法线方程为x=x0.

三、求导举例

根据导数的定义,求某个函数y=f(x)的导数y',可以分为以下三个步骤:

例23求函数f(x)=C(C为常数)的导数.

解在x处给自变量一个增量Δx,相应地,函数值的增量为

也就是说,常数的导数等于零.

类似地,结合中学知识以及导数的定义,我们可得到下列公式:

特别地,当a=e时,有

四、函数的可导性与连续性的关系

定理22如果函数f(x)在点x处可导,那么函数y=f(x)在点x处必连续.反之,函数在某点连续,在该点却不一定可导.例如,函数y=|x|在x=0处连续,但它在x=0处却不可导(见例22).图24

2.2函数的求导法则

一、函数和、差、积、商的求导法则定理23如果函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导,那么它们的和、差、积、商(分母为0的点除外)也都在点x处可导,且有

特别地,有

式(29)、式(210)可以推广到有限个可导函数的情形.例如,设u=u(x),v=v(x),w=w(x)均可导,则有

二、反函数的求导法则

定理24如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f'y(y)≠0,则其反函数y=f-1(x)在对应的区间Ix={xx=f(y),y∈Iy}内也可导,且

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

三、复合函数的求导法则

定理25若函数u=φ(x)在点x处可导,而函数y=f(u)在对应的点u处可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也可导,且有

也可写为

即复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

例212求下列函数的导数:

对于复合函数的求导,关键在于弄清函数的复合关系.当复合函数的分解比较熟练后,就不必再写出中间变量,而由复合函数求导法则直接写出求导结果.其实对于多层复合的函数求导,可由外往里逐层求导.在对每层函数求导时,该层函数符号内的式子可当做一个字母看待.

例214【半径的变化率问题】设气体以100cm3/s的常速注入球状的气球.假定气体的压力不变,那么当半径为10cm时,气球半径增加的速率是多少?

解设在t时刻气球的体积与半径分别为V和r,显然有

所以通过中间变量r将V化为关于时间t的函数,这是一个复合函数,即

四、基本初等函数的求导公式

2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

有些函数的表示方式却不是这样的,如方程x+y3-1=0可确定一个函数.当变量x在(-∞,+∞)内取值时,变量y有唯一确定的值和它对应,因而y是x的函数.这样由方程确定的函数称为隐函数.

一般地,如果变量x和y满足方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x在某范围内任意取一确定值时,F(x,y)=0总可以相应地确定唯一一个变量y的值,那么方程F(x,y)=0便确定了y是x的函数y=y(x),这种函数称为隐函数.

例215求由单位圆方程x2+y2=1所确定的隐函数y=y(x)的导数y'x.解方程两边同时对x求导,得

例216求下列方程所确定的隐函数的导数:

解(1)方程两边同时对x求导,由于y是x的函数,y3是x的复合函数,按复合函数的求导法则,可得

(2)方程两边同时对x求导,由于y是x的函数,得

从以上例题可以看出,求隐函数的导数时,只需将方程两边同时对自变量x求导,遇到y就看成x的函数,遇到y的函数就看成是x的复合函数,然后从求导数后所得的关系式中解出y'x,即得到所求的隐函数的导数.

二、对数求导法

在实际求导中,有时会遇到给定的函数虽为显函数,但直接求导数会很复杂的问题.对于这样的函数,可先对等式两边取对数(一般取以e为底的自然对数),把显函数化为隐函数的形式,再利用隐函数求导法进行求导,这种求导的方法称为对数求导法.这一特殊的求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)或由多个因子的积、商、幂构成的函数的求导.

三、参数方程所确定的函数的导数

一般地,由形如

的方程所确定的y与x之间的函数关系,称为由参数方程所确定的函数.

对由参数方程所确定的函数求导,通常并不需要由参数方程消去参数t,化为y与x之间的直接函数关系后再求导.下面给出由参数方程所确定的函数的求导公式,即

2.4高阶导数

我们知道,变速直线运动的速度v是位置函数s=s(t)对时间t的导数,即而加速度a又是速度v对时间t的变化率,即速度v对时间t的导数

类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…一般地,若函数y=f(x)的n-1阶导数仍可导,则函数y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做y=f(x)的n阶导数.函数y=f(x)的三阶、四阶、…,n阶导数分别记作

函数y=f(x)具有n阶导数,常称函数

f(x)为n阶可导.如果函数

f(x)在点x处具有n阶导数,那么

f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

由此可见,求高阶导数就是多次连续地求导数,所以仍可应用前面学过的求导方法来求高阶导数.

例222【刹车测试】某一汽车厂在测试汽车的刹车性能时发现,刹车后汽车行驶的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)满足s=19.2t-0.4t3.假设汽车作直线运动,求汽车在t=3s时的速度和加速度.

2.5函数的微分

一、微分的概念引例【薄片面积的增量】如图25所示,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变为x0+Δx,问该薄片的面积A改变了多少?

若用x表示该薄片的边长,A表示面积,则A是x的函数A=x2.薄片受温度变化的影响时面积的改变量,可以看作是当自变量x在x0取得增量Δx时,函数值A=x2相应的增量ΔA,即图25

定义24设函数y=f(x)在某区间内有定义,且x0及x0+Δx在该区间内,如果函数的增量

可表示为

其中A是与Δx无关的常数,则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称A·Δx为函数y=f(x)在点x0相对于自变量增量Δx的微分,记作dy,即

例226【球体积的微分】半径为r的球,其体积为

当半径增大Δr时,计算球体积的改变量及微分.

解体积的改变量为

显然有

故体积微分为

二、微分的几何意义

在直角坐标系中,函数y=f(x)的图形是一条曲线.对于某一固定的x0值,曲线上有一个确定点M(x0,y0),当自变量x在该处有微小增量Δx时,就得到曲线上另一点N(x0+Δx,y0+Δy).由图26可知,MQ=Δx,QN=Δy.图26

过M点作曲线的切线MT,它的倾角为α,则

即

由此可见,当Δy是曲线y=f(x)上的M点的纵坐标的增量时,dy就是曲线切线上M点的纵坐标的相应增量.当Δx很小时,Δy-dy比Δx小得多.因此在点M邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.

三、微分运算法则及微分公式表

1.微分运算法则

由dy=f'(x)dx很容易得到微分的运算法则及微分公式表(u、v都可导)

3.复合函数的微分法则

设y=f(u)及u=φ(x)都可导,则复合函数y=f[φ