初中九年级数学课件-垂径定理

课题：垂径定理1参赛教师：新源县别斯托别中学邹琪时间：2020年8月九年级上册第二十四章O观察现象：导入：O观察现象：你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE知识讲解：24.1.2垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（A）BDCOEA证明结论

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。⌒⌒⌒⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒C.OAEBD24.1.2垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（A）BDCOEA2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。符号语言：∵CD经过圆心O，CD⊥AB于E，∴AE=BE，AD=BD，AC=BCOABDCOEABCODABCODABC应用垂径定理的几个基本图请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。OACB连接OA，在Rt△ACO中OA===5所以⊙O的半径为5.练习：1.如图⊙O的半径为8，OC⊥弦AB于C，且OC=6，求弦长AB。2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。解：∵OC⊥AB于C∴AC=BC=4课堂练习：O探究：ABDCE如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？ABDCOEABOECDAB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。如图:AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM垂径定理的推论●OABCDM└连接OA,OB,则OA=OB.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）讨论（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（a1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）●OABCDM└根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论结论问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？

ABODC解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。AB=37.4，CD=7.2，∴AD=18.7，设OA=OC=ROD=OC-CD=R-7.2.在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化