初中数学九年级下册 24.2 圆的基本性质

24.2圆的基本性质学习目标:1、理解圆的定义，圆的位置、大小有什么确定。2、理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等概念；3、掌握垂径定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；圆周角定理；并会运用这些关系定理解决一些证明题和计算题。4、感受本节知识在中考试题中的运用。你能讲出几种形成圆的方法？1、在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O做圆心，线段OP的长叫做半径。一、圆的定义问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？(1)图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新定义：2、所有到定点(圆心O）的距离等于定长（半径r）的点组成的图形。

经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，二、与圆有关的概念弦圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．·COAB弧⌒圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．·COAB劣弧与优弧⌒小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧.⌒（如图中的AC）(用三个字母表示,如图中的ABC)想一想判断下列说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧

弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，2）两弧的度数相等。1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。注意：三、圆的对称性及特性圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性OA·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒如图，直径CD垂直于弦AB，则CD平分弦AB,并且平分AB及ACB“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(2)(3)时,应对平分

弦增加”不是直径”的限制.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的推论如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及推论●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。

ABCDO(1)ABCD

O(2)ABCD

O(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。

ABC

O(4)ABCD

O(5)ABCD

O(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦

圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.·OBA●OBAC圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦，所对的弦的弦心距也相等．在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弦、弧、弦心距有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.如图，点A、B、C在圆O上，＜A=36°，＜C=28°，则＜B=（）ABC0同弧所对的圆周角相等.都等于这条弧所对的圆心角的一半.(等弧)思考:相等的圆周角所对的弧相等吗?在同圆或等圆中推论:ABCD在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.则∠D=∠A∴AB∥CD如图,若AC=BD⌒⌒ABOC如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿90度半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。备战中考——胸有成竹下笔有神1、如图，在圆O中，弦AC∥半径OB，＜BOC=50°，则﹤OAB的度数为()oCBA2、如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E。（1）、若﹤B=70°，求﹤CAD的度数；（2）、若AB=4，AC=3，求DE的长。ODCBAE你准备好了吗-——精选金题、拓宽思维例1、已知圆O的直径CD=10厘米，AB是圆O的弦，AB垂直CD，垂足为M，且AB=8厘米，则AC的长为

CDABOMCDBAOM试一试：圆O的半径为1，弦AB=√2，弦AC=√3，则﹤BAC的度数为例2如图，点E三角形ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与三角形ABC的外接圆相交于点D.（1）求证三角形BFD∽三角形ABD(2)求证DE=DBABEDFC。中考真