2023-2024学年广东省深圳市名校联考高二（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年广东省深圳市名校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在空间直角坐标系中，点与点，6，关于平面对称，则的坐标为A．，6， B．，， C．，6， D．，，2．（5分）已知向量，则A．，2， B．，， C．，， D．，2，3．（5分）经过，两点的直线的倾斜角为A． B． C． D．4．（5分）在长方体中，A． B． C． D．5．（5分）若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为A． B． C． D．6．（5分）在直三棱柱中，，，则向量在向量上的投影向量为A． B． C． D．7．（5分）已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为A．3或 B．3 C．或 D．8．（5分）在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为A．2 B．1 C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为A． B． C． D．10．（5分）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是A． B． C． D．11．（5分）如图，在圆台中，，分别为圆，的直径，，，圆台的体积为，为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，，所在的直线分别为，轴，建立空问直角坐标系，则A．的坐标为，0， B． C．平面的一个法向量为 D．到平面的距离为12．（5分）在正四面体中，，分别是，的中点，，则A． B． C． D．异面直线与所成的角为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知分别是平面，的法向量，且，则．14．（5分）已知点，，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标：．15．（5分）在空间直角坐标系中，向量，，，，1，，则的最大值为．16．（5分）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，为的外心，为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线经过，两点，经过，两点．（1）若，求的值；（2）若，的倾斜角互余，求的值．18．（12分）在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为，，，，1，，，1，．（1）求的坐标；（2）求四边形的面积．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．（1）证明：．（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．（1）设，，，用，，表示；（2）若，求．21．（12分）如图，在正方体中，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面．（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在．请说明理由．22．（12分）如图，，，为圆柱底面圆周上三个不同的点，，，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，，分别为，的中点．（1）证明：平面．（2）若，是上的动点（含弧的端点），求与平面所成角的正弦值的最大值．

2023-2024学年广东省深圳市名校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在空间直角坐标系中，点与点，6，关于平面对称，则的坐标为A．，6， B．，， C．，6， D．，，【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，即可求出的坐标．【解答】解：由题意，在空间直角坐标系中，点与点，6，关于平面对称，则的坐标为，6，．故选：．【点评】本题考查空间直角坐标系中点的坐标的特点，属基础题．2．（5分）已知向量，则A．，2， B．，， C．，， D．，2，【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可得到结论．【解答】解：由，可得，1，，0，，2，．故选：．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属基础题．3．（5分）经过，两点的直线的倾斜角为A． B． C． D．【分析】先求出直线的斜率，即可确定其倾斜角．【解答】解：，，则，所以直线的倾斜角为．故选：．【点评】本题考查直线的斜率，倾斜角，属于基础题．4．（5分）在长方体中，A． B． C． D．【分析】根据向量的线性运算计算即可．【解答】解：在长方体中，，故．故选：．【点评】本题考查空间向量线性运算，属基础题．5．（5分）若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为A． B． C． D．【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系即可确定倾斜角的范围．【解答】解：设的倾斜角为，直线的斜率大于1，得，，得．故选：．【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．6．（5分）在直三棱柱中，，，则向量在向量上的投影向量为A． B． C． D．【分析】直接利用空间几何体求出向量的投影向量．【解答】解：如图所示：过作，垂足为，过作，垂足为，连接．易得平面，所以平面，则．由，得，故在向量上的投影向量为．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的投影，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．7．（5分）已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为A．3或 B．3 C．或 D．【分析】利用二倍角公式即可确定的斜率．【解答】解：设的倾斜角为，由，得，解得或，又的倾斜角必为锐角，所以的斜率为3．故选：．【点评】本题考查直线的斜率，二倍角公式，属于基础题．8．（5分）在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为A．2 B．1 C． D．【分析】以为原点建立空间直角坐标系，根据重心的坐标公式写出点的坐标，再利用向量法求点到直线的距离，即可得解．【解答】解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，6，，，0，，，0，，，0，，所以，因为点为的重心，所以，2，，所以，2，，所以点到直线的距离为．故选：．【点评】本题考查空间中点到线距离的求法，熟练掌握利用向量法求点到线距离是解题的关键，考查空间立体感，运算求解能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为A． B． C． D．【分析】根据方向向量的定义判断即可．【解答】解：线的倾斜角为，则的斜率为，则的方向向量可能为，，，，，的斜率都为．故选：．【点评】本题考查直线的方向向量的概念，属于基础题．10．（5分）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是A． B． C． D．【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识即可求得．【解答】解：因为，，所以，共面，，共面，故，错误；不存在，，使得，所以，不共面，故正确；不存在，，使得，所以，构不共面，故正确．故选：．【点评】本题考查空间基底的概念、空间向量共面等知识，属于基础题．11．（5分）如图，在圆台中，，分别为圆，的直径，，，圆台的体积为，为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，，所在的直线分别为，轴，建立空问直角坐标系，则A．的坐标为，0， B． C．平面的一个法向量为 D．到平面的距离为【分析】根据圆台的体积为，可得，可知正确；由点位置可求得，即可知正确；利用法向量的定义可知平面的一个法向量为，即错误；由点到平面距离的向量公式可得到平面的距离为，可知正确．【解答】解：由圆台的体积为，得，解得，则，0，，即正确．连接，设在下底面的射影为点，连接，，如下图所示：易得，则，因为，，，所以，即正确．设平面的法向量为，由，6，，可知，则，解得，令，可得，所以，可知错误．因为，所以到平面的距离为，正确．故选：．【点评】本题考查了台体体积的计算，平面法向量的求法，直线的方向向量和点到平面距离的计算，考查了转化思想，属中档题．12．（5分）在正四面体中，，分别是，的中点，，则A． B． C． D．异面直线与所成的角为【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律可求得的值，判断，；根据向量的夹角公式可求的值，判断范围，可判断；根据平移法作出异面直线与所成的角，解三角形求得该角大小，判断．【解答】解：由题意，如图正四面体，，错误，正确．在正四面体中，设的中点为，连接，，则，，而，，平面，故平面，平面，故，故，又为正三角形，为的中点，故，则，则，且，所以，正确．取的中点为，连接，，则，，且，则即为异面直线与所成的角或其补角，由证明方法同理可证，所以，所以是以为直角的等腰直角三角形，所以，错误．故选：．【点评】本题考查了向量的线性运算和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，是中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知分别是平面，的法向量，且，则．【分析】根据题意，分析可得，由此设，即，1，，，，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，若，则有，设，即，1，，，，则有，变形可得：．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的法向量，涉及平面平行的判断方法，属于基础题．14．（5分）已知点，，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标：（答案不唯一）．【分析】由题意，根据斜率公式，两直线垂直的性质，得出结论．【解答】解：设，根据为直角三角形，点，，则．，．当为直角时，由，得，可得的坐标为．当为直角时，由，得，可得的坐标为．当为直角时，由，化简得，该方程无解．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查斜率公式，两直线垂直的性质，属于基础题．15．（5分）在空间直角坐标系中，向量，，，，1，，则的最大值为．【分析】根据数量积定义，表示出，因为向量，的模为定值，故当时数量积可取得最大值．【解答】解：由题意，有，，则，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查数量积的坐标运算，属基础题．16．（5分）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，为的外心，为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为．【分析】建立空间直角坐标系，设，则，求出的范围，从而得到的取值范围．【解答】解：不妨设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，，2，，，0，，由题意得为的中点，所以，1，．设，，得，则，因为，所以．当时，．当时，，得．综上，，由得．故答案为：．【点评】本题主要考查空间向量的应用以及异面直线所成角的求解，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线经过，两点，经过，两点．（1）若，求的值；（2）若，的倾斜角互余，求的值．【分析】根据两直线平行，垂直的性质即可确定的值．【解答】解：由题意得，，（1）若，则，得；（2）若，的倾斜角互余，则，得．【点评】本题考查直线的位置关系，属于基础题．18．（12分）在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为，，，，1，，，1，．（1）求的坐标；（2）求四边形的面积．【分析】（1）设的坐标为，，，由，列方程组即可求解；（2）根据向量夹角公式求得，进而求得，利用三角形的面积公式即可求得面积．【解答】解：（1）设的坐标为，，，由题意得，，因为四边形是平行四边形，所以，即，解得，即的坐标为，，；（2）由题意得，则，，，所以，得，故四边形的面积为．【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，考查空间向量的坐标运算，属基础题．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．（1）证明：．（2）若，求二面角的余弦值．【分析】（1）利用正方形性质、线面垂直的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：四边形为正方形，．底面，二平面，．又，，平面，平面．平面，．（2）解：如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，1，，，0，，，1，，，，，，由（1）知平面，则平面的一个法向量为，1，，设平面的法向量为，，，则，令，得，，，，，，，由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力，属中档题．20．（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．（1）设，，，用，，表示；（2）若，求．【分析】由空间向量的线性运算直接计算即可；（2）由空间向量的线性运算和数量积运算计算即可．【解答】解：（1）连接，，如图，，因为为的中点，，所以，，所以；（2）因为，所以，因为平面，平面，且，平面，平面，所以，，，又因为，所以，即．【点评】本题考查空间向量的线性运算和数量积，属于中档题．21．（12分）如图，在正方体中，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面．（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在．请说明理由．【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，求得，，的坐标，由线面垂直的判定定理可得证明；（2）在直线上假设存在点，设，，，，使得平面，求得平面的法向量，由，解方