极坐标与参数方程数学讲义学生版

/2013届选修4—4《极坐标与参数方程》复习讲义一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，则这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式过点(x00)，倾斜角为α的直线的参数方程是(t为参数，其几何意义是的数量)(2)一般式过定点P0(x00)斜率α=的直线的参数方程是(t为参数，)②3.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在()，半径为r的圆的参数方程是(φ是参数)(2)椭圆椭圆(a＞b＞0)的参数方程是(φ为参数)椭圆(a＞b＞0)的参数方程是(φ为参数)(3)抛物线抛物线的参数方程为4.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段的长度，θ表示射线到的角度，则ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.注意：①点与点关于极点中心对称；②点与点是同一个点；③如果规定，则除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。④极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．圆的极坐标方程①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；②以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；③以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是和.②过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.③过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式θ的象限由点()所在的象限确定三、课前预习1．直线的参数方程是（）A、（t为参数）B、（t为参数）C、（t为参数）D、（t为参数）2．已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是()A、 B、 C、 D、3．在极坐标系中，圆ρ2θ的圆心的极坐标系是（）A、B、C、(1,0)D、(1，)4．点，则它的极坐标是()A、B、C、 D、5．直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为()A、1B、2C、3D、46．参数方程为表示的曲线是（）A、一条直线B、两条直线C、一条射线D、两条射线7．（）A、-6B、C、6D、8．极坐标方程化为直角坐标方程是()A、B、C、D、9．曲线与曲线的位置关系是（）A、相交过圆心B、相交C、相切D、相离10．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线11．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是.12．圆C：(θ为参数)的圆心到直线：(t为参数)的距离为。13．已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为．14．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知曲线、的极坐标方程分别为，曲线的参数方程为（为参数，且），则曲线、、所围成的封闭图形的面积是.四、典例分析考向一极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：或【例1】（1）点M的极坐标分别是，，，换算成直角坐标依次是，，，（2）点M的直角坐标分别是，，，如果换算成极坐标依次是，，，【例2】在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．【变式1】在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（）A、B、C、D、【变式2】已知曲线的极坐标方程分别为（），则曲线与交点的极坐标为.【变式3】在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是．考向二曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化【例3】（1）曲线C:(为参数)的普通方程为()A、B、C、D、（2）参数方程表示的曲线是（）A、椭圆

B、双曲线C、抛物线

D、圆【变式1】已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则。【变式2】若直线与圆（为参数）没有公共点，则实数的取值范围是.【变式3】直线被圆所截得的弦长为（）A、B、C、D、【例4】已知点是圆上的动点，求的取值范围。【变式5】在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．【题后反思】1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，并且要保证消参的等价性，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系(t)（或(t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系(t)（或(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.【课后巩固练习】1．椭圆（）A、(-3，5)，(-3，-3)B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1)D、(7，-1)，(-1，-1)2．参数方程()A.双曲线的一支，这支过点(1，)B.抛物线的一部分，这部分过(1，)C.双曲线的一支，这支过(-1，)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)3．在方程(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A、(27)B、（，）C、(，)D、(1，0)4．曲线的极坐标方程ρ=４θ化成直角坐标方程为()A、x2+(2)2=4B、x2+(2)2=4 C(2)22=4D、(2)22=45．已知圆的极坐标方程ρ=2(θ+)，则圆心的极坐标和半径分别为()A、(1,)2B、(1,)1C、(1,)1D、(1,-)26．在极坐标系中，与圆ρ=4θ相切的一条直线的方程是()A、ρθ=2B、ρθ=2C、ρθ2D、ρθ47．表示的曲线是()A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线8.极坐标方程42θ=3表示曲线是()A、两条射线B、两条相交直线C、圆D、抛物线9．直线：349=0与圆：的位置关系是()A、相切B、相离C、直线过圆心D、相交但直线不过圆心10．在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）A、2B、C、D、11．经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A、B、C、D、12．若直线((t为参数)与圆x22-41=0相切，则直线的倾斜角为()A、B、C、或D、或13．设的最小值是（）A、B、C、－3D、14.若直线的参数方程为(t为参数)，则过点(4，-1)且与平行的直线在y轴上的截距为.15．直线(t为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x，y)与点M(-1，2)的距离为.16．圆的圆心坐标为，和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是。17．在极坐标系中，圆与直线的位置关系是.18．在极坐标系中，直线（）与圆交于、两点，则．19．（2012年