北师大版数学九年级下册解答题训练50题含答案

北师大版数学九年级下册解答题专题训练50题含答案

1.如图，在AABC中，AB=AC=10cm,BD_LAC于点D,且BD=8cm.点M从点A

出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/秒；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方

向匀速运动，速度为1cm/秒，运动过程中始终保持PQ〃AC,直线PQ交AB于点P、

交BC于点Q、交BD于点F.连接PM,设运动时间为t秒（0<t<5）.

（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

（2）设四边形PQCM的面积为y（cm?）,求丫与t之间的函数关系式.

【答案】（1）当1=10?$时，四边形PQCM是平行四边形；（2）y=2|t2-8t+40.

【详解】试题分析：（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边

平行，进而得到AP=AM,列出关于f的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；

（2）根据PQ//AC,可得△「"©-△ABC,根据相似三角形的形状必然相同可知VBPQ

也为等腰三角形，即BP=PQ=f，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含r的

代数式就可以表示出BF,进而得到梯形的高PE=DF=8-t,又点、M的运动速度和时间

可知点M走过的路程AM=2。所以梯形的下底CM=10-最后根据梯形的面积公

式即可得到与f的关系式；

试题解析：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM//QC,

：.AP:AB=AM:AC,

'：AB=AC,

：.AP=AM,即10-片23

解得：，=岑，

.•.当/=/时，四边形PQCM是平行四边形;

(2)VPQ!/AC,

...△PBQS/UBC,

.../\PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t,

.BFBPBF_t

•.-------,即m....---,

BDBA810

4

解得：BF=m，

4

:.FD=BD-BF=8一一3

5

又,/MC=AC-AM=10-2r,

y=；（PQ+MC>=+10-2r）（8-[f）=|/一8f+40.

52.某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入

口的设计示意图.其中，AB±BD.ZBAD=18°,C在BD上，BC=0.5m.车库坡道

入口上方要张贴限高标志.以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.为标明限高，请你

根据该图计算CE的长度（即点C到AD的距离）.（参考数据:sinl8%0.31,cosl8%0.95,

tanl8°=0.33）（结果精确到0.1m）

【答案】2.3米

【分析】在RtAABD中，根据直角三角形的边角关系求出BD,进而求出CD,再在

RtACDE中求出CE即可.

【详解】解：在RSABD中，ZABD=90°,ZBAD=18°,AB=9,

BD=tan18°xAB=0.33x9=2.97米，

VZDCE+ZADB=90°,ZBAD+ZADB=90°,

；./DCE=/BAD=18°,

在RtACDE中，ZCED=90°,ZDCE=18°,CD=BD-BC=2.97-0.5=2.47（米），

.,.CE=cosl80xCD=0.95x2.47~2.3（米）.

【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造

直角三角形是解决问题的关键.

53.计算：

（1）2sin30°+tan300-cos30°

（2）7（l-tan6O0）2+（2-cos45°）°--

3

【答案】⑴5

Q)6-五

【分析】(1)将sin3(T=4，8$30°=@,121130。=更代入，再计算乘法与加法；

(2)将tan60。=6，sin45=1,cos45=[代入，然后根据二次根式的性质病=同，

非0数的0指数基等于1,乘积等于1的两个数互为倒数化简，最后有理数无理数分别

合并.

【详解】(1)2sin30°+tan300-cos30°

=3

=5；

⑵J(「tan60°)2+(2-cos45°)°—焉

=^FW+[2-T]W

T

=>/3-l+l-x/2

=A/3—>/2•

【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数，实数的运算.解决问题的关键是熟练

掌握特殊角的锐角三角函数值，实数混合运算的顺序，二次根式的性质，0指数幕定义，

倒数的定义.

54.如图①，将“欢迎光临”门挂便斜放置时，测得挂绳的一段4c=30c%另一段8c=20

cm.已知两个固定扣之间的距离AB=30cm

(1)求点C到A8的距离；

(2)如图②，将该门挂扶“正”(即AC=BC),求NC4B的度数.(参考数据：sin49°»0.75,

4

cos41°«0.75,tan37°«0.75,cos530»0.6,tan53°»-)

3

B

B

［欢迎光临

①②

【答案】（1）y40>/r2~；（2）53°

【分析】（1）过点C作CH_LAB于点”，设8H=x,则AH=30-x.根据勾股定理列式计

算可得x的值，进而可得C”的值；

（2）根据等腰三角形的性质可得AH的值，再根据锐角三角函数即可求出NC48的度

数.

【详解】解：（1）过点C作CH_LA8于点如图.

C

设B〃=x,则A//=30-x.

CH1AB,AC=30,8c=20,

•*-CH2=AC2-AH2=BC2-BH2,

即302-（30-X）2=202-X2,

解得工=2三0，

CH=>JBC2-BH2=/02_（引号&«

（2）由已知，得AC=8C=25.

C

VAC=BC,CHA.AB,

：.AH=-AB=l5,

2

Al-1

・・・cosZBAC=——=0.6,

AC

，ZBAC®53°.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握

解直角三角形的方法.

55.如图，在平面直角坐标系中，/WC的顶点均在格点上，点A的坐标(-2,~4),点3

的坐标为(0,-4),点C的坐标为

⑴请画出ABC关于原点O成中心对称的△Agq；

⑵请画出ABC绕原点。逆时针旋转90。后得到的△&B2G；

(3)试求问题(2)中A在运动过程中经过的路径的长度.

【答案】(1)图形见解析；

(2)图形见解析；

G)亚兀.

【分析】(1)根据中心对称的性质分别作出4、司、G，依次连接即可；

(2)根据旋转变换的性质分别作出&、生、依次连接即可；

(3)根据旋转的性质可知旋转角为90。，再利用勾股定理求出OA=2百，最后利用弧

长公式即可得到答案.

【详解】(1)解：A(—2,-4)、8(0,-4)、关于原点。对称点分别为A、及、

G，

.14(2,4)、4(0,4)、

依次连接A、用、c,,得到△A&G即为所求，如下图；

(2)解：A(-2,-4)、8(0,-4)、C(L-l)绕原点。逆时针旋转90。后对应点分别为4、

B^、C2,

二4(-4,2)、鸟(-4,0)、C2(-l,-l),

依次连接为、B2、C2,得到即为所求，如下图:

（3）解：.一ABC绕原点。逆时针旋转90。后得到的△&&G,

ZAOA,=90°

A（—2,—4）、B（0,—4）,

..AB=2,OB=4,

:.OA=siAB2+OB2=V22+42=2行，

点A在运动过程中经过的路径A4的长度=9。：；；石=亚兀.

【点睛】本题考查了作图一旋转变换，中心对称变换，弧长公式，勾股定理等知识，熟

练掌握旋转变换的性质是解题关键，属于中考常考题型.

56.尺规作图，不需要写作图方法，保留作图痕迹，如图，若线段CO=acm,AB=bcm.

AI--------------------------1BC।-------------------1D

（1）根据下列要求画图，到点A,点8的距离都不大于acm的所有点组成的图形（用阴

影表示）.

（2）若线段CQ=3cm,AB=3gcm,求出满足（1）条件所得图形的面积.

【答案】（1）见解析:

⑵s阴影=（3万-2

【分析】（1）分别以点A、8为圆心，CD为半径画圆，两圆的公共部分满足条件；

（2）连接AM、AN,BM、BN,MN,AB与MN相交于点E,如图，先证明四边形AMBN

为菱形，则根据菱形的性质得到MN_LAB,AE=BE=^-,再计算出MN=3得AAMN

2

为等边三角形，所以NK4N=60。，根据扇形的面积公式和菱形的面积公式，利用S股影

部分=2S扇形MAN-S菱/AMBN进行计算.

(1)

解：如图，阴影部分为所作；

(2)

解：连接AM、AN,BM、BN,MN,AB与MN相交于点E,如图，

则AM=BM=BN=AN=3cm,

・・・四边形AM3N为菱形，

:.MNLAB,AE=BE=^AB=迪，

22

在RtAAME中，ME=yjAM2-AE2=^32-(^^)2=y，

:.MN=2ME=3,

：.AM=AN^MN,

...△AMN为等边三角形，

NMAN=60。,

:・S阴影部分=2S扇形MAN-S差形AMBN=2x陋工-；x3x36=巫)cm2.

360乙2

【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线)是解决问题的关键.也考查了菱形的判定与性质和扇形的面积公式.

57.如图，A8是的弦，OELAB交。于点E,点C是弦45下方】。上一点，连

接CE与A8交于点尸，点尸是A8延长线上一点，且PC=P尸，连接。8、BC.

(1)求证：PC是:O的切线；

(2)若NOBC=45°,BC=30，BP=5,求BF的长.

【答案】(1)见解析；(2)BF=2

【分析】(1)要证PC是＜O的切线，连接OC,即证OC_LCP,即证NOCE+2FCP=90°,

通过OEYAB可得Z£+ZAF£=90°,通过PC=PF结合等边对等角即可得证；

(2)要求8尸的长，8P的长已知，即求PF的长，进而需求CP的长，过点B作BGJLPC

于点G,由CP=CG+PG且PG、8尸在同一直角三角形中，可知需求8G的长，易证

四边形OCGB是正方形，即可得解.

【详解】(1)证明：如图，连接OC

■:OELAB

：.ZE+ZEFA=90°

'：OE=OC

：.ZE=NOCE

"：PC=PF

：.NCFP=NFCP

又：NCFP=NEFA

：.4FCP=NEFA

：.NOCE+AFCP=ZE+ZEFA=90°,即Z.OCP=90°

*/OC是；O的半径

•••PC是O的切线；

(2)如图，过点B作3GLPC于点G

VZOBC=45°,OC=OB

NOCB=NOBC=45°,ZCOB=90°

AOBC是等腰直角三角形

VOB=OC,BC=3近，OB2+OC2=BC2

：.OB=3

VBGA.PC,NOCP=90°

，四边形O8GC是正方形

:.OB=CG=BG=3

在RMPG中，由勾股定理得PG=dBP-BG?=代-32=4

,?PF=PC=PG+CG=4+3=7

BF=PF-BP=l-5=2.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质等

知识点，较难的是题(2),通过作辅助线，构造一个正方形是解题关键.

58.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时，y有最小值-4,且图象经过点(-1,12).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)该抛物线交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,在抛物线对称轴上

有一动点P,求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标.

【答案】⑴y=x2-6x+5；(2)当点P的坐标为(3,2)时，PA+PC取最小值，最小

值为5丘.

【分析】(1)由顶点坐标将二次函数的解析式设成y=a(x-3)2-4,由该函数图象上一

点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的

对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值，最小值为BC,

根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象

上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解.

【详解】(1):当x=3时，y有最小值4,

设二次函数解析式为y=a(x-3)2-4.

•••二次函数图象经过点(-1,12),

12=16a-4,

••a=1,

,二次函数的解析式为y=(x-3)2-4=X2-6X+5.

(2)当y=0时,<x2-6x+5=0,

解得：Xj=l,X2=5,

・••点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(5,0)；

当x=0时,y=x2-6x+5=5,

・••点C的坐标为（0,5）.

连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值，最小值为BC,如图所示.

设直线BC的解析式为y=mx+n(m/0),

将B(5,0)、C(0,5)代入y=mx+n,得:

5m4-〃=0m=-l

，解得:

n=5n—5

・•・直线BC的解析式为y=-x+5.

VB（5,0）、C（0,5）,

；.BC=5近.

,当x=3时,y=-x+5=2,

二当点P的坐标为（3,2）时，PA+PC取最小值，最小值为5近.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标

特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解

题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点

之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置.

59.如图，在AABC的边上取一点。，以。为圆心，OC为半径画O,。与边AC

相切于点C,连接04,平分NC4B.

⑴求证：AB是：。的切线；

4

⑵若AB=10,tanB=p求。的半径.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）连接0£>,由切线的性质可得42X9=90。，由“A4S”可证MCO=

可得OC=OD,由切线的判定可得结论；

（2）由锐角三角函数可设AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求BC=6,再由勾股定

理可求解.

（1）

过点。作。。，回于点。，

ADB

则/4。(9=90。，

。与边AC相切于点C,

.-.OC±AC,B|JZACO=90°,

QA平分/C4B,

:.ZCAO=ZDAO,

ZCAO=ZDAO,ZACO=ZADO=90°,OA=OA,

:.MCO=^ADO(AAS),

:.OC=OD,

oc是半径，

..8是半径，

又ODLAB,

是。的切线；

Q)

在RtAACB中，ABAC=90°,

04AC

tanB=—=,

3BC

.,.设AC=4x,BC=3x,

AC2+BC2=AB2,

.•.16X2+9X2=100,

解得玉=2,x2=-2（舍去）,

:.BC=6,AC=8,

由（1）得AACO二AADO,

/.AC=A£>=8,

AB=10,

，BD=AB-AD=2,

设l。的半径为，,，则OC=8=r,

在R3ODB中，/ODB=90°,

OB2=OD2+BD2,

（6-r）2=r2+4,

解得rg

Q

所以。的半径为‘

【点睛】本题是考查了切线的判定和性质，正切，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐

角三角函数是解本题的关键.

60.已知抛物线y=ox?-2奴-3+2/（”片0）.

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；

（3）设点尸（加,乂），。（3,%）在抛物线上，若,<%，求m的取值范围.

33

【答案1（1）x=1；（2）'=5尸一3》+］或丫=—x~+2x—1；（3）当a>0时，—1<机<3；

当a<0时，/"<-1或M>3.

【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；

（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0,解一元二次方程，

即可得到”的值，进而得到其解析式；

（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性

质，即可得到加的取值范围.

【详解】（1）"""y=ax2-2ax-3+2a2,

y=iz（x-l）2-a-3+2/,

其对称轴为：x=l.

（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：（1,2/-a-3）,

•••抛物线顶点在x轴上，

工2a2—〃-3=0,

解得：a=3或4=_1，

333

当°=彳时，其解析式为：y=-x2-3x+^,

当a=-l时，其解析式为：y=-x2+2x-l,

综上，二次函数解析式为：、=彳丁-3》+2或丫=-/+2万一1.

(3)由(1)知，抛物线的对称轴为x=l,

。(3,%)关于》=1的对称点为(-1,%)，

当a>0时，若M<必，

则

当a<0时，若y<%，

则m<-l或m>3.

【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求

不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键.

61.计算：

(1)73cos30°+V2sin45°;

(2)6tan2300-6sin600-2sin45°.

【答案】(1)；；(2)——A/2.

【分析】直接代入特殊角度的三角函数值进行运算即可.

【详解】解：(1)原式=6x2+值昱="

222

(2)原式=6x；--2X2E=1-5/2.

【点睛】本题考查了含有特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是解

题关键.

62.如图1,AB是。。的直径，AB绕点A顺时针旋转得到线段AC,连接8c交。O于

点。，过。作。EL4C于E.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)过。作_LA8,交。。于点尸，直线4C交。。于点G,连接FG,DG,BF.

①如图2,证明：FG//BD；

②当AC旋转到如图3的位置，在5F上取一点”，使得£>”=£>£BF±DG,证明:

D,O,//在同一条直线上.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析②见解析

【分析】(1)如图1,连接O。、AD,根据旋转可证得AABC是等腰三角形，根据直径

所对的圆周角是直角可得出AOLBC,根据三角形中位线性质可得。。〃AC,进而推

出再运用切线的判定定理即可：

⑵①如图2,连接BG、AD,根据直径所对的圆周角是直角可得出ADLBC,再运用

弦、弧、圆周角的关系即可证得结论；

②如图3,连接。。，运用圆周角定理及三角形内角和定理证明/BOO,即可

证得结论.

(1)

证明：如图1,连接0£>、AD,

•：AB绕点A顺时针旋转得到线段AC,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形，

「AB是。。的直径，

/.ZADB=90°,BPADIBC,

且AO=BO,

二。。是△ABC的中位线,

：.OD//AC,

VD£±AC,

:.ODLDE,

・・・OE是。。的切线;

图1

(2)

)①证明：如图2,连接BG、AD,

〈AB是。。的直径，

.•・N8GA=NBDA=90。，

工ADLBC,

•.♦AB=AC,

:・BD=DC,

：.BD=GD,

,,BD=GD»

VDF1AB,

•,BD=BF，

:.GD=BF，

AZ1=Z2,

:.FG//BD；

②证明：如图3,连接0。，

•：DF±AB,A3是。。的直径，

：♦AD=AF，

AZ3=Z4=Z5,

,.・A8=AC

AZ3=ZC,

AZ5=ZC,

・・・FG//DB,

:，BG=DF，

:・/DBF=NBDG,

VBF1DG,

・・・ZDBF=NBDG=45。,BD=BF，

：.Z3=Z4="ZDBF=22.5°,

2

.*.Z7=90°-Z4=67.5°,

■:DF=DH,

AZ6=Z7=67.5°,

・・・ZBDH=Z6-ZDBF=22.5°,

♦：0B=0D,

：.Z3=ZBDO=22.5°,

・・・ZBDH=ZBDO,

・・・D,0,H在同一条直线上.

图3

【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用.熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，以

及三角形的中位线定理和三角形的内角和定理是解题的关键.

63.已知：如图，内切于aABC,ZBOC=105°,ZACB=90°,AB=20cm.求BC、

AC的长.

B

---------------

【答案】BC、AC的长分别是10cm、1055cm.

【分析】先根据O内切于△ABC,得出/ABONCBO,ZBCO=ZACO,再根据

ZACB=90°,得出NBCO=45。，再根据三角形内角和定理得出NOBC的度数，从而求

出NABC和NA的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC.

【详解】解：团圆。内切于团ABC,

团团AB。二团CBO,团BCO二团ACO,

fflACB=90°,

0l?]BCO=-x9Oo=45o,

2

00BOC=1O5O,

盟CBO=180°-45°-105°=30°,

00ABC=20CBO=6O°,

fflA=30°,

11

团BC=—AB=-x20=10cm,

22

回AC=QAB。_BC?=7202-102=10>/3

团BC、AC的长分别是10cm、10石cm.

【点睛】本题考查的知识点是三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练的掌握三角形

的内切圆与内心.

64.如图，在R3ABC中，ZC=90°,AB=8cm,cosZ/A£?C=|.点。在边AC上，且C£)=

7

二cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以lcm/s的速度移动，当点P到达B点即停

止运动.设运动时间为t(s).解答下列问题：

(1)“、N分别是OP、BP的中点，连接MN.

①分别求BC、MN的值；

②求在点P从点A匀速运动到点B的过程中线段MN所扫过区域的面积；

(2)在点P运动过程中，是否存在某一时刻t,使8。平分NCDP?若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由.

啃

3

【分析】(1)①根据A8=8和cosZA8C=m可求出BC的长，根据勾股定理求出8。的

长，然后根据三角形中位线定理即可求解；

②由于。点不动，所以8。的长不变，从而可得MN的长不变，由此可知扫过的区域为

平行四边形，再利用平行四边形的性质求面积即可得；

(2)过。作于"，过点8作3E_LP£)于E,根据角平分线的性质和勾股定理

求出HE,DE,DH的长,再根据三角形的面积的不变性可得。P的长，从而可得EP的长，

然后在RtBEP中,利用勾股定理即可得.

(1)

3

解：①在RtAABC中，NC=90°,A8=8cm,cosNABC=；,

?.^c=ycm,AC=y/AB2-BC2=ycm，

7

CD=­cm,

BD=yjBC2+CD2=5cm，

.M,N分别为DP,BP的中点，

:.MN=-BD=-cm-

22

②因为。点不动，

所以BO的长不变，

所以MN的长不变，

所以如图，线段用N扫过的区域为平行四边形8M其中，点分别为

的中点,则％M=gBD=|cm,

过点M。作于点产，

c

D

BN。F八

BN0=AN0=^AB=4cm,

.AD=AC-CD=5cm,

/.AM..=—AD=—cm,

°22

AM„=MaNn,

AF=gAN。=2cm,

__Q

2

MaF=y/M®-AF=-cm,

则平行四边形BMMM的面积为BNQMF=4X|=6(cm2),

即线段MN所扫过的区域的面积为6cm?.

(2)

解：如图，过。作于H,过点8作8E_LPE»于E,

由角平分线的性质得：BE=BC=—cm,

:.DE=^BD'-BE2=(cm,

AD=BD=5cm,DH1AB，

AH=-AB=4cm,

2

DH=>JAD2-AH2=3cm，

由题意得：AP=rem,0<r<8,

/.BP=AB-AP=(8-/)cm,

S„=-BEDP=-DHBP,

BKDnP22

—^^=5-？cm),

1Q%

:.EP=DP-DE=-------(cm),

58v7

2222

在RtBEP中，BP=PE+BE>即俗7）、（史-包I+24

I58

解得，=刀或r=16>8(舍去)，

112

故当r=W时，8。平分NCDP.

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质、

等腰三角形的三线合一、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握三角形中位线定理和

勾股定理是解题关键.

65.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=，x+3)(x-〃)与x轴交于A,3(4,0)两

点，点C在y轴上，且OC=O8,D,E分别是线段AC,AB上的动点(点、D,E不

与点A,B,C重合).

(1)求此抛物线的表达式;

(2)连接QE并延长交抛物线于点P,当OELx轴，且AE=1时，求。尸的长;

⑶连接

①如图2,将△38沿*轴翻折得到BFG,当点G在抛物线上时，求点G的坐标;

②如图3,连接CE,当C£>=AE时，求BD+CE的最小值.

［答案］⑴y=+2_/_3

呜

⑶①G、g,一与｝②历

【分析】(1)把点B代入抛物线关系式，求出“的值，即可得出抛物线的关系式；

(2)根据抛物线y=；(x+3)(x-4)可求出点A的坐标，点C的坐标，根据AE=1,利

用三角函数，求出QE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出

点尸的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点尸的纵坐标，即可得出EP的值，最后求

出。P的值即可;

(3)①连接OG交AB于点A7,设OM=a(a>0),AM=OA-OM=3-a,求出

MG=MO=AM-tanNC4O=g(3-“)，得出点,将其代入抛物线关系

式，列出关于。的方程，解方程，求出。的值，即可得出G的坐标：

②在AB下方作NE4Q=NDCB且AQ=BC,连接E。，CQ,证明△4EQ三△CDB,得

出EQ=B。，说明当C,E,。三点共线时，3£>+CE=EQ+CE最小，最小为C。，过

C作C〃，AQ,垂足为“，先证明/C4H=45。，算出AC长度，即可求出CH、AH,得

111HQ,最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果.

⑴解：•••8(4,0)在抛物线y=；(x+3)(x-a)上，.彳口乂-卜。，解得”=4,

•*.y=!(x+3)(x-4),即>,=7%2-Jx-3；

(2)在y=w(x+3)(x—4)中，令y=0,得再=-3,x2=4,A(—3,0),OA=3f*/

,、OC44

OC—OB-4,C(0,4j,VAE=1>/.DE=AE-tanZ.CAO=AE------=lx—=—,

OA33

OE=OA-AE=3-\=2,：.E(-2,0),VDEYx^,：.xr=xD=xE=-2,：.

i334317

y=-(-2+3)(-2-4]=一一，APE=-：.DP=DE+PE=-+-=—.

0p4、八J22t326

(3)①连接QG交A8于点例，如图1所示:・・・ABCD

图1

与尸G关于x轴对称，・・・OG，A8,DM=GM,设。M=a(a>0),则

AM=OA—OM=3—a,A/G=A/O=AA/•tanNCAO=g(3—a),；・G(一〃,](〃-3)],

点G[a,*—3))在抛物线y=；(x+3)(I)上，；.；(_a+3)“4)=*〃-3),解

得q=3(舍去)，出=铲・・・6卜§,一百卜②在A8下方作NEAQ=NOC5且AQ=8C,

连接EQ,CQ,如图2所示:VAE=CD,：.

△AEQsACDB(SAS),:.EQ=BD,.•.当C,E,Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE

最小，最小为C。，过C作C”，AQ,垂足为H,VOC^OB,oc=OB=4,：.

NCB4=45°,BC=4夜，：

^CAH=180°-Z.CAB-ZEAQ=180°-NCAB-NDCB=ACBA=45°,

AC=A/OA2+OC2=｛乎+4?=5，AH=CH=AC=丁-，

HQ=AH+AQ=AH+BC=孚+4丘=，CQ=yJCH2+HQ2

=屈，即8D+CE的最小值为质.

【点睛】本题主要考查J'二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三

角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明EQ=8£»,得

出当C,E,。三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小,是解题的关键.

66.尺规作图只允许使用直尺和圆规来解决平面几何作图题，下面我们用尺规作图来解

决一些问题.

【回顾复习】下列作图语句表述正确的是.

①延长射线OA：

②已知线段A8,作MN=AB；

③作直线AB等于直线CD；

④以某定点为圆心，以固定的长为半径画圆弧.

【课本呈现】

已知：ZAOB,

求作：NAOB的平分线.

作法：（1）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.

-MN

(2)分别以点M,N为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧在NAOB的

内部相交于点C.

画射线0C,射线0C即为所求.

【小试牛刀】小明同学发现，在04,上分别截取OM,ON,使0M=0N,并将两

个完全相同的直角三角尺按如图1所示的样子摆放，也可以得到0P为NAOB的平分线，

你认为这种做法正确吗？请说明理由.

【问题解决】如图2,"C是边长为2的等边三角形，直线1经过顶点4,且与边BC

平行，仅用尺规在直线1上找出点P,使得NAPC=g/ACB,并直接写出BP的长度(保

留作图痕迹，不写作法).

【答案】回顾复习：②④；小试牛刀：这种做法正确，理由见解析；问题解决：2或2不

【分析】回顾复习：根据直线和射线的定义可知，延长射线和直线是没有长度的，可得

①③不正确；作线段等于已知线段，和已知定点和定长作圆都属于基本作图，故②④正

确；

小试牛刀：由题意可知：NONP=NOMP=90。.0P=0P,ON=OM,所以Rt/XQMP

gRtOMP,可得NN0P=NM0P即可说明OP为NAOB的平分线是正确的；

问题解决：由△ABC为等边三角形，8c〃/1可知AB=BC=AC=2,NBAC=NABC=

NBAP、=NCAPf60。,分点尸在片的位置上和点P在鸟的位置上两种情况进行讨论.①

当点尸在4的位置上时，易证△力和是等边三角形，即可求解；②当尸在6的位置

时，过点8作应于点E,可得NBEA=90°,NABE=30°,AE=1AB=\,

BE=AB.cosNABE邛，进而知N@C=30。，再求得丝=/+e=5,在Rt&BEP2中,

根据勾股定理可求Bg的值.

【详解】解：回顾复习②④，

小试牛刀：这种做法正确.理由如下：

由题意可知：NONP=NOMP=90。.

VOP=OP,ON=OM,；.RtZXONP名RtOMP.

...ZNOP=Z.MOP.

•••OP为N49B的平分线.

「△ABC为等边三角形，BC//lt

：.A8=8C=AC=2,ZBAC=NABC=ZBAP、"CAP?=60°

①当点P在匕的位置上时，由作图可知伤=〃=2

AB=AP

:,AABP、是等边三角形

ABP=AP=2；

②当P在6的位置时，过点B作跖_L优于点E,如图,

则NBE4=90。，NA8E=30°

/=；46=1,BE=AB.CGSNABE=yH

：.AP=AC

N衅=30。

由作图过程可知例=七

，训。=/佟=30。

O

/.^ACP=180°-ZCAP2-ZJ/^C=90

AP=2AC=A

：.里=熊+能=5

在一RmBE4中，

里二啊?+丝2=2"

综上所述，8P的长度为2或2".

【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，解直角

三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟悉基本作图，综合运用全等三角形的判定定

理和等边三角形的判定与性质等知识.

67.如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90°,OC=2OB,tan/ABC=2,点B的坐标

为(1,0).抛物线y=-x?+bx+c经过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB

于点E,使PE=；DE.

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所

有点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=-x2-3x+4；（2）①P（-1,6）,②存在，M（-1,3+VH）或（-1,

13

3-而）或（-1,-1）或（-1,-）.

【分析】(1)先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式;

(2)①先得AB的解析式为：y=-2x+2,根据PDJ_x轴,设P(x,-x2-3x+4),则E(x,

-2x+2),根据PE=^DE,列方程可得P的坐标；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长，分三种情况：^ABM

为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐

标.

【详解】解:(1)VB(1,0),/.OB=1,

VOC=2OB=2,AC(-2,0),

RtAABC中，tanZABC=2,

.AC0,AC0.八八久

BC3

AA(-2,6),

,f-4-2Z?+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：1,八，

[-l+/?+c=0

■，[b=-3

解得：/,

[c=4

J抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；

(2)①YA(-2,6),B(1,0),

JAB的解析式为:y=-2x+2,

设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-2x+2),

VPE=-DE,

2

-x2-3x+4-(-2x+2)=—(-2x+2),

2

；.x=-l或1(舍)，

：.P(-1,6)；

②在直线PD上，且P(-1,6),

设M(-1,y),

VB(1,0),A(-2,6)

AM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+62=45,

分三种情况：

i)当NAMB=90。时，有AM?+BM2=AB2,

1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3±7FT，

/.M(-1,3+)或(-1,3-->/H);

ii)当/ABM=90。时，有AB2+BM2=AM2,

•*.45+4+y2=l+(y-6)2,y=-1,

AM(-1,-1),

iii)当NBAM=90。时，有AM2+AB2=BM2,

13

/.1+(y-6)2+45=4+y2,.*.y=—,

13

AM(-1,—)；

2

综上所述，点M的坐标为：，M(-1,3+而)或(-1,3-而)或(-1,-1)

或(T,)•

【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度

和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程

思想与分类讨论思想的应用.

68.在△ABC中，AB=AC,点尸在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋

转与ZBAC相等的角度，得到线段4Q,连接B。.

如图1,如果点尸是边上任意一点，则线段B。和线段PC的数量关系是

(2)类比探究

如图2,如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予

证明；若不成立，请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明：

(3)迁移应用

如图3,在ZA8C中，AC=2,4BC=90。，/4C8=45。，P是线段BC上的任意一点.连

接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转45。，得到线段A。，连接8。，试求线段8。

长度的最小值.

【答案】(1)BQ=PC-,(2)8Q=PC依然成立，证明见解析；(3)线段BQ的长度最

小值是0-1.

【分析1(1)根据SAS证△84Q丝△C4P,即可得出B0=PC；

(2)同(1)根据SAS证"AQ丝△(?”，即可得出BQ=PC依然成立；

(3)在AC上取一点E,使AE=A8,根据SAS证A8AQ也△EAP,即可得出8Q=PE,

再根据当PE_LAC时，EP最小，求出最小值即可.

【详解】解：(1)由旋转知：AQ=AP,

ZPAQ=ZBAC,

：.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAP,

"：AB=AC,

：.4BAQ迫缸CAP(SAS),

:.BQ=PC,

故答案为：BQ=PC；

(2)结论：B(?=PC依然成立，

理由：由旋转知，AQ=AP,

'：ZPAQ=ZBAC,

：.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

:,乙BA3匕CAP,

\'AB=AC,

:.XBA空会f\CAP(SAS),

：.BQ=PC；

(3)如图3,在AC上取一点E,使AE=A8,连接PE,过点E作ERLBC于F,

图3

由旋转知，AQ=AP,ZPAQ=45°,

,?ZPAQ=ZBAC,

：.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAP,

在△ABQ和AAEP中，

AB=AE

<Z.BAQ=^CAP,

AQ=AP

：.（SAS）,

：.BQ=EP,

要使8Q最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是8C上的动点，

.•.当EP_LBC时（点尸与点尸重合时），EP最小，

在MzVlBC中，AC=2,NABC=90。，ZACB=45°,

：.AB=AC'smZACB=2xsm450=y/2,

:.AE=AB=叵,

：.CE=AC-AE^2-42，

；.EF=CE・sinNACB=（2-及）x显=及-1,

2

故线段BQ的长度最小值是V2-1.

【点睛】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段距离最短

等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

69.如图，抛物线y=-/+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D为抛物

线的顶点，请解决下列问题.

(2)设点P的坐标为(a,0),当|PD-PC|最大时，求a的值并在图中标出点P的位

置；

(3)在(2)的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△BCP,设点C对应点C

的横坐标为t(其中0<tV6),在运动过程中aBeP与△BCD重叠部分的面积为S,

求S与t