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文档简介

截长补短法分析证明一条线段等于两条线段和的根本方法有两种:(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(),再证所构造的线段与求证中那一条线段相等.(2)通过添辅助线先在求证中长线段()上截取与线段中的某一段(如)相等的线段,再证明截剩的局部与线段中的另一段()相等.图4-1:如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.图4-1求证:AB=AC+CD.例2.在四边形ABCD中,点P在AD上,PB平分,PC平分,且,求证:例3.中,,、分别平分和,、交于点,试判断、、的数量关系,并加以证明.例4:如图,E是正方形ABCD边BC上任意一点,AF平分∠EAD交CD于F,试说明BE+DF=AE.例5.:在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,〔1〕如图〔1〕,假设有∠EAF=45º.求证:BE+DF=EF.〔2〕如图〔2〕,假设有BE+DF=EF,求:∠EAF的度数.应用:〔2009东城期末〕23.:正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交〔或它们的延长线〕于点.当绕点旋转到时〔如图1〕,易证.〔1〕当绕点旋转到时〔如图2〕,线段和之间有怎样的数量关系?写出猜测,并加以证明.〔2〕当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜测.图1图2图3例6..等边△ABC,D为△ABC外一点,∠BDC=120°,BD=DC.∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N,①当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,直接写出BM、NC、MN之间的数量关系.②当点M、N在边AB、AC上,且DM≠DN时,猜测①中的结论还成立吗?假设成立,请证明.③当点M、N在边AB、CA的延长线上时,请画出图形,并写出BM、NC、MN之间的数量关系.应用:如下图,是边长为的正三角形,是顶角为的等腰三角形,以为顶点作一个的,点、分别在、上,求的周长.例7.在正内取一点,使,在外取一点,使,且,求.例8.在中,,AD平分,CE平分,AD与CE相交于P,求证:AC=AE+CD例9.如图1,BD是等腰的角平分线,.〔1〕求证BC=AB+AD;例10.:如图7-11,ΔABC中,AB=AC,∠A=100°,BE平分∠B交AC于E.〔1〕求证:BC=AE+BE;〔2〕探究:假设∠A=108°,那么BC等于哪两条线段长的和呢?试证明之.图7-11练习:1.〔1〕如图①,△ABC中,AB=AC,过B点任作射线l,在l上取一点D,使∠ABD=∠ACD,AM⊥BD于M.求证:BM=DM+DC.ABCMD图②ABCMD图①〔2〕如图②,△ABC中,过B点任作射线l,在l上取一点D,使∠ABD=∠ACD,AM⊥ABCMD图②ABCMD图①2.如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90,∠A、∠B、∠C的平分线交于点P。(1)求证:AB=CP+BC;(2)假设∠A、∠B的外角平分线以及∠C的平分线交于点P,(1)中结论是否仍成立?请画出图形,并写出结论〔不需要证明〕FEDCABGPFEDFEDCABGPFEDCABGP求证:①PE+PF=CD.②PE–PF=CD.4.,如图,BD是△ABC的角平分线,AB=AC,〔1〕假设BC=AB+AD,请你猜测∠A的度数,并证明;〔2〕假设BC=BA+CD,求∠A的度数〔3〕假设∠A=100°,求证:BC=BD+DA二、借助角平分线造全等例1、如图,在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD〔中考应用〕30.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题:〔1〕如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;〔2〕如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?假设成立,请证明;假设不成立,请说明理由。OOPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③②以角的平分线为对称轴构造对称图形例2:如图23,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证:AB=AC+CD.例3:如图24,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E.求证:∠ACE=∠B+∠ECD.例4.等腰直角三角形ABC中,,AB=AC,BD平分,,垂足为点E,求证:BD=2CE〔3〕利用角的平分线构造等腰三角形例5如图26,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.求证:CD=BE.例6.:A

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