人教版九年级数学下册第二十八章　锐角三角函数单元测试题

/第二十八章锐角三角函数第一卷(选择题共30分)一、选择题(每题3分,共30分)1．sin60°的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝4,sinA＝eq\f(2,3),那么AB的长为()A.eq\f(8,3)B．6C．12D．83．α为锐角,且cos(90°－α)＝eq\f(1,2),那么cosα的值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)4．如图28－Z－1,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα＝eq\f(3,2),那么t的值是()图28－Z－1A．1B．1.5C．2D．35．如图28－Z－2,∠AOB在正方形网格中,那么cos∠AOB的值为()图28－Z－2A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)6．如图28－Z－3,将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中,点A,B,C均在格点上,那么tanA的值是()图28－Z－3A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(10),5)C．2D.eq\f(1,2)7．如图28－Z－4,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为D.假设AC＝eq\r(5),BC＝2,那么sin∠ACD的值为()图28－Z－4A.eq\f(\r(5),3)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(2,3)8．如图28－Z－5,某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米,高为3米的玻璃隔板组成,三块玻璃摆放时夹角相同．假设入口处两根立柱之间的距离为2米,那么两立柱底端中点到中央转轴底端的距离为()图28－Z－5A.eq\r(3)米B．2米C．2eq\r(2)米D．3米9．如图28－Z－6,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N处,观测灯塔P在南偏西44°方向上,假设该船继续向南航行至离灯塔最近的位置,那么此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272,sin46°≈0.7193,sin22°≈0.3746,sin44°≈0.6947)()图28－Z－6A．22.48海里B．41.68海里C．43.16海里D．55.63海里10．如图28－Z－7,四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A,BC＝10,cos∠BCD＝eq\f(3,5),∠BCE＝30°,那么线段DE的长是()图28－Z－7A.eq\r(89)B．7eq\r(3)C．4＋3eq\r(3)D．3＋4eq\r(3)请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第二卷(非选择题共70分)二、填空题(每题3分,共18分)11．如图28－Z－8,在△ABC中,∠B＝45°,cosC＝eq\f(3,5),AC＝5a,那么△ABC的面积用含a的式子表示是________．图28－Z－812．为解决停车难的问题,在一段长56米的路段上开辟停车位,如图28－Z－9,每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：eq\r(2)≈1.4)图28－Z－913．如图28－Z－10,在等腰三角形ABC中,AB＝AC,BC＝4,D为BC的中点,点E,F在线段AD上,tan∠ABC＝3,那么阴影局部的面积是________．图28－Z－1014．△ABC,假设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))与(tanB－eq\r(3))2互为相反数,那么∠C的度数是________．15．如图28－Z－11,四边形ABCD是正方形,以CD为一边向CD两旁分别作等边三角形PCD和等边三角形QCD,那么tan∠PQB的值为________．图28－Z－1116.如图28－Z－12,点A(5eq\r(3),0),直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B,连接AB.假设∠α＝75°,那么b＝________．图28－Z－12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图28－Z－13,在△ABC中,AB＝4,AC＝6,∠ABC＝45°,求BC的长及tanC的值．图28－Z－1319.(5分)如图28－Z－14,在半径为1的⊙O中,∠AOB＝45°,求sinC的值．图28－Z－1420．(5分)如图28－Z－15,AB是长为10m,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保存整数)．(参考数据：sin37°≈eq\f(3,5),tan37°≈eq\f(3,4),sin65°≈eq\f(9,10),tan65°≈eq\f(15,7))图28－Z－1521．(7分)如图28－Z－16,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ABC∶∠BAD＝1∶2,BE∥AC,CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图28－Z－1622．(7分)如图28－Z－17,市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米),背水坡AF的坡度i＝1∶1,AB＝3米,∠ABE＝120°,求水坝原来的高度．图28－Z－1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图28－Z－18①,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC＝4,BD＝6,∠AOB＝30°,求四边形ABCD的面积．小凯发现,分别过点A,C作直线BD的垂线,垂足分别为E,F,设AO为m,通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请答复：(1)△ABD的面积为________(用含m的式子表示)；(2)求四边形ABCD的面积．参考小凯思考问题的方法,解决问题：如图③,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC＝a,BD＝b,∠AOB＝α(0°＜α＜90°),那么四边形ABCD的面积为________(用含a,b,α的式子表示)．图28－Z－1824．(9分)观察与思考：阅读以下材料,并解决后面的问题．在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,过点A作AD⊥BC于点D(如图28－Z－19①),那么sinB＝eq\f(AD,c),sinC＝eq\f(AD,b),即AD＝csinB,AD＝bsinC,于是csinB＝bsinC,即eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC),同理有eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA),eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB),所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).即：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中,假设三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料,完成以下各题：(1)如图②,△ABC中,∠B＝45°,∠C＝75°,BC＝60,那么∠A＝________°,AC＝________；(2)如图③,在某次巡逻中,渔政船在C处测得海岛A在其北偏西30°的方向上,随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得海岛A在其北偏西75°的方向上,求此时渔政船距海岛A的距离AB.(结果精确到0.01海里,eq\r(6)≈2.449)图28－Z－19详解详析1．C2．B[解析]由题意可得sinA＝eq\f(2,3)＝eq\f(BC,AB).因为BC＝4,所以AB＝6.3．D[解析]因为cos(90°－α)＝eq\f(1,2),α为锐角,所以90°－α＝60°,所以α＝30°,所以cosα＝eq\f(\r(3),2).4．C[解析]∵点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα＝eq\f(3,2),∴tanα＝eq\f(3,t)＝eq\f(3,2),∴t＝2.5．B[解析]如图,连接AC.由网格图的特点,易得△ACO是等腰直角三角形,所以∠AOB＝45°,所以cos∠AOB的值为eq\f(\r(2),2).6．D[解析]如图,连接BD.由网格图的特点可知AD⊥BD,由AD＝2eq\r(2),BD＝eq\r(2),可得tanA的值为eq\f(1,2).7．A[解析]在Rt△ABC中,根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝(eq\r(5))2＋22＝9,∴AB＝3.∵∠B＋∠BCD＝90°,∠ACD＋∠BCD＝90°,∴∠B＝∠ACD,∴sin∠ACD＝sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5),3).应选A.8．A[解析]如图,设中央转轴底端为A,两立柱底端的点为B,C,BC的中点为D,那么有AB＝AC＝2米,所以AD⊥BC,且CD＝1米,所以AD＝eq\r(3)米．9．B[解析]如图,过点P作PA⊥MN于点A,MN＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN＝22°,∠PNA＝44°,∴∠MPN＝∠PNA－∠PMN＝22°,∴∠PMN＝∠MPN,∴MN＝PN＝60海里．∵∠PNA＝44°,∴在Rt△NAP中,PA＝PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)．应选B.10．D[解析]如图,过点B作BF⊥DE于点F.在Rt△CBD中,∵BC＝10,cos∠BCD＝eq\f(3,5),∴DC＝6,∴BD＝8.在Rt△BCE中,BC＝10,∠BCE＝30°,∴BE＝5.在Rt△BDF中,∠BDF＝∠BCE＝30°,BD＝8,∴DF＝BD·cos30°＝4eq\r(3).在Rt△BEF中,∠BEF＝∠BCD,即cos∠BEF＝cos∠BCD＝eq\f(3,5),∴EF＝BE·cos∠BEF＝3,∴DE＝EF＋DF＝3＋4eq\r(3).11．14a212.1713．6[解析]由等腰三角形的轴对称性可知阴影局部的面积等于△ABC的面积的一半．因为BD＝eq\f(1,2)BC＝2,AD⊥BC,tan∠ABC＝3,所以AD＝6,所以△ABC的面积为12,所以阴影局部的面积为6.14．90°[解析]由题意得sinA＝eq\f(1,2),tanB＝eq\r(3),所以∠A＝30°,∠B＝60°,所以∠C的度数是90°.15．2－eq\r(3)[解析]延长QP交AB于点F.∵四边形ABCD是正方形,△PCD和△QCD是以CD为边的等边三角形,∴四边形PCQD是菱形．设正方形ABCD的边长为a,那么可得PE＝QE＝eq\f(\r(3),2)a,DE＝EC＝eq\f(1,2)a,FB＝eq\f(1,2)a,∴tan∠PQB＝eq\f(FB,FQ)＝eq\f(\f(1,2)a,a＋\f(\r(3),2)a)＝2－eq\r(3).16．5[解析]设直线y＝x＋b(b＞0)与x轴交于点C,易得C(－b,0),B(0,b),所以OC＝OB,所以∠BCO＝45°.又因为α＝75°,所以∠BAO＝30°.因为OA＝5eq\r(3),所以OB＝5,所以b＝5.17.eq\f(1,4)18．解：如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,∠B＝45°,∵sinB＝eq\f(AD,AB),∴AD＝AB·sinB＝4×sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2),∴BD＝AD＝2eq\r(2).在Rt△ADC中,AC＝6,由勾股定理,得DC＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(62－〔2\r(2)〕2)＝2eq\r(7),∴BC＝BD＋DC＝2eq\r(2)＋2eq\r(7),tanC＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(2\r(2),2\r(7))＝eq\f(\r(14),7).19．解：如图,过点A作AD⊥OB于点D.∵在Rt△AOD中,∠AOB＝45°,∴OD＝AD＝OA·cos45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2),∴BD＝OB－OD＝1－eq\f(\r(2),2),∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(〔\f(\r(2),2)〕2＋〔1－\f(\r(2),2)〕2)＝eq\r(2－\r(2)).∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC＝90°,AC＝2,∴sinC＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(\r(2－\r(2)),2).20．解：如图,过点B作BF⊥AE于点F,那么BF＝DE.在Rt△ABF中,sin∠BAF＝eq\f(BF,AB),那么BF＝AB·sin∠BAF≈10×eq\f(3,5)＝6(m)．在Rt△CDB中,tan∠CBD＝eq\f(CD,BD),那么CD＝BD·tan65°≈10×eq\f(15,7)≈21(m)．那么CE＝DE＋CD＝BF＋CD≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE的高度约是27m.21．解：(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠ABC＋∠BAD＝180°.又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2,∴∠ABC＝60°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°,∴tan∠DBC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).(2)证明：∵四边形ABCD是菱形,∴∠BOC＝90°.∵BE∥AC,CE∥BD,∴∠OBE＝∠BOC＝∠OCE＝90°,∴四边形OBEC是矩形．22．解：如下图,过点E作EC⊥BD于点C,设BC＝x米．∵∠ABE＝120°,∴∠CBE＝60°.在Rt△BCE中,∵∠CBE＝60°,∴tan60°＝eq\f(CE,BC)＝eq\r(3),即CE＝eq\r(3)x米．∵背水坡AF的坡度i＝1∶1,∴eq\f(CF,AC)＝1.∵AC＝(3＋x)米,CF＝(1＋eq\r(3)x)米,∴eq\f(1＋\r(3)x,3＋x)＝1,解得x＝eq\r(3)＋1,∴EC＝eq\r(3)x＝(3＋eq\r(3))米．答：水坝原来的高度为(3＋eq\r(3))米．23．解：(1)∵AO＝m,∠AOB＝30°