人教版九年级数学上册24.3　正多边形和圆练习题

/24.3正多边形和圆知识点1正多边形与圆的关系1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆,那么这个四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定2．如图24－3－1所示,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC＝36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．图24－3－1知识点2与正多边形有关的计算3．如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是()A．4B．5C．6D．74．假设正方形的边长为6,那么其内切圆半径的大小为()A．3eq\r(2)B．3C．6D．6eq\r(2)5．2019·南平假设正六边形的半径为4,那么它的边长等于()A．4B．2C．2eq\r(3)D．4eq\r(3)6．如图24－3－2所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,那么∠ADB的度数是()图24－3－2A．60°B．45°C．30°D．22.5°7．正八边形的中心角等于________度．8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形,这个正方形的边长等于________．(结果保存根号)图24－3－39．2019·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起,那么∠ABC＝________°.图24－3－410．如图24－3－5,正五边形ABCDE,M是CD的中点,连接AC,BE,AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.图24－3－5知识点3与正多边形有关的作图11．⊙O和⊙O上的一点A,作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．12．如图24－3－6所示,⊙O的内接多边形的周长为3,⊙O的外切多边形的周长为3.4,那么以下各数中与此圆的周长最接近的是()图24－3－6A.eq\r(6)B.eq\r(8)C.eq\r(10)D.eq\r(17)13．假设AB是⊙O内接正五边形的一边,AC是⊙O内接正六边形的一边,那么∠BAC等于()A．120°B．6°C．114°D．114°或6°14．假设等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,那么其内切圆半径的长为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)－2C．2－eq\r(2)D.eq\r(2)－115．2019·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,那么该三角形的面积是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)16．2019·云南如图24－3－7,边长为4的正方形ABCD外切于⊙O,切点分别为E,F,G,H.那么图中阴影局部的面积为________．图24－3－717．如图24－3－8,正六边形ABCDEF内接于⊙O,假设⊙O的内接正三角形ACE的面积为48eq\r(3),试求正六边形的周长．图24－3－818．如图24－3－9①②③④,M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM＝CN,连接OM,ON.图24－3－9(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中,∠MON的度数是________,图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．教师详解详析1．C[解析]只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆,故这个四边形是正方形．应选C.2．证明：∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC＝36°,∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°,即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE,∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵)),∴A,E,B,C,D是⊙O的五等分点,∴五边形AEBCD是正五边形．3．B[解析]设这个正多边形为正n边形,由题意可知72n＝360,解得n＝5.应选B.4．B5．A[解析]正六边形的中心角为360°÷6＝60°,那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4,所以正六边形的边长等于4.6．C[解析]连接OB,那么∠AOB＝60°,∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°.7．458．1＋eq\r(2)[解析]如图,∵△BDE是等腰直角三角形,BE＝1,∴BD＝eq\f(\r(2),2),∴正方形的边长等于AB＋2BD＝1＋eq\r(2).9．24[解析]正六边形的一个内角＝eq\f(1,6)×(6－2)×180°＝120°,正五边形的一个内角＝eq\f(1,5)×(5－2)×180°＝108°,∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等,即AB＝AC,∴∠ABC＝eq\f(1,2)×(180°－132°)＝24°.10．证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形,得AB＝AE,∠ABC＝∠BAE,AB＝BC,∴△ABC≌△EAB,∴AC＝BE.(2)连接AD,由五边形ABCDE是正五边形,得AB＝AE,∠ABC＝∠AED,BC＝ED,∴△ABC≌△AED,∴AC＝AD.又∵M是CD的中点,∴AM⊥CD.11．解：如下图．作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC,依次连接AB,BC,CD,DA,那么四边形ABCD是⊙O的内接正方形；③分别以点A,C为圆心,OA的长为半径画弧,交⊙O于点E,H和F,G,顺次连接AE,EF,FC,CG,GH,HA,那么六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形．12．C[解析]根据两点之间,线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4,选项中只有C满足要求．13．D[解析]分两种情况考虑：(1)如图①所示,∵AB是⊙O内接正五边形的一边,∴∠AOB＝eq\f(360°,5)＝72°.∵AC是⊙O内接正六边形的一边,∴∠AOC＝eq\f(360°,6)＝60°,∴∠BOC＝72°－60°＝12°,∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝6°.(2)如图②所示,∠AOB＝72°,∠AOC＝60°,∴∠OAB＝54°,∠OAC＝60°,∴∠BAC＝60°＋54°＝114°.综上所述,可知选D.14．B[解析]∵等腰直角三角形的外接圆半径为2,∴此直角三角形的斜边长为4,两条直角边的长均为2eq\r(2).如图,根据三角形内切圆的性质可得CD＝CE＝r,AD＝BE＝AO＝BO＝2eq\r(2)－r,∴AB＝AO＋BO＝4eq\r(2)－2r＝4,解得r＝2eq\r(2)－2.应选B.15．A[解析]如图①,∵OC＝2,∴OD＝1；如图②,∵OB＝2,∴OE＝eq\r(2)；如图③,∵OA＝2,∴OD＝eq\r(3),那么该三角形的三边长分别为1,eq\r(2),eq\r(3).∵12＋(eq\r(2))2＝(eq\r(3))2,∴该三角形是直角三角形,∴该三角形的面积是eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2).应选A.16．2π＋4[解析]如图,连接HO,并延长交BC于点P,连接EO,并延长交CD于点M.∵正方形ABCD外切于⊙O,∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°,∴四边形AHPB为矩形,∴∠OPB＝90°.又∵∠OFB＝90°,∴点P与点F重合,∴HF为⊙O的直径,同理：EG为⊙O的直径．由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知,四边形DGOH为正方形．同理：四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形,∴DH＝DG＝GC＝CF＝2,∠HGO＝∠FGO＝45°,∴∠HGF＝90°,GH＝GF＝eq\r(GC2＋CF2)＝2eq\r(2),那么阴影局部面积＝eq\f(1,2)S⊙O＋S△HGF＝eq\f(1,2)·π·22＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝2π＋4.故答案为2π＋4.17．解：如图,连接OA,作OH⊥AC于点H,那么∠OAH＝30°.在Rt△OAH中,设OA＝R,那么OH＝eq\f(1,2)R,由勾股定理可得AH＝eq\r(OA2－OH2)＝eq\r(R2－〔\f(1,2)R〕2)＝eq\f(1,2)eq\r(3)R.而△ACE的面积是△OAH面积的6倍,即6×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\r(3)R×eq\f(1,2)R＝48eq\r(3),解得R＝8,即正六边形的边长为8,所以正六边形的周长为48.18．解：(1)方法一：如图①,连接OB,OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O,∴∠OBM＝∠OCN＝30°,∠BOC＝120°.又∵BM＝CN,OB＝