抛物线的简单几何性质典型例题

抛物线性质高考题型〔1〕抛物线——二次曲线的和谐线【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，那么以PF为直径的圆与y轴〔〕相交相切相离位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，且.作MN⊥y轴于N那么MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.〔2〕焦点弦——常考常新的亮点弦〔3〕切线——抛物线与函数有缘例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，那么此动圆必过定点〔〕显然.此题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线的通径长为2p；3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【证明】如图设焦点两端分别为，那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.〔1〕解析法——为对称问题【例5】〕抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，那么|AB|等于〔〕A.3B.4C.3D.4【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：.由设方程〔1〕之两根为x1，x2，那么.设AB的中点为M〔x0，y0〕，那么.代入x+y=0：y0=.故有.从而.直线AB的方程为：.方程〔1〕成为：.解得：，从而，故得：A〔-2，-1〕，B〔1，2〕.，选C.〔2〕几何法——为解析法添彩扬威【例6】〔07.全国1卷.11题〕抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的局部相交于点，，垂足为，那么的面积〔〕A． B． C． D．【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，那么且∠KFM=60°，∴.选C.〔3〕定义法——追本求真的简单一着【例7】〔07.湖北卷.7题〕双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，那么等于〔〕A． B． C． D．如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作，令.∵点M在抛物线上，，这就是说：的实质是离心率e.其次，与离心率e有什么关系？注意到：.这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴选A..〔4〕三角法——本身也是一种解析【例8】〕如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。〔Ⅰ〕求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；〔Ⅱ〕假设a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】〔Ⅰ〕焦点F〔2，0〕，准线.〔Ⅱ〕直线AB：代入〔1〕，整理得：设方程〔2〕之二根为y1，y2，那么.设AB中点为AB的垂直平分线方程是：.令y=0，那么故于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.〔5〕消去法——合理减负的常用方法.【例9】是否存在同时满足以下两条件的直线：〔1〕与抛物线有两个不同的交点A和B；〔2〕线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.假设不存在，说明理由，假设存在，求出直线的方程.【解析】假定在抛物线上存在这样的两点∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且.设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：例2过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB所在的直线方程为．将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．设直线l方程为．代入抛物线方程得由得，这时．它到AB的距离为∴△RAB的最大面积为．例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．解法一：设那么：，，即，①把N点看作定点，那么AB所在的直线方程为：显然代入化简整理得：，②由①、②得：，化简得用x、y分别表示得：例6如下图，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，假设△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令那么，∴由两点间的距离公式，得方程组：解得或∵△AMN为锐角三角形，∴，那么，又B在曲线段C上，那么曲线段C的方程为例7如下图，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．〔1〕求．〔2〕求△ABQ面积的最大值．解：〔1〕设由得：，由得，同类似，那么，〔2〕，∴当时，取最大值．例8直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程．解法一：设抛物线的方程为，直线的方程为，那么有点，点关于直线的对称点为、，那么有解得解得如图，、在抛物线上∴两式相除，消去，整理，得，故，由，，得．把代入，得．∴直线的方程为，抛物线的方程为．解法二：设点、关于的对称点为、，又设，依题意，有，．故，．由，知．∴，．又，，故为第一象限的角．∴、．将、的坐标代入抛物线方程，得∴，即从而，，∴，得抛物线的方程为．又直线平分，得的倾斜角为．∴．∴直线的方程为．例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积．解：∵直线，，∴设的方程为，且、．由方程组，消去，得，于是，，∴(其中)∴．由，为正方形，，∴可视为平行直线与间的距离，那么有，于是得．两边平方后，整理得，，∴或．当时，正方形的面积．当时，正方形的面积．∴正方形的面积为18或50．例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，