2024届吉林省长春市吉大尚德学校八年级数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届吉林省长春市吉大尚德学校八年级数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．要使分式x+1x-1有意义，则xA．x=-1 B．x=1 C．x≠1 D．x≠-12．有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（）A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差3．下面哪个点在函数的图象上（）A． B． C． D．4．如图，将两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG按图示方式放置（点A、D、E在同一直线上），连接AC、AF、CF，已知AD＝3，DC＝4，则CF的长是（）A．5 B．7 C．52 D．105．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了()A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-x+2上，则y1y2大小关系是()A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．不能比较7．如果多项式是一个完全平方式，那么的值为A． B． C． D．8．如图，D、E分别是AB、AC的中点，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()A．EF=CF B．EF=DEC．CF＜BD D．EF＞DE9．鞋店老板去进货时，他必须了解近期各种尺码的鞋销售情况，他应该最关心统计量中的（）A．众数B．中位数C．平均数D．方差10．下列各式中正确的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度．12．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．13．如图，四边形是正方形，延长到，使，则__________°．14．我国很多城市水资源短缺，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准．某市居民月交水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水18吨，则应交水费_____元．15．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为__________．16．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是______.17．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若,则的度数是______.18．命题“对顶角相等”的逆命题的题设是___________.三、解答题(共66分)19．（10分）如图①，矩形中，，，点是边上的一动点（点与、点不重合），四边形沿折叠得边形，延长交于点．图①图②（1）求证：；（2）如图②，若点恰好在的延长线上时，试求出的长度；（3）当时，求证：是等腰三角形．20．（6分）如图、，在平行四边形中，、的角平分线、分别与线段两侧的延长线（或线段）相交与、，与相交于点.（1）在图中，求证：，.（2）在图中，仍有（1）中的，成立，请解答下面问题：①若，，，求和的长；②是否能给平行四边形的边和角各添加一个条件，使得点恰好落在边上且为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由.21．（6分）如图，已知矩形ABCD中，点E是AB边上的一个动点，点F、G、H分别是CD、DE、CE的中点．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）设AB＝4，AD＝3，求△EFG的面积．22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝12，求EF的长．23．（8分）如图(1)，折叠平行四边形，使得分别落在边上的点，为折痕(1)若，证明:平行四边形是菱形;(2)若，求的大小;(3)如图(2)，以为邻边作平行四边形，若，求的大小24．（8分）作图题．小峰一边哼着歌“我是一条鱼，快乐的游来游去”，一边试着在平面直角坐标系中画出了一条鱼．如图，O（0，0），A（5，4），B（3，0），C（5，1），D（5，-1），E（4，-2）．（1）作“小鱼”关于原点O的对称图形，其中点O，A，B，C，D，E的对应点分别为O1，A1，B1，C1，D1，E1（不要求写作法）；（2）写出点A1，E1的坐标．25．（10分）如图，某学校有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设计人行通道的宽度为2米，那么修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米？若要修建的两块矩形绿地的面积共为216平方米，求人行通道的宽度．26．（10分）不解方程组，求的值

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解题分析】

根据分式的分母不为0即可求解.【题目详解】依题意得x-1≠0，∴x≠1故选C.【题目点拨】此题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零.2、A【解题分析】

根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【题目详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A．【题目点拨】考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.3、B【解题分析】

把各点坐标代入解析式即可求解.【题目详解】A.，y=4×1-2=2≠-2，故不在直线上；B.，y=4×3-2=10，故在直线上；C.，y=4×0.5-2=0，故不在直线上；D.，y=4×（-3）-2=-14，故不在直线上.故选B.【题目点拨】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知坐标的代入求解.4、C【解题分析】

由两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG，得出AG=AD=BC=3，FG=AB=CD=4，∠FGA=∠ABC=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS证得△FGA≌△ABC，得出AF=AC，∠GFA=∠BAC，∠GAF=∠BCA，由∠GFA+∠GAF=90°，推出∠GAF+BAC=90°，得出∠FAC=90°，即△CAF是等腰直角三角形，即可得出结果．【题目详解】∵两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG，∴AG=AD=BC=3，FG=AB=CD=4，∠FGA=∠ABC=90°，AC=AB2在△FGA和△ABC中，FG＝∴△FGA≌△ABC（SAS），∴AF=AC，∠GFA=∠BAC，∠GAF=∠BCA，∵∠GFA+∠GAF=90°，∴∠GAF+BAC=90°，∴∠FAC=90°，∴△CAF是等腰直角三角形，∴CF=2AC=52，故选C．【题目点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等与等腰直角三角形的判定是解题的关键．5、A【解题分析】

根据勾股定理可以得到AD和BD的长度，然后用AD+BD-AB的长度即为所求.【题目详解】根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．【题目点拨】主要考查了勾股定理解直角三角形.6、A【解题分析】

根据一次函数的图象和性质，即可得到答案.【题目详解】∵y=-x+2，∴k=-<0，即y随着x的增大而减小，∵点（-4，y1），（2，y2）在直线y=-x+2上，∴y1>y2故选A.【题目点拨】本题主要考查一次函数的性质，理解一次函数的比例系数k的意义，是解题的关键.7、D【解题分析】分析：完全平方差公式是指：，根据公式即可得出答案．详解：根据完全平方公式可得：－m=±6，则m=±6，故选D．点睛：本题主要考查的是完全平方公式，属于基础题型．明白完全平方公式的形式是解题的关键．8、B【解题分析】

首先根据E是AC的中点得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．【题目详解】∵E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵∠ADE＝∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．【题目点拨】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F，判定三角形的全等．9、A【解题分析】

众数能帮助鞋店老板了解进货时应该进哪种尺码的鞋最多；如果我是鞋店老板，我会对众数感兴趣，因为这种尺码的鞋子需求量最大，销售量最多，据此即可找到答案．【题目详解】解：根据题干分析可得：众数能帮助鞋店老板了解进货时应该进哪种尺码的鞋最多，因为这种尺码的鞋子需求量最大，销售量最多．故选A．【题目点拨】此题主要考查了中位数、众数、平均数、方差的意义；也考查了学生分析判断和预测的能力．10、B【解题分析】

根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断；根据平方根的定义对D进行判断【题目详解】A.=4，此项错误B.=2正确C.=3，此项错误D.=，此项错误故选B【题目点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握题目的定义是解题的关键二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【解题分析】

根据圆心角=360°×百分比计算即可；【题目详解】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1-10%-30%-20%-15%）=1°，故答案为1．【题目点拨】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．12、1．【解题分析】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．由平均数的公式得：（1+1+3+4+5）÷5=3，∴方差=[（1﹣3）1+（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（5﹣3）1]÷5=1．考点：方差．13、22.5【解题分析】

根据正方形的性质求出∠CAB=∠ACB=45°，再根据AC=AE求出∠ACE=67.5°，由此即可求出答案.【题目详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠DCB=90°，∵AC是对角线，∴∠CAB=∠ACB=45°，∵AC=AE,∴∠ACE=67.5°，∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，故答案为：22.5°.【题目点拨】此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，是一道较为基础的题型.14、38.8【解题分析】

根据图形可以写出两段解析式，即可求得自来水公司的收费数．【题目详解】将(10,18)代入y=ax得：10a=18，解得：a=1.8，故y=1.8x(x⩽10)将(10,18),(15,31)代入y=kx+b得：，解得：，故解析式为：y=2.6x−8(x>10)把x=18代入y=2.6x−8=38.8.故答案为38.8.【题目点拨】本题考查用一次函数解决实际问题，关键是应用一次函数的性质.15、9或10.1【解题分析】

根据等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，得出△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解方程求出k=2，则b+c=2k+1=1；当a为腰时，则b=4或c=4，然后把b或c的值代入计算求出k的值，再解方程进而求解即可．【题目详解】等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，若b和c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的两个实数根，则△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解得：k=2，则b+c=2k+1=1，△ABC的周长为4+1=9；当a为腰时，则b=4或c=4，若b或c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的根，则42-4（2k+1）+1（k-）=0，解得：k=，解方程x2-x+10=0，解得x=2.1或x=4，则△ABC的周长为：4+4+2.1=10.1．16、.【解题分析】

先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，然后和已知的解集比对，得到关于m的不等式，从而解答即可．【题目详解】在中，由（1）得，，由（2）得，，根据已知条件，不等式组解集是.根据“同大取大”原则.故答案为：.【题目点拨】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．17、40°【解题分析】

依据平行线的性质，即可得到，，进而得出，再根据进行计算即可．【题目详解】解：如图所示，，，，由折叠可得，，，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．18、两个角相等【解题分析】

交换原命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据命题的定义求解．【题目详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，题设是：两个角相等故答案为：两个角相等．【题目点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【解题分析】

（1）由矩形的性质和平行线的性质得出∠BAP=∠APN，由折叠的性质得：∠BAP=∠PAN，得出∠APN=∠PAN，即可得出NA=NP；（2）由矩形的性质得出CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，由折叠的性质得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，由勾股定理得出AE==5，求出DE=AE-AD=2，设DP=x，则PE=PC=4-x，在Rt△PDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）过点D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，则GH∥AF∥PE，证出△PDH是等边三角形，得出DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，证出DH=AH，得出AH=PH，由平行线分线段成比例定理得出，得出EG=FG，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DF即可．【题目详解】（1）证明；∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAP=∠APN，由折叠的性质得：∠BAP=∠PAN，∴∠APN=∠PAN，∴NA=NP；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，∴∠PDE=90°，由折叠的性质得：AF=AB=4，EF=CB=3，∠F=∠B=90°，PE=PC，∴AE==5，∴DE=AE-AD=2，设DP=x，则PE=PC=4-x，在Rt△PDE中，由勾股定理得：DP2+DE2=PE2，即x2+22=（4-x）2，解得：，即；（3）证明：过点D作GH∥AF，交EF于G，交AP于H，如图所示：则GH∥AF∥PE，∴∠PHD=∠NAH，∵∠PAD=30°，∴∠APD=90°-30°=60°，∠BAP=90°-30°=60°，∴∠PAN=∠BAP=60°，∴∠PHD=60°=∠APD，∴△PDH是等边三角形，∴DH=PH，∠ADH=∠PHD-∠PAD=30°=∠PAD，∴DH=AH，∴AH=PH，∵GH∥AF∥PE，∴，∴EG=FG，又∵GH⊥EF，∴DE=DF，∴△DEF是等腰三角形．【题目点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．20、（1）见解析；（2）①，，②，，见解析.【解题分析】

（1）由平行线的性质和角平分线的性质即可证明结论；（2）①由（1）题的思路可求得FG的长，再证明△BCG是等边三角形，从而得，过点作交延长线于点，在Rt△AFH中用勾股定理即可求出AF的长；②若使点恰好落在边上且为等腰三角形，易得F、G两点重合于点E，再结合（1）（2）的结论进行分析即可得到结论.【题目详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，.∴，又∵、是与的角平分线，∴，即∠AEB=90°，∴，∵，∴，又∵是的角平分线、∴，∴.同理可得.∴；（2）解：①由已知可得，、仍是与的角平分线且，，，，.如图，过点作交延长线于点.∵，，..∵，，，，，，.②，（类似答案均可）.若使点恰好落在边上，则易得F、G两点重合于点E，又由（1）（2）的结论知，，所以平行四边形的边应满足；若使点恰好落在边上且为等腰三角形，则EA=EB，所以∠EAB=∠EBA，又因为、仍是与的角平分线，所以∠CBA=∠BAD=90°，所以∠C=90°.【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的概念、平行线的性质、垂直的定义、等腰三角形和等边三角形的判定和性质、勾股定理和30°角的直角三角形的性质，考查的知识点多，综合性强，解题的关键是熟练掌握上述知识，弄清题意，理清思路，注重知识的前后联系.21、（1）见解析；（2）S△FEG＝.【解题分析】

（1）根据三角形的中位线定理求出FH∥DE，FG∥CE，根据平行四边形的判定求出即可；（2）根据中线分三角形的面积为相等的两部分求解即可．【题目详解】（1）证明：因为点F、G、H分别是CD、DE、CE的中点，所以，FH∥GE，FG∥EH，所以，四边形EHFG是平行四边形；（2）因为F为CD的中点，所以DF=CD=AB=2，因为G为DE的中点，所以，S△FDG＝S△FEG，所以，S△FEG＝S△EFD＝．【题目点拨】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，平行四边形的判定等知识点，能正确运用等底等高的三角形的面积相等进行计算是解此题的关键．22、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；

（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【题目详解】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC=90°，E是BC的中点，∴AE=CE=BC，∴四边形AECD是菱形（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC=13，∵，∴，∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，∴CD=CE，∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，∴．【题目点拨】本题考查了菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．23、（1）详见解析；（2）30°；（3）45°.【解题分析】

（1）利用面积法解决问题即可．（2）分别求出∠BAD，∠BAB′，∠DAD′即可解决问题．（3）如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．想办法证明E，H，G，C四点共圆，可得∠EGC＝∠EHC＝45°．【题目详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，∵AE＝AF，∴BC＝CD，∴平行四边形是菱形；（2）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝110°，∵AB∥CD，∴∠C+∠B＝180°，∴∠B＝∠D＝70°，∵AE⊥BC，AF⊥CD．∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF＝20°，由翻折变换的性质可知：∠BAB′＝2∠BAE＝40°，∠DAD′＝2∠DAF＝40°，∴∠B′AD′＝110°﹣80°＝30°．（3）解：如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，A