高考数学 三轮必考热点集中营 热点16三角函数的性质和解三角形问题（教师版）

【三年真题重温】1.【2011新课标全国理，11】设函数（，）的最小正周期为，且，则()A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增2.【2011新课标全国理，16】在△中，，，则的最大值为．3.【2011新课标全国文，15】中，，，，则的面积为．4,【2010新课标全国理，16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______.则故.5.【2010新课标全国文，16】在中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=_____.【答案】2+6、【2012新课标全国理】已知，函数在上单调递减,则的取值范围是（） 7、【2012新课标全国文】已知ω>0，0<φ<π，直线x=eq\f(π,4)和x=eq\f(5π,4)是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A）eq\f(π,4)（B）eq\f(π,3)（C）eq\f(π,2)（D）eq\f(3π,4)【命题意图猜想】1.纵观2011年和2010年两年高考，我们可以发现，每年均涉及到一道三角函数性质图像的题目和一道解三角形的题目，试题难度中档.2011年理科高考考查了三角函数的单调性、周期性和奇偶性，以解三角形为背景考查最值问题，难度稍大，而文科考查求解三角形面积；在2010年高考中以三角函数定义为背景考查三角函数的图像，以及解三角形问题，两道小题.在2012年高考中考查三角函数的图像和性质,解答题中考查了解三角形问题.按照命题的规律，如果小题中出现两道三角题目，解答题的第一道即为数列的大题，反之小题中出现数列的两道小题，则解答题中会出现一道三角试题.猜想2013年高考试题很可能以小题出现，可能出现一道三角函数图像和解三角形的题目,而解答题第一道会是数列大题.2.从近几年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．预测2013年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为主要考点，重点考查运算与恒等变换能力．3.从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测2013年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【最新考纲解读】1.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)．2.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．4．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．5．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．3.三角函数的单调区间：（1）上单调递增，在单调递减；（2）在上单调递减，在上单调递增；（3）在开区间内都是增函数.注意在整个定义域上不具有单调性.对与的单调区间的求解和上述类似.5.三角函数的周期性（1）正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2；正切函数的最小正周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期.（2）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.7.三角函数的对称性（1）正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；（2）余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线.注意:正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点.（3）正切函数是奇函数，对称中心是.注意：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处.9.求边问题（1）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（2）正弦定理的变式；（3）余弦定理:.变形式：；（4）利用面积公式：;（5）射影定理：.10.求三角形的面积问题三角形的面积公式：（1）＝aha＝bhb＝（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）＝＝＝；（3）＝（其中为三角形内切圆半径）,；（4）.(与向量的数量积联系)（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一.（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A、∠B、∠C成等差数列且成等比数列.（4）锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方；钝角角三角形三内角一个为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方.（5）三角形内常见的不等关系①;②锐角中,,;③钝角中，设为钝角，则,.12.三角函数的最值求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：（1），设化为一次函数在闭区间上的最值求之；【方法技巧提炼】1．如何判断函数的奇偶性根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.2.如何确定函数当时函数的单调性对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.4.余弦定理的重要应用三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由则.②联系重要不等式求范围：由，则当且仅当等号成立.③联系数量积的定义式妙转化：在中，由.5.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一.6.掌握三种类型，顺利求解三角最值三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：（1）可化为型函数值域：利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到的形式，然后借助题目中给定的的范围，确定的范围，最后利用的图象确定函数的值域.如：、等.(2)可化为型求函数的值域：首先借助三角公式，把函数化成型，然后采用换元法，即令，构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：、可转化为二次函数求值域；、可转化为对号函数求值域.(3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如，常转化为直线的斜率的几何含义求解.【考场经验分享】1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．4．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．5.利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.【新题预测演练】1.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】当时，函数取得最小值，则函数A．是奇函数且图像关于点对称B．是偶函数且图像关于点对称C．是奇函数且图像关于直线对称D．是偶函数且图像关于直线对称2.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】设函数，且其图象关于直线对称，则（）A.的最小正周期为，且在上为增函数B.的最小正周期为，且在上为减函数C.的最小正周期为，且在上为增函数D.的最小正周期为，且在上为减函数3.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】函数，是A周期为的奇函数 B.周期为的偶函数C,周期为的奇函数 D.周期为的偶函数4.【广东省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（）（A）（B）（C）（D）5.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单B．向右平移个单位C．向右平移个单D．向左平移个单位7.【安徽省2013届高三开年第一考】函数的部分图像如图所示，下列结论：①最小正周期为②将的图像向左平移个单位，所得到的函数是偶函数③④⑤其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①④⑤D．②③⑤8.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】在△ABC中，若，，则角C为A.B.或C.D.9.【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度左平移个单位长度，即可得到的图象，所以选D.10.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】函数的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是A.B.C.D._11.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）A． B．C． D．12.【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为(A)(B)(C)(D)13.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】已知方程在有两个不同的解（），则下面结论正确的是：A．B．C．D．14.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】直线与相交于点，动点、分别在直线与上且异于点，若与的夹角为，，则的外接圆的面积为 A. B. C. D.15.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】在中，若，那么一定是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定16.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】在中，内角所对的边分别为，其中，且面积为,则()A.B.C.D.17.【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=且sin2A+sin(A+C)=sinB，则△ABC的面积为.【答案】18.【2013安徽省省级示范高中名校高三联考】设△ABC的内角A、B,C的对边分别为a、b、c，且满足acosB－bcosA＝，则的值是＿＿＿＿【答案】4【解析】19.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】中，、、分别是角、、的对边，若，且，则的值为____________.20.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】在中角、、的对边分别是、、，若，则________．21.【天津耀华中学2013届高三年级第一次月考】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为；22.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】在中，，且，则此三角形为.【答案】等边三角形23.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】在中,若,则,.24.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知中，角A、B、C的对边分别是a,b,c,且，,则25.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】在ΔABC中，，，则__________。26.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】（本小题共12分）已知函数，是的导函数．（1）求函数的最小值及相应的值的集合；（2）若，求的值．27.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）已知函数，且在处的切线斜率为。（1）求a的值，并讨论在上的单调性；（2）设函数，，其中m>0，若对任意的总存在，使得成立，求m的取值范围①当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又，所以在上恒成立，即时成立……10分②当时，当时，，此时单调递减，，故时不成立，综上……12分28.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）已知函数的图象过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，.若，求的取值范围．29.【南京市四星