八年级数学上学期因式分解问题综合练习

因式分解问题综合练习

一、单选题

1.（2021•广东潮州•八年级期末）6x3y2-3x2/分解因式时，应提取的公因式是（）

A.3xyB.3x2yC.3x2y3D.3x2y2

【标准答案】D

【思路点拨】

分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次黑，即可确定公因式.

【精准解析】

解：6x3y2-3x2y3=3x2y2（2x-y）,

因此6x3y2-3x2y3的公因式是3x2y2.

故选D.

【名师指路】

本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系

数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最

低的.

2.（2021•广东龙华•八年级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（

）

A.a^x-y^=ax-ayB.x2-4x+3=x（x-4）+3

C.a2-b2=^a+b）^a-b）D.a2+1=+—j

【标准答案】C

【思路点拨】

根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解.

【精准解析】

解：A、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误；

B、是提公因式法，不是分解因式，故本选项错误；

C、右边是积的形式，故本选项正确.

D、没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，错误.

故选C.

【名师指路】

此题考查了因式分解的意义；这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判

断.

3.(2021•广东普宁•八年级期末)对于①(X+2)(X-1)=X2+X_2,@x-4xy=x(l-4y),

从左到右的变形，表述正确的是()

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

【标准答案】D

【思路点拨】

根据因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因

式判断即可.将多项式x多项式变得多项式，是乘法运算.

【精准解析】

解：①(X+2)(X-1)=Y+X_2,从左到右的变形是整式的乘法；@x-4xy=x(\-4y),

从左到右的变形是因式分解；

所以①是乘法运算，②因式分解.

故选：D.

【名师指路】

此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算

的定义.

4.(2021•广东•南山实验教育集团南海中学八年级期中)如果一个正整数可以表示为两

个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2=13-(-1)3,26=33-13,

2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为()

A.6858B.6860C.9260D.9262

【标准答案】B

【思路点拨】

根据“和谐数”的概念找出公式：(2%+1)3-(2&7)3=2(12公+1)(其中左为非负整数)，

然后再分析计算即可.

【精准解析】

解：(2什1)3-(2无-1)3

=[(2A+1)-(2&-1)][(2«+1>+(2&+1)(2)1-1)+(2A-I)2]

=2(12/+1)(其中々为非负整数)，

由2(12^+1)=2016得，k<9,

：.k=0,1,2,8,9,即得所有不超过2016的“和谐数”，

它们的和为壮-(-1)可+(33-13)+(53-33)+…+(173-153)+(193-173)=193+1=6860.

故选：B.

【名师指路】

本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是

解题的关键所在.

5.已知“，b,c是A4BC的三条边长，S.(a+h+c)(a-b)=O,则A4BC一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上均不对

【标准答案】A

【思路点拨】

利用因式分解法得到a+6+c=0或a-b=0,而a+b+c>0,所以a-b=0,BPa=b,从而可判

断AABC一定是等腰三角形.

【精准解析】

Q(a+b+c)(a-/?)=0,

:.a-^-b+c=0^a-b=0,

•••〃，b,C是A4BC的三条边长，

:.a+b+c>0,

:.a-b=0,即a=b,

...AA3C一定是等腰三角形.

故选：A.

【名师指路】

本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题.利用因式分解解决证明问题;

利用因式分解简化计算问题.

6.(2021•广东•红岭中学八年级期中)下列各式中，因式分解错误的是()

A.x2-xy=x(x-j)B.4必-1=(2x+l)(2x-1)

93

C.f+3乂+]=(x+—)2D.3X2+6X-1=3X(X+2)-1

【标准答案】D

【思路点拨】

根据因式分解的定义，提公因式法和公式法逐个判断即可.把一个多项式化成几个整式

乘积的形式，叫做因式分解.

【精准解析】

解：A.使用提取公因式法，因式分解正确，不符合题意；

B,使用平方差公式，因式分解正确，不符合题意；

C.使用完全平方公式，因式分解正确，不符合题意；

D.因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式，而这里是差的形式，因式分解

错误，符合题意.

故选：D.

【名师指路】

本题考查因式分解的定义，提取公因式法和公式法，熟练掌握以上知识点是解题关键.

7.（2021•广东•汕头市龙湖实验中学八年级期末）已知长方形的周长为16cm,它两邻

边长分别为xcm,jcm,且满足（x-»-2x+2y+l=0，则该长方形的面积为（）

cm2

6331

A.—B.—C.15D.16

42

【标准答案】A

【思路点拨】

先根据题意求出x+y=8,然后由（x_y）2_2x+2），+l=0可得x_y_l=O,由此求解即

可.

【精准解析】

解：：长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,ycm,

2（x+y）=16,

x+y=8①，

V（x-y）z-2x+2y+l=0,

A（x-y）2-2（x-.y）+l=O,

（x-^-l）2=0,

x-y-l=O②，

9

x=—7

联立①②解得7,

y=2

・・长方形的［HI1/i—xy=-x—=—,

故选A.

【名师指路】

本题主要考查了完全平方公式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关

知识进行求解.

8.(2020•广东•和平县和丰中学八年级月考)已知a=2012x+20U,b=2012x+2012,

c=2012x+2013,那么M+b2+c2—ab-be—ca的值等于()

A.0B.1C.2D.3

【标准答案】D

【思路点拨】

首先把"2+〃+/-必“c两两结合为“2-”〃+匕2bc+d2-ac,利用提取公因式法因

式分解，再把小仄C代入求值即可.

【精准解析】

cfl+^+c1-ab-be-ac

=a2-ab+b2-bc+c2-ac

—a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)

当a=2012x+2011,Z>=2012JC+2012,c=2012x+2013时，a-h=-1,b~c=—1,c—a=2,

原式=(2012x+2011)x(-1)+(2012x+2012)x(-1)+(2012x+2013)x2

=-2012x-2011-2012x-2012+2012xx2+2013x2

=3.

故选D.

【名师指路】

本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，

巧妙解答题目.

9.(2020•广东•玉龙学校一模)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么

称这个正整数为“神秘数如4=22-。2,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都

是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”()

A.56B.60C.62D.88

【标准答案】B

【思路点拨】

设这两个连续偶数分别2m、2m+2(m为自然数)，则“神秘数”=(2m+2)2-(2m)2=

(2m+2+2m)(2m+2-2m)^4(2m+l),因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”,

只需根据该数=4(2m+l)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合.

【精准解析】

解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2(m为自然数)，

，“神秘数”=(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+l),

13

A、若4(2m+l)=56,解得m=],错误

B、若4(2m+l)=60,解得m=7,正确；

29

C、若4(2m+l)=62,解得m=§,错误

4

21

D、若4(2m+l)=88,解得m=y,错误

故选：B.

【名师指路】

此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理

解是解题的关键.

10.(2021•广东•深圳实验学校八年级期中)24,-1能被60到70之间的某两个整数整

除，则这两个数是()

A.61和63B.63和65C.65和67D.64和67

【标准答案】B

【思路点拨】

248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(2'2+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)

(26-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)(23-1),即可求解.

【精准解析】

解：248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)解2+])(2一)

6

=(224+1)(212+1)(26+1)(2-1)

=(224+1)(212+])(26+|)(23+1)(23-1)

=(224+1)(2^+1)X65X63,

故选：B.

【名师指路】

此题考察多项式的因式分解，将248-1利用平方差公式因式分解得到(224+1)(2-2+1)

x65x63,即可得到答案

二、填空题

11.(2021•广东潮阳•九年级月考)已知m2+m-l=0,则m3+2m2+2014=

【标准答案】2015

【精准解析】

试题分析::m2+m-1=0,

m2+m=1,

.\m3+2m2+2014

=m(m2+m)+m2+2014

=m2+m+2014

=1+2014

=2015.

故答案为2015.

考点：因式分解的应用；代数式求值

12.(2021•广东普宁•一■模)若a+b=2,ab=-3,则代数式a%+2a%?+苏的值为

【标准答案】-12

【精准解析】

分析：对所求代数式进行因式分解，把a+b=2,ab=-3,代入即可求解.

详解：a+b=2,ah=-3,

a,b+2a2b2+ai>3=ab^a2+2ab+b2^=ab^a+b\=-3x22=-12.,

故答案为-12.

点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.

13.分解因式：a3h+2a2b2+ab3=.

【标准答案】ab(a+b)2.

【精准解析】

a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.

故答案为ab(a+b)2.

【名师指路】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.

14.(2021•广东高州•八年级期中)若多项式32-5X+2有一个因式为(x-1),那么

【标准答案】3

【思路点拨】

设另一个因式为。nr+〃)，则(，《%+〃)0-1)=，〃/+("-〃2)乂-",根据各项系数列式求出

m和n的值.

【精准解析】

解：假设另一个因式为,贝-5x+2=Qnx+〃)(x-l).

,\n-m=-5

(mx+n)(x-1)=mx'+(n-m)x-n,

\-n=2

故答案是：3.

【名师指路】

本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法.

15.(2021•广东高州•八年级期末)已知26-4+3=0,则(。-2加2一4"+昉=.

【标准答案】-3

【思路点拨】

先由题意将式子2b-a+3=0,进行变形，变成a-2b=3的形式，然后再将要求的式子化简，

使每一项都含有因式a-2b,再代入求值即可得出.

【精准解析】

2h-a+3=0,

a-2b=3,

：.(a-2h)2-4a+Sb=(a-2b)2-4(a-2/?)=32-4x3=-3

【名师指路】

本题考察了整式的化简求值，解题的关键是，要把整式化成含有公因式a-2b的形式，

再代入求值.

16.(2021•广东中山•八年级期末)已知a,6,c是A4BC的三条边的长度，且满足/

-b2=c(a-b),则AASC一定是_____三角形.

【标准答案】等腰

【思路点拨】

先把等式左边进行因式分解可化为3+6)(a-b)=c(a-b),移项提取公因式可得

(a-b)(a+b-c)=0,根据三角形三边之间的关系两边之和大于第三边，可得a-b

=0,即可得出答案.

【精准解析】

解：由J-炉=c(a-b),

(a+h)(a-b)=c(a-b),

(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,

(a-b)(a+b-c)=0,

；三角形两边之和大于第三边，即a+b>c,

a+b-c/0,

'.a-b=0,即a=/>,

即AABC一定是等腰三角形.

故答案为：等腰.

【名师指路】

本题主要考查了三角形三边之间的关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决

本题的关键.

17.(2021•广东•模拟预测)分解因式：a2b-18ab+Slb=.

【标准答案】以"-9)2.

【思路点拨】

先提取公因式，再用完全平方公式分解即可.

【精准解析】

解:a2b-1Sab+S1h,

=Z>(a2-18a+81)

=b(a-9)2.

故答案为：b(a-9)2

【名师指路】

本题考查了因式分解，解题关键是明确因式分解的顺序：先提取公因式，再用公式，并

能熟练运用相关知识分解；注意：因式分解要彻底.

18.(2021•广东南海•一模)在实数范围内分解因式：4xiy-2xyi=.

【标准答案】2xy(Mx+y)

【思路点拨】

根据因式分解的步骤，先提取公因式，然后再利用平方差公式进行因式分解.

【精准解析】

解:4x3y-2孙3

=2xy(2x2-y2)

=2xy(V2x+v)(&x-y).

故答案为：2xy(近x+y)(五*y).

【名师指路】

本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数

范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

11Q1

19.(2021•广东•中考真题)若x+—=”且0<x<l,则_____.

X6JT

【标准答案】一维

36

【思路点拨】

1171751

根据X+L=U，利用完全平方公式可得(X-L)2=g,根据X的取值范围可得X-上的

x6x36x

值，利用平方差公式即可得答案.

【精准解析】

..113

•Xd---=----,

x6

*e•(X--)2=(x+')2-4x--=-||,

xxx36

V0<x<l,

x<一,

X

故答案为：-或

【名师指路】

本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键.

2().已知关于x的多式2Y-5x+L的一个因式是x+3,则k的值是_.

【标准答案】-33

【思路点拨】

设另一个因式为(2x-”)，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解

即可；

【精准解析】

设另一个因式为(型-"),

贝(2x—n)(x+3)=2x2+(6-n)x—3n,

即2x"—5x+k—2x~+(6-3〃,

j6-n=-5

"[k=-3n，

\n=W

解得z-，

[K=-33

故答案为：-33.

【名师指路】

本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键.

三、解答题

21.(2021•广东•红岭中学八年级期中)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式

法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如必-2孙+V-16,我们细心观

察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应

用平方差公式进行分解.过程如下：x2-2xy+y2-16=(x-j)2—16=(x-y+4)(x

-J-4)

这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题：

(1)9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；

(2)已知a、b、c分别是AA8C三边的长且2a2+62+c2-2a(He)=0,请判断AABC

的形状，并说明理由.

【标准答案】(1)(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n);(2)AABC的形状是等边三

角形.

【思路点拨】

(1)认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方

公式后再整体运用平方差公式进行分解.

(2)等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非

负数的性质求出a、b、c的关系即可.

【精准解析】

(1)9a2+4炉-25加2-〃+12ah+1Omn

=(9a2+l2ab+4b2)-(25m2-\0mn+n2')

=(3a+2b)2-(5m-n)2

=(3a+2h+5m-n)(3a+2b-5m+n)

(2)|t|2a2+b2+c2-2a(b+c)=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac-0

(a2-lab+h1)+(a2-2ac+c2)=0,(a-b)2+(a-c)2=0

根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于。才成立，于是：a-氏0,a-c=0,所以

可以得到a=b=c.

即：AA8C的形状是等边三角形.

【名师指路】

本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，

综合运用因式分解的几种方法是重难点.

22.“、b、c是AMC的三边，且有"2+匕2=4a+10%—29

(1)求6的值

(2)若，为整数，求c•的值

(3)若是等腰三角形，求这个三角形的周长

【标准答案】⑴a=2,b=5;(2)c=4或c=5或c=6;(3)12

【思路点拨】

(1)由a2+b2=4a+10b—29,可得：(a-2)2+(b-5)2=0,利用非负数的性质求解a,b;

(2)再利用三角形三边的关系得到c的取值范围；

(3)分两种情况讨论，当a=2为腰时，当b=5为腰时，再结合三角形的三边的关系，

确定三角形的三边，从而可得答案.

【精准解析】

解：(1)a2+h2=4a+Wb-29

R2-4a+4)+W-100+25)=0

(a-2)2+(/?-5)2=0

a=2,b=5

(2):。、b、c是AABC的三边

3<c<7

又・.・c为整数

c=4,c=5,c=6

(3)・.・”IBC是等腰三角形，a=2、b=5

根据三边关系可知，只有当c=5时三角形才为等腰三角形，

c=5

/.C^ABC=2+5+5=12

故周长为：12

【名师指路】

本题考查的是完全平方式的变形，非负数的性质，因式分解，三角形三边之间的关系，

等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键.

23.(2021•广东高州•八年级期中)第一步：阅读材料，掌握知识.

要把多项式+历〃+配分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因

式明再把它的后两项分成一组，提出公因式。，从而得：am+an+bm+bn=a(in+

n)+h(m+n).这时，由于a(,〃+/?)+",〃+")中又有公因式("?+〃)，于是可提出(，"+"),

从而得到(，"+n)(a+b),因此有：am+an+bn+bn=(am+即)+(bm+bn)=a(m+n)

+b(m+n)=(m+n)(a+h).这种方法称为分组法.

第二步：理解知识，尝试填空.

(1)ah—ac+bc—b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b—c)—b(b—c)=.

第三步：应用知识，解决问题.

(2)因式分解：*2,一4y—2，+8.

第四步：提炼思想，拓展应用.

(3)已知三角形的三边长分别是a、b、c,且满足a2+2"+c2=2A(a+c),试判断这个

三角形的形状，并说明理由.

【标准答案】⑴(b-c)(a-b);(2)(y-2)(x+2)(x-2);(3)这个三角形

为等边三角形，理由见解析.

【思路点拨】

(1)提取b-c即可；

(2)先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；

(3)移项后分解因式，可得出a=b=c,则可得出答案.

【精准解析】

解：(1)a(b-c)-b(b-c)

=(b-c)(a-b).

故答案为：(b-c)(a-b);

(2)x2y-4y-2x2+8

=(x2y-4y)-(2x2-8)

=y(x2-4)-2(x2-4)

=(y-2)(x2-4)

=(y-2)(x+2)(x-2);

(3)这个三角形为等边三角形.

理由如下：

Va2+2b2+c2=2b(a+c),

,a2+2b2+c2-2ba-2bc=0,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0,

(a-b)2+(b-c)2=0,

■:(a-b)2>0,(b-c)2>0,

a-b=0,b-c=0,

a=b=c,

这个三角形是等边三角形.

【名师指路】

本题考查分组因式分解，等边三角形的定义.能理解题意，掌握分组分解法是解题关键.

24.(2021•广东•深圳中学八年级期中)因式分解：

(1)15a3+10a2

(2)iax2+6axy+3ay2

(3)(2x+y)2-(x+2y)2

【标准答案】⑴5。2(3a+2)；(2)3a(x+y)2；(3)3(x+y)(x-y)

【思路点拨】

(1)原式提取公因式即可；

(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(3)原式利用平方差公式分解即可.

【精准解析】

(1)原式=5解(3a+2);

(2)原式=3“(N+Zxy+y2)

=3。(x+y)2;

(3)原式=(2x+y+x+2y)(,2x+y-x-2y)

=3(x+y)(x-y).

【名师指路】

本题考查了多项式的因式分解，具体考查了提公因式法和公式法，对于多项式的因式分

解，首先考虑是否有公因式可提，然后再考虑是否能用公式法，要注意：因式分解必须

分解到再也不能分解为止，此外，完全平方公式和平方差公式不要用错.

25.因为(x+l)(x-2)=f_x-2,所以x-2)?(x2)=I,我们称之为f-x-2能

被、-2整除，得到X+1.回答下面问题，

(1)填空，+x-6)?(X3)=.

(2)多项式A=V+加+配-75,同时A能被犬-3整除，得到一个完全平方式(x+厅，

求a+6的值.

(3)设多项式8=■?+,加+nx+,",女为整数)，且有一18=(X-4)(x+3),求

X+K

&值.

【标准答案】⑴x-2；(2)2;(3)%=—5或无=6.

【思路点拨】

(1)将V+x-6=(x+3)(x-2)十字相乘公式因式分解即可求解；

(2)利用整除的定义表示A,利用•？+o?+for-75=(x-3)(x+,)2可求；

(3)利用———+18=(x-4)(x+3)表示B,

x+k

利用犬+"Y+nx+mn=(x-4)(x+3)(x+k)-18(x+&)可求.

【精准解析】

解(1)Qx2+x-6=(x+3)(x-2),

\(x2+x-6)?(x3)=(x+3)(x-2)?(x3)=x-2;

故答案为：*-2；

(2)由题意可得，

A=(x-3)(x+r)2=(x-3)(x2+2u+t2)=x3+(2/-3*+(产-6f)x-3r,

又QA=x1+ar2+hx-75,

\JC3+ar2+hx-75=jr3+(2t-3)x2+(产-6t)x-3产,

\a=2/-3,b=t1-6r,-75=-3r2,

:.a=l,*=-5,t=5,

\a+b=7-5=2；

(3)v-^-+18=(x-4)(x+3),

x+k

\B=(x-4)(x+3)(x+k)-18(x+2)=»?+(k-l)x2-(k+30)x-30k,

又Q8=x3+mx2+nx+nw,

\x3+(hl)x2-(A+30)x-30k=x3+mx2+nx+rnn,

\k-1=7M,-(%+30)=ny-30左=tnn,

\-30k=■伏-1)(2+30),

解得%=—5或，=6.

【名师指路】

本题考查了以整除为背景因式分解的应用，解题的关键是：能够合理的运用因式分解.

26.(2021•广东连州•八年级期中)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分

解因式：

甲：x2+2ax-3a2

=x2+2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-4砂(分成两组)

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3a)(x-a)(平方差公式)

乙：a2-b2-c2+2bc

=a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)

=a2-(b-c)2(直接运用公式)

=(a+b-c)(a-b+c)(再用平方差公式)

请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：

(1)x2-4x+3

(2)好-2盯-9+V

(3)X2+2XJ+J2-6X-6J+9

【标准答案】(1)(x-l)(x-3);(2)(x-y+3)(x-y-3);⑶(x+y-3「

【思路点拨】

(1)先根据完全平方公式进行变形，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差

公式分解因式即可；

(2)先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可；

(3)先分组，再根据完全平方公式分解因式即可.

【精准解析】

解：⑴x2-4x+3

=x2-4x+4-4+3

=(x—2)2-1

=(x-2+l)(x-2-l)

=(x-l)(x-3);

(2)x2-2xy-9+y2

=x2-2xy+y2-9

=(x-y)2-32

=(x—y+3/x-y-3);

(3)x2+2xy4-y2-6x-6y+9

=(1+y)2-6(x+y)+9

=(x+y-3)2.

【名师指路】

本题考查了因式分解-分组分解法，完全平方公式和平方差公式等知识点，注意：

]2+2〃。+。2=(〃+〃)2,a2_2"+按=3/)2,02一加二3+份3力

4

27.(2021广东高州•八年级期中)利用因式分解进行计算：9小+12外+4y2,其中x

1

>,=~2•

【标准答案】(3升2y)19.

【思路点拨】

先根据完全平方公式分解因式，再代入求出即可.

【精准解析】

解：9x2+12^+4/

=(3x)2+2.3x.2y+(2>>)2

=(3x+2y)2,

4i

当x=5,y=”时，

原式干铝代)]

=(4-以=(4-1)2

=9

【名师指路】

本题考查了分解因式和代数式的化简求值，能根据公式正确分解因式是解此题的关键.

28.(2021•广东•佛山市华英学校八年级期中)某老师在讲因式分解时，为了提高同学

们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式12-4x+2)(/-4X+6)+4

进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：

解：设x2-4x=y.

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=V+8y+16(第二步)

=(J+4)2(第三步)

=(i-4x+4)2(第四步)

根据以上解答过程回答以下问题：

(1)该同学第二步到第三步的变形运用了—(填选项)；

A.提取公因式法

B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式

D.两数差的完全平方公式

(2)第四步的结果继续因式分解得到结果为—；

(3)请你模仿以上方法对多项式(X2+6X)(F+6X+10)+25进行因式分解.

【标准答案】⑴C；(2)(x-2)管(3)(X+1)2(X+5)2.

【思路点拨】

(1)利用完全平方公式判断即可；

(2)检查第四步结果，利用完全平方公式分解即可；

(3)仿照阅读材料中的方法将原式分解即可.

【精准解析】

(1)该同学第二步到第三步的变形运用了完全平方公式，

故选：C;

(2)第四步的结果还能继续因式分解，直接写出结果(x-2尸；

故答案为：(x-2尸；

(3)设N+6x=y,

原式=y(y+10)+25

=卢10丫+25

=。+5)2

=(/+6X+5)2.

=(X+l)2(x+5)2.

【名师指路】

本题考查了因式分解-运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

29.(2021•广东三水•八年级期末)阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种

思想方法:下面是某同学对多项式(，+2x)(x2+2x+2)+l进行因式分解的过程.将“7+2x”

看成一个整体，令7+2x=y,则原式=，+2y+l=(y+1)2再将“y”还原即可.

解：设

原式=y(j+2)+1(第一步)

=y2+2y+i(第二步)

=。+1)2(第三步)

=(d+2x+l)2(第四步).

问题：

(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；

②请你模仿以上方法尝试对多项式(炉-4外(x2-4x+8)+16进行因式分解；

(2)请你模仿以上方法尝试计算：

(1-2-3-…-2021)x(2+3+…+2022)-(1-2-3-...-2022)x(2+3+...+2021).

【标准答案】(1)①没有，(x+1)4;②(厂2)4；(2)2022

【思路点拨】

(1)①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用