一节向量组与矩阵秩

第三章线性方程组

矩阵的秩

(概念及求法)一、矩阵秩的概念矩阵的秩行阶梯形矩阵的特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．例1解例2解例3解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法经有限次初等行变换矩阵的秩不变．初等变换求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.例5解分析：三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);n维向量（概念、表示方法、向量空间）定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量二、维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系三、向量空间空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应叫做维向量空间．

时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间中的维超平面．

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量

维向量的实际意义课堂讨论在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明．２．向量的表示方法：行向量与列向量；３．向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；４．向量在生产实践与科学研究中的广泛应用．四、小结１．维向量的概念，实向量、复向量；若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．思考题如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．思考题解答答

36维的．向量组的线性相关性向量向量组与矩阵线性相关性的概念线性相关性的判定

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一、向量、向量组与矩阵向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义１线性组合

向量能由向量组线性表示．定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．从而注意定义３二、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有三、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用结论定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）解例１解例２分析证定理3证明说明说明１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；

２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结思考题证明（１）、（２）略．充分性（３）必要性思考题解答向量组的秩最大线性无关向量组矩阵与向量组秩的关系定义１最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组定理１二、矩阵与向量组秩的关系结论说明事实上１．最大线性无关向量组的概念：