离散型随机变量及其分布列,高考历年真题

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【考点34】离散型随机变量及其分布列

2009年考题

1、（2009广东高考）已知离散型随机变量X的分布列如右表.

若EX=0,DX=1»则a=,b=.

【解析】由题知a+/?+c=U,-a+c+—=0,

126

I123xa+l2xc+22x-=1,解得ab.

12124

答案：a-—,b

124

2、（2009上海高考）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量J

表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望（结果用最简分数表示）.

C2inr'r'in

【解析】4可取0,1,2,因此P（g=0）=-4=—,P（J=1）=二^=一，

C；21C；21

P（A2）=W=LE>OA+1XW+2XL±

Cy212121217

4

答案：-

7

3、（2009山东高考）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球

得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在

A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为q2,该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用J表

示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

02345

P0.03P1P2P3P4

（1）求q2的值;

（2）求随机变量占的数学期望EJ;

（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

【解析】（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立，且

P(A尸0.25,P(A)=0.75,P(B)=q2,P(B)=1一%.

根据分布列知：4=0时万历=P(1)P(历尸(万)=0.75(1-%)2=0.03,所以1一名=02,q2=0.8.

(2)当g=2时,P尸P(ABB+~ABB)=P(ABB)+P(ABB)

=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)=0.75q2(l-^2)x2=L5q2(1-q2)=0.24

当］=3时,P2=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.25(1—％了=0.01,

当自=4时,P3=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=O.75%2=0.48,

当g=5时,P4=P(ABB+AB)=P(ABB)+P(A5)

=P(A)尸(历尸(B)+P(A)P(B)=0.25%(1-%)+0.25^=0.24

所以随机变量二的分布列为

02345

P0.030.240.010.480.24

随机变量J的数学期望=0x0.03+2x0.24+3x0.01+4x0.48+5x0.24=3.63

(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB+BBB+BB)

22

=P(BBB)+P(BBB)+P(BB)=2(1-^2)?2+^2=0.896;

该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

4、(2009天津高考)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3

件，求：

(I)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

(II)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

【解析】(I)由于从10件产品中任取3件的结果为从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等

品的结果数为C；C；"，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=

室二k=0,l,2,3.

Cio

所以随机变量X的分布列是

X0123

1

P7217

244040120

79171Q

X的数学期望EX=Ox—+lx—+2x—+3x—=—

24404012010

(II)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”

为事件Ai“恰好取出2件一等品“为事件A2,”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A”A2,

C3C3371

A3彼此互斥，且A=AiUA?UA3而P(A)=^-,P(A2)=P(X=2)=^,P(A3)=P(X=3)=

120

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(AI)+P(A2)+P(A3)=

37,131

——+——+---=---

4040120120

5、(2009浙江高考)在1,2,3,…，9这9个自然数中，任取3个数.

(I)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

(II)设J为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数

1,2和2,3,此时J的值是2).求随机变量J的分布列及其数学期望

c'c210

【解析】(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A,则P(A)=匕;

C；21

(II)随机变量二的取值为0,1,24的分布列为

012

5]_1

P

n212

所以J的数学期望为EJ=0x^5+lx：1+2x=1=j2

6、(2009辽宁高考)

某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为-o该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积

3

之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。

(I)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；

(II)若目标被击中2次，Z表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求尸(A)

【解析】(I)依题意X的分列为

x0|「厂34

16；32।248f

81I8?；81而si............6分

(II)设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分"，i=l,2.

B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分"，i=l,2.

依题意知P(At)=P(Bi)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,A=AlBiuAiBlU4瓦UA2B2,

所求的概率为P(A)=P(4瓦)+)+P(A0P+尸⑷坊)

P(4瓦)+p(A)m)+P(4)尸(即+尸(4)尸(员)

0.1x0.9+0.9x0.1+0.1x0.1+0.3x0.3=0.28......12分

7、(2009福建高考)从集合｛1,2,3,4,5｝的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率;

（2）记所取出的非空子集的元素个数为求J的分布列和数学期望

【解析】（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

基本事件总数n=C；+C；++C；+=31

事件A包含的基本事件是｛1,4,5｝、｛2,3,5｝、｛1,2,3,4｝

事件A包含的基本事件数m=3

所以/?（A）=———

n31

（II）依题意，4的所有可能取值为1,2,3,4,5

C15C21()C31()

又p("l)=g=2_,pC=2)=JJ,PC=3)=%=」

313131313131

r45C51

故J的分布列为:

&12345

P5101051

3?31313131

51010,5180

■而EA=1x---F2x---1-3x---F4x---F5x—=—

313131313131

8、（2009安徽高考）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.

B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感

染的概率都是L.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是在这种假定之下，B、C、D中直接

23•■

受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）.

【解析】随机变量X的分布列是

X123

1£

P

326

X的均值为EX=1X』+2XL+3XL=11

3266

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1：

6

①②③④⑤@

A-B

A—B—C—DA—B—CA—B—CA—B—DA—C—D馆

LDLDLB

在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下,

A直接感染了三个人。

9、（2009全国I）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假

设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙

各胜1局。

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II）设岁表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求自得分布列及数学期望。

【解析】（1）记A,表示事件：第，局甲获胜，i=3,4,5;与表示事件：第，局乙获胜，）=3,4

B表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，

甲获胜2局，从而8=44+吗444+444，由于各局比赛结果相互独立，

5

故尸（8）=/（441）+P（鸟44）+「（4844）

=p（A）p（4）+P（4）P（A4）P（A）+P（A）P（84）P（A）

=0.6x0.6+0.4x0.6x0.6+0.6x0.4x0.6=0.648

（2）自的取值可以为2,3,由于各局比赛结果相互独立，

故PG=2）=p（44+冬4）=尸（44）+口冬与）=

PWP（AJ+P（B3）P（BJ

=0.6x0.6+0.4x0.4=0.52

p（g=3）=1-尸4=2）=1-0.52=0.48

所以随机变量J的分布列为

423

P0.520.48

随机变量J的数学期望Eq=2P/=2)+3P(&=3)=2x0.52+3x0.48=2.48

10、（2009北京高考）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇

到红灯的概率都是工，遇到红灯时停留的时间都是2min.

3

（I）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（n）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间g的分布列及期望.

【解析】（I）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件

“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，

所以事件A的概率为P⑷=（1-/11一"，=土

（n）由题意，可得J可能取的值为0,2,4,6,8（单位："?加）.事件“g=2左”等价于事件“该学

生在路上遇到k次红灯”（攵=0,1,2,3,4）,

•."(she凯|「(女=0,1,2,3,4),

/.即&的分布列是

402468

p1632881

8?8?278181

.•"的期望是塔=0x米+2x等+4x塔+6x条+8x小=乐

O1O1Z/O1O1J

11、（2009湖北高考）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒

子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上

面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y,记随机变量〃=x+y,求〃的分布列

和数学期望。

【解析】依题意，可分别取〃=5、6、…•11取，则有

11?3

P(n=5)=——=—=6)=77，P(7=7)=—

4x4161616

4321

pin=8)=—,p⑦=9)=­,p(7=10)=—,/>(7=11)=—

lolololo

rj的分布列为

77567891011

p1234321

16161616161616

lu1.234321

En=5x+6x+7x+8x+9x+10x+1lx=8.

16161616161616

12、(2009湖南高考)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和

产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.J、现在3名工人独立地从中任

236

选一个项目参与建设。

(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(II)记4为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求J的分布列及数

学期望。

【解析】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件4,瓦,6,i=i,

2,3.由题意知AA2A3相互独立，片与坊相互独立，GC2G相互独立，4,8j，G(i，j，k=L2,3,

且i,j,k互不相同)相互独立，且P(A)=',P(5,)=-,P(C,)=-

'213'6

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3!P(4&C3)=6P(4)P(8,)P(C3)=6x,x■x-=-

2366

|)，且4=3-〃.

⑵方法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为〃，由已知，Z/-B(3,

.1a2

所以P(J=0)=P(〃=3)=C；P(J=1)=P(?7=2)=C；(-)3

9

I24

P(J=2)=P(7=1)=C；(-)(—)2=—P(J=3)=P(77=0)=Cf

故J的分布是

40123

p1248

279927

।248

4的数学期望Ej=0x——+lx-+2x-+3x——=2

279927

方法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件O,,

i=l,2,3,由此已知，DyD2,£>3相互独立，且

1]?

P(2)=P(A.+C.)=P(A)+P(C.)=—+-=-

''111263

221

所以久-6(3,§),既PC=K)=Cf(-)3-K,k=0,1,2,3.

故J的分布列是

0123

P1248

279927

13、(2009江西高考)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业

方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是!.若某人获得两个“支持”，则给予10万元

2

的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令J表示该公

司的资助总额.

(1)写出J的分布列；

(2)求数学期望

【解析】(1)」的所有取值为0,5,10,15,20,25,30

P-=0)=占P恁=5)=二.("IO)*p.=15)4

64326416

P《=20)=£PC=25)=3p&=30)=上

643264

31551531

(2)£4=5x—+10x—+15x—+20x—+25x—+30x—=15.

326416643264

14、(2009陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用4表示，楣统计，随机变量二的概率分

布如下：

40123

P0.10.32aa

(I)求a的值和J的数学期望；

(II)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次

的概率。

【解析】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=l,解答a=0.2

片的概率分布为

百0123

P0.10.30.40.2

垮=0x0.1+1x0.3+2x04+3x0.2=1.7

(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件4表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被

投诉0次”；事件&表示“两个月内每月均被投诉1次”

则由事件的独立性得

P(AJ=C'1P(&=0)=2x0.4x0.1=0.08

P(4)=[PG=I)]2=0.32=0.09

・•.P(A)=P(A)+尸(4)=0.08+0.09=0.17

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

15、(2009四川高考)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省

外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一

个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中三是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有上持金

43

卡，在省内游客中有士2持银卡。

3

(I)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量求J的分布列及数学期

望砧。

【解析】(I)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡.设事

件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件4为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件A?为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

I1I92736

P(B)=P(A)+P(A)=--1---=—

C36C363417085

QA

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是翌。

85

........................................................................................6分

(II)J的可能取值为0,1,2,3

32

玖”。)—c」1，P(4=l)=c^'c"=3，

C；84C；14

C2cl15C3IS

P(g=2)=」^=上产e=3)=4=2

C；28Cl21

所以€的分布列为

0123

P13155

84142821

=0x—+lx—+2x—+3XA=2,...............................12分

84142821

16、(2009重庆高考)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活

21

率分别为士和上，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中：

32

(I)两种大树各成活1株的概率；

(H)成活的株数J的分布列与期望.

【解析】设A,表示甲种大树成活k株，k=0,1,2

8,表示乙种大树成活/株，/=0,1,2

则劣,4独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有

7111

P(4)=C3(W产，口与)=。匕(名(2产•

据此算得

144

尸(4)=不,m)=-，m)=T-

777

P回)=；,P(B,)=1,P(BJ=5•

412

>

(I)所求概率为P(Al»Bl)=P(Al)»f(Bl)=-x-=-.

(II)方法一：J的所有可能值为0,1,2,3,4,且

PG=O)=P(4・5°)=P(4)・P(BO)=：X；=E,

94Jo

P(^=l)=P(4*B.)+m*fio)=|x|+|xl=l,

114141

P(^=2)=P(4*B2)+P(A^,)+^(4.50)=-x-+-x-+-x-

=竺

~36，

41411

P(^=3)=P(A*B2)+m.S,)=-x-+-x-=-.

411

P(^=4)=P(A.52)=-X-=-.

综上知自有分布列

01234

P1/361/613/361/31/9

从而，J的期望为

~1,1c13cl,17

E<f=Ox-----Fix—+2x-----F3X—+4x—=—

36636393

方法二：分布列的求法同上

令。，$分别表示甲乙两种树成活的株数，则

2|

B(2《)，3B⑵J)

O乙

241

故有玷=2x鼻二，砧2=2x^=1

oo乙

7

从而知EJ=EJi+5多=§

2008年考题

1、(2008山东高考)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一

分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为42，乙队中3人答对的概率分别为2之，2之二1且各人正确

3332

与否相互之间没有影响.用J表示甲队的总得分.

(I)求随机变量J分布列和数学期望；

(II)用4表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用3表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一

事件，求尸(N8).

【解析】(I)解法一：由题意知，J的可能取值为0,1,2,3,且

9179?

=0)=CfX(1--)3=—,=1)=X-X(1--)2=-,

P©=2)=C；X($2x(1-=[,尸C=3)=C；X(|)3=A.

所以自的分布列为

J0123

1248

p

279927

1248

J的数学期望为E^=Ox—+lx-+2x-+3x—=2.

279927

2

解法二：根据题设可知J〜8(3,§)

702k

P/=k)=C；x(-)*x(l--)2-k=C；x手,k=0,1,2,3.

22

因为g〜所以若=3x§=2

（II）方法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用。表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以

N3=CUO,且C、O互斥，又

…、八2,2、2八2、「21112111110

P(C)=Qx(-)-x(l--)x[-x-x-+-x-x-+-x-x-]=-.

P(0=随x6x—等

由互斥事件的概率公式得

1043434

P（A8）=P（C）+P（°）=三+3=3=诟

方法二:用Ak表示“甲队得A分”这一事件，用蜃表示“已队得R分”这一事件,仁0,1,2己由于事件

为互斥事件，故事件

P(AB)=P(A3BUUA2Bl)=P(A3Btt)+P(A2Bl).

34

243

2、（2008广东高考）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三

等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件

次品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为久

（1）求自的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即J的数学期望）;

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为设，一等品率提高为70%.如果此时要求1件

产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【解析】J的所有可能取值有6,2,1,-2;P©=6）=筮=0.63,2（彳=2）=：*=0.25

PC=］）=22_=0.1,p©=—2）=4=0.02

,200200

故J的分布列为：

621-2

P0.630.250.10.02

(2)E&=6x0.63+2x0.25+1x0.1+(-2)x0.02=4.34

（3）设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为

E(x)=6x0.7+2x(1-0.7—0.01—x)+x+(-2)x0.01=4.76-x(0<x<0.29)

依题意，E(x)>4.73,即4.76-尤24.73,解得xW0.03所以三等品率最多为3%

3、(2008海南宁夏高考)A,8两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和

X2的分布列分别为

X\5%10%

0.80.2X]2%8%12%

P0.20.50.3

(I)在48两个项目上各投资100万元，■和匕分别表示投资项目”和8所获得的利润，求方差OH，

DY2；

(II)将x(O4xK100)万元投资4项目，100-x万元投资8项目，/(x)表示投资N项目所得利润的

方差与投资8项目所得利润的方差的和.求/(x)的最小值，并指出x为何值时，/(x)取到最小值.(注:

D(aX+b)=a2DX)

【解析】(I)由题设可知乂和X的分布列分别为

510

P0.80.22812

EY,=5x0.8+10x0.2=6,P0.20.50.3

0yl=(5—6)2*0.8+(10—6)~0.2=4,

◎=2x0.2+8x0.5+12x0.3=8,

。均=(2-8)2x0.2+(8-8)2x0.5+(12-8>x0.3=12.

100—x

丫

(II)/(%)=£>+D2DY2

1007

=^y[x2+3(100-x)2]=(4x2-600x+3X1002),

当》=更2=75时，/(x)=3为最小值.

2x4

4、(2008全国H)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费。元，若投保人在购买保险的一

年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人

是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999",.

(I)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位

投保人应交纳的最低保费(单位：元).

【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是P，记投保的10000人中出险的人数为4，则

…(103p).

(I)记4表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则又发生当且仅当4=0,

P(A)=1-P(A)=1-=0)=1-(1-p)'°4,又P(A)=1—0.999“，故p=0.001.

(n)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.

支出10000^+50000,

盈利7/=10000a-(10000^+50000),

盈利的期望为£7=100004-10000E^-50000,

由4~6(1。4,10一3)知，=10000x10-3,

£?7=104a-104£^-5xl04=104a-104xl04xl0-3-5xl04.

助N0=10%—1。20-5x1(/2o

oa—10—520。“215(元).

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

5、(2008北京高考)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,。四个不同的岗位服务，每个岗

位至少有一名志愿者.

(I)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(II)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

(m)设随机变量二为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求j的分布列.

1

【解析】(I)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件当，那么P(怎)=丁4=一，

C5A440

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

40

A41

(H)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)=—y=—，

CM10

—9

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=—.

(HI)随机变量J可能取的值为1,2.事件”=2”是指有两人同时参加A岗位服务,

「2.3i

则P（J=2）=^^=L.

C；A：4

3

所以PC=l）=l—P（e=2）=—,J的分布列是

412

3]_

p

44

6、（2008四川高考）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,

且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（I）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（H）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（III）记&表示