新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 三角函数的图象与性质（分层精练）（解析版）

第05讲三角函数的图象与性质(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【详解】的最小正周期，最大值为．故选：D.2．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）函数图象的对称轴方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，解得：，的对称轴方程为.故选：C.3．（2023·江苏·统考一模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题得：，故，而，所以.故选：B.4．（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）函数和都是增函数的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数和在上的图像如图所示，则由图像可知C选项符合题意，故选：C.5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是函数图象的对称轴，所以，则又因为，所以.令，得，所以函数图象的一个对称中心为.故选：A.6．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知，下列命題中错误的是（

）A．函数的图象关于直线对称；B．函数在上为严格增函数；C．函数的图象关于点对称；D．函数在上的值域是.【答案】C【详解】对于A，因为为最小值，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，因为，所以，所以函数在上为严格增函数，故B正确；对于C，因为，所以点不是函数的对称中心，故C错误；对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：C.7．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）已知函数，则（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数【答案】C【详解】，，A错误；，B错误；，所以是奇函数，C正确；，所以不是偶函数，D错误．故选:C.8．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）设函数的图象关于原点对称，且相邻两对称轴之间的距离为，则函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵的图象关于原点对称∴，即又∵的相邻两个对称轴之间距离为，∴，即故，∴根据正弦函数的单调性可得：∴.故选：A二、多选题9．（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．B．是图象的一条对称轴C．的最小正周期为D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称【答案】ACD【详解】对选项A，，故A正确；，故B错误；对选项C，，C正确；将的图象向左平移个单位后得，定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，D正确.故选：ACD10．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）关于函数，则下列命题正确的是（

）A．函数的最大值为2B．是函数的图象的一条对称轴C．点是函数的图象的一个对称中心D．在区间上单调递增【答案】AC【详解】因为，对A，由可得函数的最大值为2，故A对；对B，，故B错；对C，，故C对；对D，，在上单调递减，故在区间上单调递减，错.故选：AC.三、填空题11．（2023·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，____________．①最小正周期为；

②在上单调递增；

③成立．【答案】（答案不唯一）【详解】设，，因为，所以所以，不妨设因为最小正周期为，所以因为在上单调递增，所以所以，当时，，不妨设所以满足条件之一的．故答案为：.12．（2023·贵州铜仁·统考二模）若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________．【答案】【详解】由题意，函数，因为，可得，要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足，解得，所以的取值范围为．故答案为：四、解答题13．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）已知函数，．(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，(2)最大值是，最小值是－1【详解】（1），令，解得，，所以函数的单调递增区间为，．（2）由已知，可得．根据正弦函数的图象可得，当，即时，单调递增；当，即，单调递减．又，，，所以，，所以函数在区间上的最大值是，最小值是－1．14．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数，，若，的最小值为(1)求在区间上的值域；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知：，因为，的最小值为，所以，又，所以，所以.因为，所以，所以，所以在区间上的值域为.（2）因为，，所以，因为，所以，又，所以，所以.令，则且，则，所以.15．（2023春·广东广州·高一广州市第五中学校考开学考试）已知函数．(1)求函数的周期和对称中心；(2)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；【答案】(1)周期为，对称中心为(2)4【详解】（1）由题意得：，令，得．可得函数的周期为，对称中心为．（2）因为，所以，所以，所以当时，的最小值为1；当，的最大值为2，所以．由题意得，，所以对一切恒成立，所以，解得，所以整数m的最大值为4．B能力提升1．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数，因为，可得，所以函数，即，又因为在区间上总存在唯一确定的，使得，即在区间上总存在唯一确定的，使得，因为，则，结合三角函数的性质，可得，解得，所以实数的最小值为.故选：D.2．（2023春·广东佛山·高一佛山市第三中学校考阶段练习）已知函数，在上恰好有7个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，令，，，由题意在上恰有个零点，即在上恰有个不相等的实根，即，或，，当时，，…当，.由的性质可得，解得．故选：A．3．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）若，函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为（其中）．令，因为，所以．因为，且，所以，故，即．当时，单调递减，因为，所以．故选：D．4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，且对于任意的恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，得，解得．由，即，得，即．因为对于任意的恒成立，且，所以，即解得．故选：C．5．（多选）（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数在上单调，且曲线关于点对称，则（

）A．以为周期B．的图象关于直线对称C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数在上有两个零点【答案】BD【详解】对于A，因为函数在上单调，所以的最小正周期T满足，即，所以，因为的图象关于点对称，所以，得，所以当时，，所以，故A错误；对于B，当时，，故B正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，不是偶函数，故C错误；对于D，令，当时，，直线与的图象在上有两个交点，故D正确．故选：BD.C综合素养1．（多选）（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）设函数，则下列结论正确的是（

）A．若，B．存在，使的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围D．在上单调递增【答案】ABD【详解】由题设，A：要使，即中最大和最小值各有一个，又，所以的周期为，故，正确；B：的图象向左平移个单位长度得关于原点对称，所以，，则，，又，当时，正确；C：由题设上有4个零点，结合余弦函数性质知：，则，错误；D：当时，，因为，所以，，所以，因为在上单调递增，所以在上单调递增，正确.故选：ABD.2．（多选）（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知函数，则下列关于函数的描述，正确的是（

）A．在区间上单调递增B．图象的一条对称轴是C．图象的一个对称中心是D．将的图象向右平移个单位长度后，所得的函数图象关于轴对称【答案】AB【详解】因为，对于A选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，A对；对于B选项，，故图象的一条对称轴是，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，将的图象向右平移个单位长度后，可得到函数，且函数为非奇非偶函数，D错.故选：AB.3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)当时，关于的方程有实根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，由，得，故的单调递增区间为．（2）∵当时，有实根，∴当时有实根，所以或有实根，因为，则，故，故或，故m的取值范围为.4．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）已知函数．(1)求的最小正周期及对称中心；(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)最小正周期是，对称中心是，；