zh5数值变量资料的统计描述-课件

数值变量资料的统计描述预防医学

预防医学教研室1

第五章数值变量资料的统计描述第一节数值变量资料的频数分布2一、频数表对一组研究对象进行观察，某变量或指标数值出现的次数称为频数（frequency)。3

例8.1某地区2002年132名55～58岁健康成人的空腹血糖（mmol/L）测定值如下：

5.175.564.864.87…………4.555.165.155.1645

①极差，或称全距（R）

R=最大值－最小值

=5.59－3.60=1.99(mmol/L)②组距（i）

i=R÷组数=1.99÷10≈0.2(mmol/L)(组数一般分8～15，组距尽可能取整)6③组段

每一组的起点称为组下限，终点称为组上限。

70分～80分（下限）（上限）

第一组应包括最小值，最后一组应包括最大值。7

④频数（f）

划记、合计每组的变量个数。8某地2002年55～58岁健康成人的空腹血糖值（mmol/L)血糖(mmol/L)

划记频数（f）

3.60-33.80-34.00-84.20-234.40-244.60-254.80-205.00-125.20-105.40-5.604

合计1329

二、频数分布的特征①集中趋势(centraltendency)：频数向中间集中，中等水平的人数最多。②离散趋势(tendencyofdispersion)：随变量值逐渐变大变小，人数越来越少，即向两端分散。10

1、频数分布的图示以变量值（血糖）为横轴，以频数为纵轴，每一组段画一直条，直条的面积与该组频数成正比，称为直方图（histogram）。1112

2、频数分布的类型（1）对称分布：观察值向中央部分集中，以中等数据居多，左右两侧分布大体对称。13对称分布14

（2）偏态分布：观察值偏离中央，尾部偏向数轴正侧，称正偏态，尾部偏向数轴负侧，称负偏态。15正偏态分布：高峰偏于左侧，长尾向右侧伸延负偏态分布：高峰偏于右侧，长尾向左侧伸延16对称分布17

第二节集中趋势指标

平均数（average）：描述一组数值变量资料的集中趋势、平均水平或中心位置的指标。常用的平均数有算术平均数、几何均数和中位数。18

一、算术平均数（arithmeticmean)

简称均数，总体均数用μ表示，样本均数用Ｘ表示。

适用条件：对称分布资料，特别是正态分布资料。19

1、直接计算法观察例数不多或计算机分析选用。20

例：某地抽样得5名7岁男孩体重（kg）分别为：17.3，18.0，19.4，20.6，21.2。求其均数。＝19.3（kg）21

2、加权法观察例数多又无计算机处理时选用。

22

例计算某地区2002年55～58岁健康成人的空腹血糖（mmol/L）的平均值。①组中值=(本组下限+下组下限)/2②fx=f•x③fx2=x•fx=f•x2④23空腹血糖值（mmol/L)平均数和标准差计算表血糖频数(f)组中值（x)fx

fx23.60-33.711.141.073.80-33.911.745.634.00-84.132.8134.484.20-234.398.9425.274.40-244.5108.0486.004.60-254.7117.5552.254.80-204.998.0480.205.00-125.161.2312.125.20-105.353.0280.905.40-5.6045.522.0121.00

合计132614.22878.9224

二、几何均数（Ｇ）（geometricmean)

适用条件对数正态分布资料：变量值呈倍数关系，当变量值取对数后服从正态分布或近似正态分布。25

１、直接法观察例数不多时选用。26例题：6份钩端螺旋体显凝试验的血清效价为：1:50，1:100，1:200，1:400，1:800，1:1600。求其平均血清效价。27

＝lg－1（2.4515)＝282.5

故其平均血清效价为1:282.5。28

2、加权法观察例数较多时选用。先将资料编成频数分布表，再按公式计算：29

例8.4计算某地60人抗体效价的平均滴度。

=lg－1（1.31602）=20.705

平均滴度为1：20.705。30效价倒数（X）人数（f)lgX

flgX570.698974.8927910111.0000011.0000020221.3010328.6226640121.6020619.224728081.9030915.22472

合计60－78.96489某地60人抗体效价几何均数计算表31

三、中位数(median)和百分位数

适用条件①偏态分布资料②分布类型不清的资料；③数据一端或两端无界限的资料。32组段X频数（f）<20014200－25220－

52240－

8260－

5280－

1300－

2>3002合计109两端无界限资料举例33

１、中位数一组从小到大排列的变量值，位于正中间位置的变量值称为中位数。用Ｍ表示。34

（1）直接计算方法

将变量值从小到大排列，再按下式计算：ｎ为奇数Ｍ＝Ｘ（n+1)/2

n为偶数35

例:11例颅脑外伤病人的伤后来院时间为1、2、4、5、7、8、8、10、12、16、20小时，求其伤后来医院治疗的平均时间。

本例ｎ＝11为奇数

Ｍ＝Ｘ（n+1)/2＝Ｘ6＝8（h）

若本例只收前10例病人，则（h）36

（2）频数表计算方法将资料编制成频数分布表，再计算：Ｌ：中位数所在组段的下限

fx

：中位数所在组段的频数∑fL

：中位数所在组段以前的累积频数37

例8.6某传染病的潜伏期（天）见表8-3，求其平均潜伏期。38潜伏期（天）频数f累计频数累计频率（％）

2～262623.634～487467.276～259990.008～610595.4510～310898.1812～2110100.00某传染性的潜伏期（天）的中位数和百分数数计算表39组段2～4—4～6—6～8—位次

1、2、…2627、…7475、…99%0.9…23.624.5…67.368.2…90.0

中位数所在组的确定1、累计频数刚超过n/2所在组2、累计频率刚超过50％所在组40

２、百分位数将n个观测值从小到大排列，分成100等份，与第x百分位次对应的观测值称为第x百分位数，用Ｐx表示。百分位数是一种位置指标。41

一个百分位数将全部观察值分为两部分，理论上有ｘ％的观察值比它小，（100－ｘ）％观察值比它大。0%x

%

100%ｘ％观察值（100－ｘ）％观察值42

中位数是一个特定的百分位数，即Ｐ50在全部观察值中，有50％的观察值比它小，（100－50）％观察值比它大。43

用频数表计算百分位数的公式：

Ｌ：第x百分位数所在组段的下限

fx

：第x百分位数所在组段的频数∑fL：第x百分位数所在组段以前的累积频数44潜伏期（天）频数f累计频数累计频率（％）

2～262623.634～487467.276～259990.008～610595.4510～310898.1812～2110100.00某传染性的潜伏期（天）的中位数和百分数数计算表45

应用中位数和百分位数时注意

1、对资料的分布没有特殊要求，所有的资料均可计算。

2、分布在中间的百分位数(50％)较稳定，靠近两端的百分位数（99％）不稳定。46

3、中位数不如均数精确，但抗极端值的影响比均数的稳定性好。当资料适合计算均数或几何均数时，不宜计算中位数表示其平均水平。47

第三节离散程度指标

离散指标又称变异指标，它描述数值变量资料频数分布的离散趋势。常用指标有：全距、方差、标准差、变异系数和四分位数间距。48

例：二组变量值（单位略）

A：8、9、10、11、12XA=10B：6、9、10、11、14XB=10均数只描述集中趋势，没有描述变量值之间的差异，变异指标描述变量的变异（离散）趋势。49

一、全距（极差，R）

R＝最大值－最小值

RA＝12－8＝4RB＝14－6＝8

说明B组观测值的变异程度大A组。极差只表示两极端数值的差异，而不能综合反映每个变量值的变异情况。50

二、四分位数间距（Q）

Q是上四分位数Qu（P75）与下四分位数QL（P25）之差。

Q＝Qu－QL

其间包括全部观察值的一半。P75P25MP0P10051

Q和R类似，比R稳定，但仍未考虑到每个观察值的变异程度。

Q与M配合使用（M±Q），用于描述偏态分布资料、分布末端无界限而不能计算全距、方差和标准差的资料。

52

三、方差和标准差为衡量每个变量值的变异情况，计算：

离均差之和∑（X－μ）

但∑（X－μ）＝0。53

于是计算：

离均差平方和∑（X－μ）2

用SS或表示，它又受样本含量（变量值个数）大小的影响，所以取其平均值表示，称为方差（MS）。54

方差是另一变异指标，方差越大，表示变量值的变异程度越大。55

方差的单位被平方，与均数单位不一致，不便于比较，于是取其平方根，称为（总体）标准差（σ）。标准差是最常用的变异指标。56

总体均数μ常是未知的，只能用样本均数X代替，而得样本标准差(S)

，作为总体标准差的估计值。57

数理统计研究:样本标准差较总体标准差偏小，因此用n－１代替n，n－１称为自由度(v)。58

1、标准差的计算方法（1）直接法（小样本）为方便计算，前式变为：59

XX2

86498110100111211214450510A组资料S计算表B组资料S计算表

XX2

6369811010011121141965053460

（2）加权法（大样本）先将资料编成频数表，再按公式计算：61以例8.1资料为例计算62空腹血糖值（mmol/L)平均数和标准差计算表血糖频数(f)组中值（x)fx

fx23.60-33.711.141.073.80-33.911.745.634.00-84.132.8134.484.20-234.398.9425.274.40-244.5108.0486.004.60-254.7117.5552.254.80-204.998.0480.205.00-125.161.2312.125.20-105.353.0280.905.40-5.6045.522.0121.00

合计132－614.22878.9263

（3）标准差的应用①适用于对称分布，特别是正态分布资料，表示观测值分布的离散程度。64标准差大，说明观测值的变异程度大，即观测值围绕均数分布较离散，均数的代表性较差；标准差小，说明观测值的变异程度小，即观测值围绕均数分布较密集，均数的代表性较好。65

②估计观测值的频数分布和医学参考值范围。③计算标准误。④计算变异系数66

四、变异系数（CV)

比较均数相差悬殊或单位不同的两组（或多组）观测值的变异程度时，不宜用标准差，而需计算变异系数进行比较。67

例某地7岁男孩身高（单位cm）X1=114.82，s1=5.52；体重（单位kg）X2=20.91，s2=2.05。比较身高和体重的变异程度。CV1＜CV2，体重的变异程度大于身高。68

第四节正态分布和医学参考值一、正态分布（nomaldistribution)

从例8.1频数分布图看：频数分布以均数为中心，靠近均数两侧的频数较多，较远两侧频数逐渐减少，两侧基本对称。697071

如果不断增多观测例数、缩小组距，则图形趋向于光滑曲线。这是一条中间高、两头低、左右对称的钟型曲线，在统计学上称为正态分布曲线，表示为

N（μ，σ2）

。7273

为应用方便，将任何正态分布N（μ，σ2）变换成的正态分布N（0，1），称为标准正态分布（u分布）。变换方法是将变量值X变换为u（标准正态离差）7475

二、正态分布的特征１、在均数处最高。２、以均数为中心，左右对称,逐渐降低，两端永不与横轴相交。76

３、有两个参数

均数μ：位置参数，决定曲线的中心位置；μ越大，曲线越向右移；μ越小，则曲线越向左移。7778

标准差σ：形状参数，决定曲线的陡峭或扁平：σ越大，曲线越扁平（矮胖）；σ越小，曲线越陡峭（瘦高）。7980

4、正态曲线下的面积有一定的规律在正态图形中，横轴为变量X，纵轴为频数f。可用曲线下的面积代表频数分布。81

若以曲线下的面积为100％，正态曲线下面积的分布规律变量值曲线下面积（变量值出现概率）μ±1.0σ68.27％μ±1.96σ95.00％μ±2.58σ99.00％82838485

如果资料呈正态分布，且样本足够大（如n＞100),可样本指标代替总体指标变量值曲线下面积（变量值出现概率）X±1.0S68.27％X±1.96S95.00％X±2.58S99.00％86变量值曲线下面积（变量值出现概率）±1.068.27％±1.9695.00％±2.5899.00％标准正态曲线下面积87区间体重范围(kg)实际人数(％)理论人数(％)

X±1.0S45.29～52.3786(71.67)82(68.27)X±1.96S41.89～55.77114(95.00)114(95.00)X±2.58S39.70～57.96120(100.00)119(99.00)某地120名21岁女大学生体重的实际分布与理论分布88

三、医学参考值范围（一）医学参考值的意义

医学参考值：正常人（或动物）的个体形态、功能和代谢产物等的各种生理和生化常数。由于个体指标的变异，需要确定其波动范围，即医学参考值范围。89（二）制定参考值的基本步骤