考点08立体几何（文科）【真题模拟练】（解析版）-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（全国通用）

考点08立体几何（文科）（解析版）-【过高考】2023年高考数学大一

轮单元复习课件与检测（全国通用）

膜揪缔…

一、单选题

1.（2022•湖北・天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为6岳，高为石，则该圆锥

底面圆的半径为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

设该圆锥底面圆的半径为r,再结合圆锥的侧面积公式求解即可

【详解】

设该圆锥底面圆的半径为"，则m行=6名乃，故/（，+3）=108,B|J（r-9）（r2+12）=0,解得

r=3

故选：B

2.（2022.河南安阳•模拟预测（文））己知圆柱的底面半径为1,高为2,AB,CD分别为上、下

底面圆的直径，ABYCD,则四面体4BC。的体积为（）

124

A.-B.C.1D.一

333

【答案】D

【解析】

【分析】

易ill：ABJ_T'|l!|CDO],然后由匕3CD=匕-Sq+Vfi-CDOi求解.

【详解】

解：如图所示：

C

连接CO、DO\,

因为ABLCD,ABJ.002，且。。2八0）=02,

所以AB_L平面8。，

所以^ABCD=匕一CDO]+%-Cg>

=—Srna-/1B=—x—x2x2x2=—,

3cg323

故选：D

3.（2022.青海・海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2,母线与轴所在直线的夹角

是60。，且上、下底面的面积之比为1：4,则该圆台外接球的表面积为（）

A.56万B.64万C.112万D.128万

【答案】C

【解析】

【分析】

作出圆台的轴截面等腰梯形，其外接圆是圆台外接球的大圆，在这个轴截面中进行计算可得.

【详解】

如图等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，E尸是圆台的对称轴，

圆台上、下底面的面积之比为1：4,则半径比为1：2,设圆台上、下底面半径分别为r,2厂，

因母线与轴的夹角是60。，母线长为2,可得圆台的高为1,r=逐，设圆台外接球的半径为R,球心到

下底面（大圆面）的距离为X,若球心在圆台两底面之间，如图点”位置，则a=x2+（2>/i）2昆

7?2=（1-X）2+（V3）2,无解；

若圆台两底面在球心同侧，如图点。位置，则氏2=/+（26）2且/?2=（1+4+（省）2,解得X=4,则

R2=28，

则该圆台外接球的表面积为物外=1127t.

故选：C.

4.（2022・全国•模拟预测）已知正方体中4B8-A4CQ,E,G分别为AR，CQ的中点，则直线

AG,CE所成角的余弦值为（）

A病口病「4石nV145

10151515

【答案】C

【解析】

【分析】

根据异面直线所成角的定义，财8的中点F,则/ECF（或其补角）为直线AG与CE所成角，再解三

角形即可得解.

【详解】

如图所示：

取A8的中点尸，连接EF,CF,易知AQ〃CF,则NEC尸（或其补角）为宜线4G与CE所成角.不妨

设A8=2,则C尸=6，EF=显,EC=3,由余弦定理得cosNECF=9+§二*=坟,即直线

2x3x，515

与CE所成角的余弦值为述.

15

故选：C.

5.（2022•上海金山•二模）设人〃是两条不同的直线，以尸是两个不同的平面，则下列命题中的真命

题为（）

A.若a,则相〃〃

B.若，〃_La,〃JLa,则加〃“

C.若，"〃《,”?〃",则a〃£

D.若，”_La,a_L〃，则切0

【答案】B

【解析】

【分析】

在正方体中取直线和平面可排除ACD,由线面垂直的性质可得B正确.

【详解】

在正方体ABCD-EFG”中，记底面A8C。为a,EF为m,EH为n,显然A不正确；记底面A8CC为“，

EF为m,平面C£>，G为夕，故排除C：记底面A8CD为a,BF为平面A8FE为£,可排除D；由线面

垂克的性质可知B正确.

故选：B

6.(2022.青海・海东市第一中学模拟预测(理))已知在正四而体P-ABC中，D,E,尸分别在棱

PA,PB,PC上，若PE=4,PF=P£>=2,则点P到平面OEF的距离为()

AEo4722r3>/5n2V5

21143

【答案】B

【解析】

【分析】

取。尸的中点G,过点尸作EG的垂线交EG的延长线于点H,根据勾股定理，几何国-S=£G列式求解

P”即可

【详解】

如图，由题意，ZDPE=ZDPF=ZEPF=60°,易知正-PDF,结合余弦定理

DE2=DP2+EP2-2DP-EPCOS60°.可得。尸=2,DE=EF=26，取。尸的中点G,过点P作EG的垂线

交EG的延长线于点4,易知点P到平面OE尸的距离为尸”的长，因为EH-GH=EG,则

yJPE2-PH2->JPG2-PH2=yjEF2-GF2.即J16-PH273-PH2=而,即川6-PH?=%+，3-PH。,

两边平方16-PH2=11+3-P"2+2"7J3-PH2,化简得PH=生/型.

故选：B

7.(2022•全国•模拟预测)如图，在正方体A8C£>-481G4中，M,N分别为AC,4台的中点，则

异面直线与CG所成角的大小为()

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平移，转化为相交直线的夹角，利用异面直线的求法即可.

【详解】

如图，在正方体中，连接80交AC于连接A。，因为M,N分别为8。，AB的中点，所以

MNHA.D,所以异面直线MN与CG所成角即4Q与所成角，易知』4。。=45.

故选C.

8.(2022・上海静安•二模)在下列判断两个平面a与夕平行的4个命题中，真命题的个数是().

(1)夕都垂直于平面r,那么a〃夕.

(2)a、夕都平行于平面「，那么a〃夕.

(3)a、/都垂直于直线/,那么a〃夕.

(4)如果/、机是两条异面直线，且/〃a,机〃a,/〃夕，机〃夕，那么a〃夕

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.

【详解】

由面面平行的判定定理分析可知(1)错，(2),(3),(4)正确.

故选：D

二、填空题

9.(2022•江西省丰城中学模拟预测(理))棱长为友的正方体的展开图如图所示.己知//为线段BF

的中点，动点P在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有

①.8/与AN是异面直线②.AF与所成角为60。

③.平面COE/U平面④.若AM_L，P,则点P的运动轨迹长度为6

【答案】②③④

【解析】

【分析】

由展开图还原正方体，根据AN//BM可知①错误；由可知异面直线AF与BM所成角为

ZNAF,由此可求得②正确：由线面垂直的判定可证得(T_L平面ABMN,由面面垂宜的判定可知③

正确：根据40，平1^^硒，平面SRHGQ77/平面C/W可得P点轨迹，进而求得④正确.

【详解】

由展开图还原正方体如下图所示，

对于①：

■：MN//AB,MN=AB.,.四边形为平行四边形，.•.AN//8M,

与4N是共面直线，①错误；

对于②：

8A〃/4N,与所成角即为NNAF,

•;AN=NF=AF,.2ANF为等边三角形,

:.ZNAF=60,即AF与BM所成角为60,②正确；

对于③：

QAB_L平面3CM/7,CFuT'-jffiBCMF..iABLCF；

又CFLBM,ABBM=B.AB,BMu平面ABM/V...CFL平面.

又CFu平面CDEF,.,.平而C£>EFJL平面AfiMN,③正确；

对于④；

由正方体性质可知AM_L平面CFN,

取BC,CD,DN,NS,EF中点、G,Q,T,S,R,连接HG,GQ,QT,ST,SR,RH,

则平面SRHGQTH平面CFN，二点P的轨迹为止六边形SRHGQ7的边，

...点P的轨迹长度为6」（也］+f—1=6,④正确.

K2JI2J

故答案为：②③④.

10.（2022.河南•平顶山市第一高级中学模拟预测（文））在三棱锥P-ABC中，平面/%8_1_平面

ABC,PAA.PB,AB=BC=AC=4,则该三棱锥外接球的表面积是.

【答案】—##—

33

【解析】

【分析】

设点。为AB的中点，。为AABC外接圆的圆心，则OC=OA=O8,证得CDJ•平面248,则

OA=O8=OP,。即为三棱锥尸-ABC外接球的球心，再由球的表面积公式求解即可.

【详解】

OD=-CD=-xyl42-22=^-,

333

0C=0A=0B=2cD=t色，.•.C£)_LAB,；平面R4B_L平面ABC,平面R4Bc平面ABC=AB,

33

CQu平面A8C,，C£＞，平面PA8,

乂AB,DPu平面H48,/.CD1AB,CDA.DP,在△PAB中，PAYPB,。为48的中点，

:.DA=DB=DP,

：.OA=OB^OP=>JAD2+OD2=^-,，O即为三棱锥产一ABC外接球的球心，且外接球半径

3

64"

，该三棱锥外接球的表面积S=41/?2=41X

故答案为：—^―-

三、解答题

11.（2023•广西柳州•模拟预测（文））如图，在三棱锥P-A3C中,AB=BC=2,

PA=PB=PC=AC=20，。为AC的中点.

（1）证明：P。，平面A8C；

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.

【答案】（1）证明见解析•；（2）亭L

【解析】

【分析】

（1）证明POLACPCOB,利用线面垂直判定定理求解；

（2）利用等体积法求点C到平面POM的距离即可.

（1）连接。8,如图,

'：AB=BC=2,AC=2y12,AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形,

又。为AC的中点，AOA=OB=OC,又,：PA=PB=PC,

：.^POA=_POB=i.POC

：.NPOA=ZPOB=ZPOC=90.

PO±AC,PO1OB,OBC\AC=O,OB,ACu平面A8C

，PO_L平面48c.

(2)由(I)得P。，平面ABC,PO=yJPA1-AO2=76

在YCOM中，ZOCM=45,

OM=Sc2+CM2-20c•CMcos45=—.

3

SPOM=；XP°X°MJ*显孚

<」2<-I

COM一Aso-§

设点C到平面POM的距离为d,由匕>_OMC=%JOMngxS/oM-d=；xS0cM义PO,

解得d=2叵，

5

.••点C到平面PO历的距离为空°.

5

12.（2022.上海市嘉定区第二中学模拟预测）如图，圆锥的底面半径04=2,高PO=6,点C是底面

直径A8所对弧的中点，点。是母线R4的中点.求：

D

B

c

(1)该圆锥的表面积：

(2)直线CQ与平面丛3所成角的正切值

【答案】⑴4(屈+1)兀

⑵叵

【解析】

【分析】

(1)求出圆锥母线长，求得圆锥侧面积，即可求得答案；

(2)作辅助线，找到直线8与平面MB所成角，解直角三角形可得答案.

(1)

由己知，得0A=2,P()=6,则PA^y/PO^+OA1=2VlO-

所以圆锥的侧面积为S=7tr/=7tx2x2屈=4何兀，

于是圆锥的表面积为5=4厢兀+4兀=4(痂+1卜，

即所求圆锥的表面积为4(痴+1)兀.

(2)连接0£),由题意得P0_L平面ABC,因为OCu平面ABC,

所以「OLOC.又因为点C是底面直径AB所对弧的中点，所以OC_LAB.

而P0、ABU平面ABC,POr\AB=O,所以OC_L平面R48,

即0D是8在平面R45上的射影，所以/COO是直线CD与平而R43所成角.

在RtzXCQ。中，OC=2,OD=-PA=4u),

2

则tan/CDO嗤=盍=萼

13.(2022•青海•海东市第一中学模拟预测(文))如图，在三棱柱ABC-ABC中,

A.C=AA,=2AB=2AC=2BC=4,ZBAAt=60°.

(1)证明：平面A5CJ_平面朋耳8.

(2)设尸是棱CG上一点，且CP=2PG，求三棱锥A-P8C体积.

【答案】⑴证明见解析(2)：

【解析】

【分析】

(1)先利用线面垂直判定定理证明平面ABC,再利用面面垂直判定定理证明平面ABC_L平面

A4百8；

(2)先求得三棱锥C-蟀的体积，再利用三棱柱4BC-AgG的结构特征，进而可求得三棱锥

A-P8G体积.

⑴连接AB.

三棱柱4BC-AMG中，AC=AA=2AB=4,ZBA^=60°.

则城=匐+482-2吠488$600=42+22-2'4'2、3=12,

则48=26，WIJA,B2+AB2=AA[,：.A.BVAB,

XVA.B2+BC2=A,C2,AB_LBC,

又ABcBC=B,二MB,平面ABC,

；ABu平面平面ABC_L平面朋旦8.

(2)取48的中点D,连接CO,•/AC=BC,；•CDVAB,

又由(1)知平面A3CJ_平面AA^B,平面A8C=平面44］乃=4B

则CDJ•平面A44B,且C0=G.

则三棱锥C-ABA的体积为gxgx2x2Gx6=2,

则三棱柱ABC-A8C的体积为6,

vCP=2PC,,在四边形CgBC中，SgB、c、:SWc=(，

又；四棱锥A-C超BC的体积为6-2=4,

112

三棱锥A-PB\C\的体积为1VA.WC=lx4=j.

14.(2022•内蒙古・乌兰浩特一中模拟预测(文))如图在梯形中，BC//AD,AB=AD=2BC=2,

27r

ZABC=—,E为4。中点,以的为折痕将△ABE折起，使点A到达点P的位置，连接PRPC,

(1)证明：平面尸EDJ_平面8CDE；(2)当PC=2时，求点。到平面尸£»的距离.

【答案】⑴证明见解析⑵乎

【解析】

【分析】

(1)首先根据题意易证5E_LE£>,BELPE,从而得到BE1平面PED,再根据面面垂直的判定即可

证明平面PED1平面BCDE.

(2)利用三棱锥等体积转换求解即可.

⑴在梯形ABCO中，乙48。=耳，所以Nfi4E=g,

在△ABE中，AB=2,AE=\,所以BE=卜?+F-2x2xlx；=6,

7T

所以4炉+8层=482,即/AE8=Q,梯形438为直角梯形.

因为8E_LE£>,BELPE,PE(ED=E,

所以BE1平面庄D，

又因为BEu平面BCDE,所以平面PED1平面BCDE.

(2)因为平面PED_L平面BCDE=E£),CDA.ED,所以^>_1_平面PED,

又尸£>u平面正D,所以Cr>_LPD,

所以户Q=：22-(G)2=],即VPa为等边三角形.

取ED的中点尸，连接PF,如图所示：

因为尸E=P£>,尸为即中点，所以PF_LEL>.

因为平面尸E£>1平面BCDE=E£),PF工ED,所以尸尸1.平面E8CO,

因为尸尸=/-(；)=等,5A£BD=S^PEB=lx1x73=.

设。到平面PEB的距离为〃，

因为%一哂=%一加，所以k正xkk且x且，解得心走.

323222

即点D到平面PEB的距离为也.

2

真题纸T

一、单选题

1.（2022•全国•高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和46，其顶点都在

同一球面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTTB.128兀C.i44nD.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小4,再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之

间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】

设正三棱台上下底面所在圆面的半在小4,所以24=色3-,2/;=业叵-,即｛=3,4=4,设球心到上

sin60sin60

下底面的距离分别为4,4，球的半径为R，所以4=依-9,故|4-4|=1或

4+W=l,叫或病万+加灰=1，解得玄=25符合题意，所以球的表面

积为5=47^^=100兀.

故选:A.

2.（2022・浙江・高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位:

「22-16

A.22兀B.8兀C.—兀D.—n

33

【答案】c

【解析】

【分析】

根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据

球，圆柱，圆台的体积公式求出.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面

半径，圆台的上底面半径都为1cm,圆台的下底面半径为2cm,所以该几何体的体积

1222223

V=—X—7rxr+7txlx2+-x2x（7tx2+itxI+7nx2xnxl）=Cm.

2331/3

故选：C.

3.（2022・全国•高考真题（理））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边

长为1,则该多面体的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【详解】

由三视图还原几何体，如图,

则该直四棱柱的体积V=-y-x2x2=12.

故选：B.

4.(2022.全国.高考真题)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某

水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MO.Okn?；水位为海拔1575m时，相应水面

的面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升

到157.5m时，增加的水量约为(/x2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m'C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】

依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积丫.

棱台上底面积S=140.0km=140xl()6m2,下底面积£=180.0km2=]80xl()6m2,

,76612

V=1/Z(S+S+>/SS)=1X9X(140X10+180X10+A/140X180X10)

=3X(320+60A/7)X10A»(96+18x2.65)xl07=1.437xl09=l4xlO^m3).

故选：C.

5.(2022•全国•高考真题(理))在长方体ABC。-44Gq中，已知耳。与平面ABC。和平面

AAB|B所成的角均为30。，则()

A.AB=2ADB.A8与平面48©。所成的角为30。

c.AC=CBtD.4。与平面BBCC所成的角为45。

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】

如图所示：

不妨设AB=a,AO=b,A41=c,依题以及长方体的结构特征可知，4。与平面48CZ）所成角为

cb

NBQB,B0与平面44,8产所成角为用4,所以sin30丽=丽，即以,，

B,D=2c=^ai+b1+c2,解得a=&c-

对于A,AB=a,AD=b,AB=-J1AD-A错误;

对于B,过8作BELAq于E,易知BE,平面A8£。，所以A8与平面44Go所成角为血£,因

>9tanZBA£=-=—.所以N84EH30,B错误；

a2

2222

对于C,AC=\/a+h=\[ic»CB]=\Jb+c=\[2c,ACw(74，c错误；

对于D,8Q与平面BgCC所成角为乙D8C，sinZDB,C=—,而0</。用。<90,所以

B.D2c2

ZDB,C=45.D正确.

故选：D.

6.（2022•全国•高考真题（文））在正方体A8CD-4AG。中，E,F分别为A8,8C的中点，则

（）

A.平面4EFL平面8。。B.平面B|EFJ.平面ABD

C.平面4E尸〃平面AACD.平面4EF//平面AC。

【答案】A

【解析】

【分析】

证明£F_L平而B。2,即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,分别求

出平面耳EF,\BD,4G。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】

解：在正方体4BCO-A4G。中，

AC_L必且DR1平面ABCD,

又EFu平面A8CD,所以

因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EFAC,所以EFLBQ，

又BDDDt=D,所以EF平面BDDt,

又EFu平面所以平而平面B。。，故A正确；

对于选项B,如图所示，设AB=EF\8£>=N,则MV为平面片即与平面吊即的交线，

在ABMN内,作BPLMN于点P,在6EMN内，作GP_LMN,交EN于点G,连结BG,

则ZBPG或其补角为平面BXEF与平面A.BD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN1=GN2,

底面正方形A8CZ）中，E,F为中点，则EF_L3r>,

由勾股定理可得+.

从而有：NB-+NG2=（PB。+PN2）+（PG2+PN?）=BG2,

据此可得PB2+PG2*BG2,即ZBPGh90，

据此可得平面BXEF±平面AtBD不成立，选项B错误；

对于选项C,取A4的中点“，则A"B]E,

由于AH与平面AAC相交，故平面旦EF〃平面AAC不成立，选项C错误;

对于选项D,取A。的中点M,很明显四边形为平行四边形，则A”与F,

由于AM与平面ACQ相交，故平面瓦EF〃平面ACQ不成立，选项D错误;

故选:A.

7.（2022•浙江•高考真题）如图，已知正三棱柱ABC-AMG，AC=AA，E,F分别是棱BC，AG上的

点.记E尸与A4所成的角为a,EF与平面A8C所成的角为夕，二面角尸-5C-A的平面角为y,则

P<a<yC./3<y<aD.a<y</3

【答案】A

【解析】

【分析】

先用几何法表示出a，仇Y，再根据边长关系即可比较大小.

【详解】

如图所示，过点/作FPJ_AC『P,过P作PM_L3CTM,连接PE,

tana=笠二笠小…"二?二”“tan/=&2?=ta”,

FPABPEPEPMPE

所以

故选：A.

8.（2022•全国•高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧

面积分别为s单和S乙，体积分别为％和%.若¥=2,则》=（）

3乙V乙

A.旧B.2&C.5/10D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】

设母线长为/,甲圆锥底面半径为片，乙圆锥底面圆半径为4,根据圆锥的侧面积公式可得弓=2々再

结合圆心角之和可将小4分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式

即可得解.

【详解】

解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为4,乙圆锥底面圆半径为小

则m=胃=2=2,所以（=24，

S乙仃21r2

『27vr.2兀八n5.

又丁+学s=2万，则rfil彳2=1,

所以所以甲圆锥的高九=J/2—

I-----:-rry-7tr^h-I2x-/

乙圆锥的高九=力2-,尸=笆/,所以广=¥——}=T~'=河•故选：C.

一V93%：泡"x鸣

393

9.（2021•天津•高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为

岸32〃，两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.34B.4%C.94D.124

【答案】B

【解析】

【分析】

作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再

利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】

如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，

设圆锥AD和圆锥8。的高之比为3:1,即AD=3BD,

设球的半径为R,则----=-—,可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=\,AD=3,

CDA.AB,则NCAO+ZAC£）=NBC£）+ZACD=90,所以，ZCAD=ZBCD,

又因为NA£>C=NB£>C,所以，

ADCD,-------

所以，,:.CD=VAD-BD=\Ir3,

因此，这两个圆锥的体积之和为g?rxC£）2.（A£>+BQ）=g;rx3x4=4;r.

故选：B.

10.（2021・全国•高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统

中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地

球表面的距离）.将地球看作是一个球心为。，半径，为6400km的球，其上点A的纬度是指与赤

道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记

卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2万，（1-cosa）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为

)

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

।6400

1-------------------

2^r2(l-cosa)_1-cosa

.6400+36000.,042=42%.

4万，22

故选：C.

二、填空题

11.（2021.全国.高考真题（文））己知一个圆锥的底面半径为6,其体积为307则该圆锥的侧面积为

【答案】39万

【解析】

【分析】

利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.

【详解】

1,5

VV=-^62-/i=30zr.\/7=-

32

•*.I=y/h2+r+6°S恻=TZT/=;TX6X£=39万.故答案为：397.

12.（2021.全国.高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视

图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组

答案即可）.

【解析】

【分析】

由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】

选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体ABCO-ABGA中，AB=BC=2,BB『1,

E,尸分别为棱B储,BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E-ADF.

故答案为：③④.

【点睛】

三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.

三、解答题

13.(2022•全国•高考真题(理))如图，四面体ABC。中，AD±CD,AD=CD,AADB=ZBDC,E

为AC的中点.

(1)证明：平面BE。_L平面ACO；

(2)设A8=8O=2,NACB=60。，点尸在BO上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面9所成的角

的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)CF与平面4中所成的角的正弦值为迪

7

【解析】

【分析】

(1)根据已知关系证明瓦廷△CBO,得到A8=C8,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结

合面面垂直的判定定理即可证明；

(2)根据勾股定理逆用得到BE_LZ)E,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即

可.

(1)因为AD=CD,E为AC的中点，所以ACJLDE；

在AABD和工CBD中，因为AD=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△回/运△CB。，所以AB=CB,又因为E为AC的中点，所以AC_L3E：

又因为DE,BEu平面BED,DEcBE=E,所以4(7_1平面8££),

因为ACu平面AC。，所以平面BE£>_L平面ACD.

(2)连接EF,由(1)知，AC!_平面BED,因为Efu平面BED,

所以AO\所以SA"C=3AC，EF,

当£F_LBD时，EF最小，即△AFC的面积最小.

因为△ABgZ\CB£>,所以C8=AB=2,

又因为NACB=60。，所以，ABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=6,

因为AD_LCD,所以DE=LAC=I,

2

在.£)E8中，DE2+BE2=BD\所以8E_LQE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间比角坐标系E-冲z,

则4(1,0,0),川0,亚0),。(0,0,1),所以A0=(-1,0,1),A8=C，60),

设平面ABD的一个法向量为"=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0

则取y=G，则”=@,6,3),

n•AB=-x+\/3y=0

又因为C(-l,0,0),尸0当B,所以CF=1当§

n4#>

所以8e/-°7^\”_胸,CF二_不6

设C尸与平而谢所成的角的正弦值为外04

所以sin8=卜os(〃,C77)]=，

所以CF与平面的所成的角的正弦值为半

14.(2022•全国•高考真题(文))如图，四面体ABCO中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E

为AC的中点.

(1)证明：平面3E£>_L平面4C£>；

(2)设48=83=2,NACB=60。，点尸在上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥尸一A8C的体积.

【答案】⑴证明详见解析⑵也

4

【解析】

【分析】

(1)通过证明AC_L平而8匹来证得平面BED_L平面ACD.

(2)首先判断出三角形AFC的面积最小时尸点的位置，然后求得尸到平面ABC的距离，从而求得三

棱锥F-ABC的体积.

(1)由于4)=8,E是AC的中点，所以ACL0E.

AD=CD

由于<BD=BD，所以=

N