大学文科数学课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布11.1随机变量的概念11.2离散型随机变量及其概率分布11.3连续型随机变量及其概率密度

11.1随机变量的概念

有些随机事件本身就表现为一种数量，如某城市的年降雨量，某次考试的成绩等．另外，有些事件不表现为数量，如做一道正误判断题是“对”还是“错”，掷一次硬币是出现“正面”还是“反面”等，但可以给它们以数量标识，比如“正面”记为1，“反面”记为0，“选对”记为1，“选错”记为0．

这样，对任意一样本点e∈S，都可以让一个数与之对应，记为X(e)．显然X(e)是随试验结果不同而变化的一个变量，称之为随机变量．简言之，反映随机事件的变量叫随机变量．

定义11.1.1

设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.若对于任意实数x，集合{e|X(e)≤x}有确定的概率,则称X=X(e)为随机变量．有许多随机试验，它的结果本身是一个数，即样本点e

是一个数．我们令X=X(e)=e，那么X就是一个随机变量．例如，用Y表示某学校一天的缺课人数，W表示某商场一个月的营业额，Z表示某工厂一天的耗电量,那么Y、W、Z都是随机变量．本书中，我们一般以大写字母(如X,Y,Z,W,…)表示随机变量，而以小写字母(x,y,z,w,…)表示实数．

11.2离散型随机变量及其概率分布

11.2.1离散型随机变量的分布律

定义11.2.1

设离散型随机变量X所有可能的取值为

xk(k=1,2,…)，X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概

率为

P{X=xk}=pk

（k=1,2,…)

(11.2.1)

则我们称式(11.2.1)为离散型随机变量X的分布律．分布律也可以用表格形式来表示，如表11.2.1所示.（11.2.2）（11.2.3）

例11.2.1

设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过两组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过．以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求X的分布律．

解以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为或写成11.2.2几种常见的离散型概率分布

1.0-1分布

如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是

P{X=k}=pk(1－p)1－k(k=0,1;0<p<1)

则称X服从0-1分布或两点分布．对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S={e1,e2}，我们总能在S上定义一个服从0-1分布的随机变量

来描述这个随机试验的结果.例如，检查产品的质量是否合格、某试验是否成功、抛硬币是否出现正面等都可以用0-1分布的随机变量来描述．0-1分布是经常遇到的一种分布．

2.二项分布（n重伯努利分布）

若随机变量X的分布律为

(k=0,1,…,n;0<p<1,q=1－p)

则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n,p)．若以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，因此事件A在指定的k(0≤k≤n)次试验中发生，在其他n－k次试验中A不发生(例如在前k次试验中发生，而在后n－k次试验中不发生)的概率为这种指定的方式共有Ckn种，它们是两两互不相容的，

故在n次试验中A发生k次的概率为Cknpk(1－p)n－k，记q=1－p，即有显然

例11.2.2

某人购买彩票，设每次买一张，中奖率为0.01，共买500次，试求他至少中奖两次的概率．

解将每次购买彩票看成是一次试验，设中奖的次数为X，则X~B(500,0.01)．X的分布律为于是所求概率为这个概率很接近于1．我们讨论这一结果的实际意义．虽然每次彩票的中奖率很小（为0.01），但如果购买500次，则中奖至少两次是几乎可以肯定的．设X~B(n,p)，当n很大（指n≥10），p很小（指p≤0.1），且λ=np是一个大小适当的数（通常0<np≤8）时，有回到例11.2.2.有λ=500×0.01=5，因此

例11.2.3（寿命保险问题）设某保险公司的某人寿保险险种有2500人投保，在一年内，每个人死亡的概率为0.002，且每个人是否死亡是相互独立的，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金．试求:

(1)保险公司亏本的概率；

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率．解（1）以“年”为单位来考虑，在一年的1月1日，保险公司总收入为

2500×12=30000（元）

设X为2500个投保人中在未来一年内死亡的人数，对每

个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，2500人就是做2500重伯努利试验，因此X~B(2500,0.002)，则保险公司在这一年中应付出2000X（元）.要使保险公司亏本，则必须2000X>30000，即X>15（人），因此（2）即保险公司获利不少于10000元的概率在98％以上．以上结果说明“保险公司为什么乐于开展保险业务”的道理．

3.泊松分布

设随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，而取各个值的概率为其中λ>0是常数,则称X服从参数为λ的泊松（Poisson）分布，记为X~π(λ)．

1837年，法国数学家泊松发现，当n很大，p很小，λ=np时，有

即当n充分大而p很小时，服从二项分布B(n,p)的随机变量近似地服从参数为λ=np的泊松分布．

例11.2.4

某商店出售某种商品．根据经验，此商品的月销售量X服从λ=3的泊松分布．问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率不脱销？

解设月初库存M件，依题意那么

11.3连续型随机变量及其概率密度

11.3.1分布函数、密度函数及其性质

定义11.3.1

设X是随机变量，x是任意实数，函数

F(x)=P{X≤x}

称为X的分布函数．显然，F(x)有以下性质：（1）F(x)是一个不减函数．即对于任意实数x1、x2

(x1<x2)，有

F(x2)－F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0

（2）0≤F(x)≤1,且下面我们只从几何上说明上面两个性质．在图11.3.1中，将区间端点x沿数轴无限向左移动(即x→－∞)，则“随机点X

落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有F(－∞)=0；又若将点x无限向右移动(即x→+∞)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即有F(+∞)=1．图11.3.1（3）F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的．

定义11.3.2

设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数（简称密度函数），并称X的分布为连续型分布．(11.3.1)由式(11.3.2)可知，若不计高阶无穷小，则有

P{x<X≤x+Δx}≈f(x)Δx

(11.3.3)

这表示X落在小区间(x,x+Δx］上的概率近似地等于f(x)Δx．图11.3.2图11.3.311.3.2几种常见的连续型分布

1.均匀分布

定义11.3.3

设随机变量X的密度函数为

(11.3.4)则称X在区间(a,b)内服从均匀分布，其中a、

b为两个参数，且a<b，并记为X~U(a,b)．

f(x)的图形如图11.3.4所示.图11.3.4在区间(a,b)内服从均匀分布的随机变量X具有下述意义

的等可能性，即它落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的．事实上，对于任一长度l的子区间(c,c+l),a≤c<c+l≤b,有

由式(11.3.1)得X的分布函数为

例11.3.2

已知某路公交车每5分钟一趟，设X表示乘客在某车站的候车时间，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解显然，连续型随机变量X在［0,5］内服从均匀分布，故

2.指数分布

定义11.3.4

设随机变量X的密度函数为(11.3.5)图11.3.5中画出了λ=3，λ=1，λ=1/2时f(x)的图形．图11.3.5

3.正态分布

定义11.3.5

设随机变量X的密度函数为(11.3.7)其中μ、

σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布或高斯分布，记为X~N(μ,σ2)．

f(x)的图形如图11.3.6所示，正态分布的两个参数μ和σ分别称为位置参数和刻度参数.μ决定曲线的对称位置，σ决定曲线的陡缓和宽窄形态．图11.3.6给出了固定μ值，σ分别为0.5、1.0、1.5时的正态概率密度曲线．图11.3.6由式（11.3.7）得X的分布函数为（见图11.3.7）(11.3.8)特别地，当μ=0,σ=1时，称X服从标准正态分布（见图11.3.8），记为X~N(0,1)．其密度函数和分布函数分别用φ(x)、

Φ(x)表示，即有易知(11.3.9)(11.3.10)(11.3.11)图11.3.7图11.3.8

例11.3.3

设X