大学文科数学课件：定积分

定积分6.1定积分的概念和性质6.2微积分基本公式6.3定积分的换元积分法和分部积分6.4定积分的应用

6.1定积分的概念和性质

6.1.1问题的提出

例6.1.1

求曲边梯形的面积.

曲边梯形指的是由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴与两条直线x=a、x=b所围成的一个封闭区域,如图6.1.1所示.

图6.1.1矩形的高是不变的，它的面积可按公式

矩形面积=高×底

来定义和计算.而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间

［a,b］上是处处变化的，所以它的面积不能直接按上述公式来定义和计算.由于函数f(x)在区间［a,b］上是连续变化的，当自变量x发生一个很小的变化时，函数值的变化也是非常小的.也就是说,当我们在区间［a,b］上取一个很小的变化区间［x,x+Δx］时，相应的小区间上函数值f(x)可以看成是一个常数.当我们将区间［a,b］进行无限细分的时候，小矩形的面积就越来越近似于小曲边梯形的面积，那么所有小矩形的面积之和就逼近了整个曲边梯形的面积，最终达到了曲边梯形面积的精确值.这个思想方法也给出了求曲边梯形面积的方法(如图6.1.2所示).图6.1.2

例6.1.2

求变速直线运动的路程.

设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔

［T1,T2］上t的连续函数，且

v(t)≥0，求物体在这段时间

内所经过的路程s.

我们知道，对于匀速直线运动，有公式：

路程=速度×时间具体计算步骤如下：

(1)分割：在［T1,T2］中插入n－1个分点T1=t0<t1<t2<…

<tn－1<tn=T2，每个时间间隔为Δti=ti－ti－1，每个时间间隔上的路程为Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n)；

(2)求所有小间隔上的路程之和；

(3)令λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，对路程之和取极限，则可得到路程的精确值6.1.2定积分的定义

定义6.1.1设函数f(x)在［a,b］上有界，在［a,b］中任意插入若干个分点

a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b

把区间［a,b］分成n个小区间

［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］

各个小区间的长度依次为

Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1在各个小区间［xi－1,xi］上任取一点ξi(xi－1≤ξi≤xi),作乘积f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)，并作和只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记为6.1.3存在定理

定理6.1.1

设函数f(x)在区间［a,b］上连续，则f(x)在区间［a,b］上可积.

定理6.1.2

设函数f(x)在区间［a,b］上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间［a,b］上可积.

例6.1.3

利用定义计算定积分解将［0,1］区间n等分，取ξi=xi(i=1,2,…,n)，则当λ→0即n→∞时，取上式右端的极限.由定积分的定义，即得所要计算的积分为例6.1.4

利用定义计算定积分解取ξi=qi－1（i=1,2,…,n），则取qn=2即，则

因为所以故6.1.4定积分的几何意义

当f(x)<0时，而当f(x)在区间［a,b］上有正有负的时候，定积分则表示各部分面积的代数和(见图6.1.3)，即图6.1.36.1.5定积分的性质

性质6.1.1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即证

性质6.1.2

被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即(k为常数)证

性质6.1.3

如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a<c<b，则

性质6.1.4

如果在区间［a,b］上f(x)≡1,则=b－a显然，这个性质表示的是底边为［a,b］、高为1的矩形的面积.

性质6.1.5

如果在区间［a,b］上f(x)≥0，则(a<b)推论6.1.1

如果在区间［a,b］上,f(x)≤g(x)，则

推论6.1.2

性质6.1.6

设M及m分别是函数f(x)在区间［a,b］上的最大值及最小值，则性质6.1.5以及它的两个推论和性质6.1.6(见图6.1.4)都叫做定积分的不等式性质.根据这些性质我们可以对定积分进行大小比较，估计范围等计算.图6.1.4性质6.1.7（定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则在积分区间［a,b］上至少存在一个点ξ，使

=f(ξ)(b－a)(a≤ξ≤b)

证因为所以由闭区间上连续函数的介值定理知：在区间［a,b］上至少存在一个点ξ，使得即=f(ξ)(b－a)(a≤ξ≤b)积分中值公式指的是在区间［a,b］上至少存在一个点ξ，使得以区间［a,b］为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ)的一个矩形的面积，如图6.1.5所示.图6.1.56.2微积分基本公式

6.2.1问题的提出

假设某物体做直线运动，已知速v=v(t)是时间间隔

［T1,T2］上t的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时

间内所经过的路程.假设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔

［T1,T2］上t的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时

间内所经过的路程.由6.1节可知，变速直线运动中的路程可以表示为；另一方面如果用s(t)表示这个时间段上的路程函数，那么这段路程又可以表示为s(T2)－s(T1).而我们从第4章中可以得到，s′(t)=v(t).6.2.2积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间［a,b］上连续，并且设x为［a,b］上的一点.考察定积分

首先，由于f(x)在［a,x］上仍旧连续，因此这个定积分存在.这时，x既表示定积分的上限，又表示积分变量.因为定积分与积分变量无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t表示，则上面的积分可写成

如果上限x在区间［a,b］上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在［a,b］上定义了一个函数，记

为f(x)的积分上限函数.

Φ(x)的几何意义是右侧直线可以随意移动的曲边梯形的面积,如图6.2.1所示.对于不同的x，会产生一个不同的面积值.对于积分上限函数，其可导性由如下定理予以说明.图6.2.1定理6.2.1如果f(x)在［a,b］上连续，则积分上限函数在［a,b］上具有导数，且它的导数是(a≤x≤b)证这里要求Φ(x)的导数，我们就按照导数的定义来求解.Φ(x)在x+Δx处的函数值为由此得函数的增量由积分中值定理得把上式两端各除以Δx，得函数增量与自变量增量的比值当Δx→0时，即ξ→x，所以故Φ′(x)=f(x).定理6.2.2

如果f(t)连续，a(x)、b(x)可导，则的导数F′(x)为证因为所以

定理6.2.3（原函数存在定理）如果函数f(x)在［a,b］上连续，则积分上限函数

就是f(x)在［a,b］上的一个原函数.6.2.3牛顿-莱布尼茨公式

定理6.2.4（微积分基本公式）如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的一个原函数，则已知函数F(x)是f(x)的一个原函数，又根据定理6.2.3知，积分上限函数也是f(x)的一个原函数.于是F(x)与Φ(x)只相差一个常数，即

F(x)－Φ(x)=C,x∈［a,b］在上式中令x=a,得F(a)－Φ(a)=C.因为得F(a)=C.因为所以在上式中令x=b，得于是可得

例6.2.8

计算

解因为所以

例6.2.9

如图6.2.2所示，设

图6.2.2求解已知在［1,2］上规定当x=1时，f(x)=5,所以

例6.2.10

求解如图6.2.3所示,由图形可知所以图6.2.3例6.2.11如图6.2.4所示，计算曲线y=sinx在［0,π］上与x轴所围成的平面图形的面积.

解面积图6.2.46.3定积分的换元积分法和分部积分法

6.3.1定积分的换元积分法

定理6.3.1假设

(1)f(x)在［a,b］上连续；

(2)函数x=φ(t)在［α,β］上是单值的且有连续导数；(3)当t在区间［α,β］上变化时，x=φ(t)的值在［a,b］上变化，且φ(α)=a、φ(β)=b，则有应用换元公式时应注意:

(1)当α>β时，换元公式仍成立.

(2)用x=φ(t)把原变量x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限.

(3)求出f［φ(t)］φ′(t)的一个原函数Φ(t)后，不必像计算不定积分那样再把Φ(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入Φ(t)中然后相减就行了.

例6.3.2

计算解因为所以

例6.3.3

计算解

例6.3.4

计算解令x=asint，则dx=acostdt.当x=a时，t=π／2;当x=0时，t=0.所以

例6.3.5

计算6.3.2定积分的分部积分法

设函数u(x)、v(x）在区间［a,b］上具有连续导数u′(x)、v′(x)，则有

(uv)′=u′v+uv′

分别求这等式两端在［a,b］上的定积分，并注意到便得移项就有或简写为

例6.3.7

计算解因为1+cos2x=2cos2x，所以

例6.3.8

计算解*6.3.3无穷限的广义积分

定义6.3.1

设函数f(x)在区间［a,+∞)上连续，取b>a，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间［a,+∞)上的广义积分，记做,

例6.3.10

计算广义积分解

例6.3.11

计算广义积分解

6.4定积分的应用

6.4.1微元法

曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴与两条直线x=a、x=b所围成(见图6.4.1),则这个曲边梯形的面积为

图6.4.1如果我们用ΔA表示任一小区间［x,x+dx］上的窄曲边梯形的面积(见图6.4.2)，则整个曲边梯形的面积，并取ΔA≈f(x)dx，于是.那么整个面积就可以表示为图6.4.2（1）U是与一个变量x的变化区间［a,b］有关的量；

（2）U对于区间［a,b］具有可加性，就是说，如果把区间［a,b］分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量ΔUi的近似值可表示为f(ξi)Δxi,就可以考虑用定积分来表达这个量U.对于直角坐标系下的平面图形(见图6.4.3)，我们可以将曲边梯形的面积直接表示为曲边的函数的定积分,即曲边梯形的面图6.4.3另外，当曲边梯形由上、下两条曲线构成时(见图6.4.4)，可以利用上、下两条曲线的函数之差，构成微元，进行积分即可，即曲边梯形的面积图6.4.4例6.4.1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的

面积.

解如图6.4.5所示，两曲线的交点为(0,0)，(1,1)，选

x为积分变量,x∈［0,1］，面积元素，则图6.4.5

例6.4.2

计算由曲线y=x3－6x和y=x2所围成的图形的面积.解如图6.4.6所示，先求出两曲线的交点.解方程组得交点(0,0)，(－2,4)，(3,9).选x为积分变量，x∈［－2,3］,则当x∈［－2,0］时，

dA1=(x3－6x－x2)dx

当x∈［0,3］时，

dA2=(x2－x3+6x)dx

于是所求面积A=A1+A2,即图6.4.6例6.4.3计算由曲线y2=2x和直线y=x－4所围成的图形的面积.

解如图6.4.7所示，先求出两曲线的交点.解方程组得交点(2,－2)和(8,4).选y为积分变量,y∈［－2,4］，则于是所求面积图6.4.76.4.3旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．如图6.4.8所示，圆柱、圆锥、圆台可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三

角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰旋转一周而成的立体.图6.4.8一般地，如果旋转体(见图6.4.9)是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，那么这个旋转体的体积为