福建省2020年高二数学上学期期中考试卷（七）

福建省2020年高二数学上学期期中考试卷（七）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6（）分）

1.命题“VxGR,2x2-x+l<0"的否定是（）

A.VxGR,2x2-x+l>0B.SxeR,2x2-x+l>0

C.3xGR,2x-x+l<0D.BxER,2x-x+1<0

2.命题"若x>-3,则x>-6"以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.椭圆卷+(=1的焦点坐标为()

A.(0,5)和(0,-5)B.(5,0)和(-5,0)C.(0,。和(0,~V7)

D.(有，0)和(-干，0)

4.已知a=log23-6,b=log43.2,c=k>g43.6则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

5.为了在程序运行后得到Y=16,应输入X的值是（）

INPUTX

IFX<0THEN

Y-(X*1)*(X-1)

ELSE

Y=(X-1)*(X-1)

ENDIF

PRINTY

END

A.3或-3B.-5C.-5或5D.5或-3

2门

6.若椭圆号+y2=1的焦点分别为F],F2,弦AB过点F],则4ABF2的周长为（）

A.2B.4C.8D.2M

7.右图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm）,

A.18+V3cni2B.C.18+2V^cm'D.6+2^3

22

8.在区间[-1,5]上随机取一个实数m,则方程£+二一=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为

m4~ir

（）

A.-B.-C.2D.-

3255

9."一元二次方程x2+x+m=0"有实数解的一个充分不必要条件是（）

A.-B.C.D.m<4

444

10.如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（)

A.22B.46C.94D.190

11.给出下列四个命题：

①若x2-3x+2=0,则x=l或x=2

②若-2Vx<3,则(x+2)(x-3)<0

③若x=y=0,则x2+y2=0

④若x,yGN*,x+y是奇数，则x,y中一个是奇数，一个是偶数,

那么下列说法正确的是()

A.①的逆命题为真B.②的否命题为真

C.③的逆否命题为假D.④的逆命题为假

1-------O_

12.已知Q={(x,y)|1-----直线y=mx+2m和曲线-x2有两个不同的交点，

J4-x”

它们围成的平面区域为M,向区域Q上随机投一点A,点A落在区域M内的概率为P(M),

71-9

若P(M)e[-------11,则实数m的取值范围()

2冗

A.1]B.[0,乡C.哼1]D.[0,1]

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.连续掷两次质地均匀的骰子，以先后得到的点数m,n为点p（m,n）的坐标，那么点p

在圆x2+y2=17内部的概率是.

14.AB是过椭圆b2x2+a2y2=a2b2的中心弦，F（c,0）为它的右焦点，则4FAB面积的最大值

是____________

15.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去△AOB,将剩

余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积

为•

16.下列四个命题:

①使用抽签法，每个个体被抽中的机会相等;

，v0=an

②利用秦九韶算法求多项式f(x)=X5+2X3-

vk=V]t-]x+an-jj(k=l,2,…，n)

x2+3x+l在x=l的值时V3=2；

22

③“-3Vm<5"是"方程」一+工=1表示椭圆"的必要不充分条件;

5-irnrl-3

@BaFR,对VxGR,使得x2+2x+a<0

其中真命题为（填上序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职

工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50],[50,

60],[80,90],[90,100]

(1)求频率分布图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.

18.已知m>0,p：(x+2)(x-6)<0,q：2-m<x<2+m.

(I)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(H)若m=5,"p或q"为真命题，"p且q"为假命题，求实数x的取值范围.

19.(2014秋•龙海市期末)已知点F(l,0),直线1：x=-l,动点P到点F的距离等于它

到直线1的距离.

(I)求点P的轨迹C的方程；

(II)是否存在过N(4,2)的直线m,使得直线m被曲线C截得的弦AB恰好被点N所平分?

20如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PDL平面ABCD,又AD〃BC,AD±DC,且

PD=BC=3AD=3.

(I)画出四棱准P-ABCD的正视图；

(II)求证：平面PAD_L平面PCD；

(III)求证：棱PB上存在一点E,使得AE〃平面PCD,并求熟值.

EB

p

21.己知函数f(x)=x2+ax+3,xGR.

(1)若f(2-x)=f(2+x),求实数a的值？

(2)当xG[-2,4]时，求函数f(x)的最大值？

(3)当xe[-2,2]时，f(x)2a恒成立，求实数a的最小值？

22.如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆「的离心率为亨，焦距为26,点A，B分

别是椭圆「的右顶点和上顶点，点D是线段AB上的一动点，点C是椭圆「上不与A,B重合

的一动点.

(I)求椭圆「的方程和4CAB的面积的最大值；

(II)若满足：OD=^oc(入＞求人的取值范围.

参考答案

一、单项选择题

1.B2,B.3.C4.B5.C.6.C.7.C.8.A.9.A.10.C.

11.A.12.D.

二、填空题

13.解：所有的点p(m,n)共有6x6=36个，点P在圆x2+y2=i7内部，即点p(m,n)满足

22一

m+n<17,

故满足此条件的点p(m,n)有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,

3)、

(3,1)、(3,2),共计8个，

故点P在圆x2+y2=17内部的概率是瞪W，

369

故答案为看

14.解：：AB是过椭圆b2x2+a2y2=a2b2的中心弦，F(c,0)为它的右焦点，

22

.,•椭圆b?x2+a2y2=a2b2的标准方程为3+4=1,(a>b>0),

a2b2

.♦.△FAB面积等于4ACF和aBOF的面积之和，

设A到x轴的距离为h,由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h,

/.△AOF和ABOF的面积相等，

AFAB面积等于-ixcx2h=ch,又h的最大值为b,

2

•,.△FAB面积的最大值是be,

故答案为:be.

15.解：翻折后的几何体为底面边长为4,侧棱长为26的正三棱锥,

高为平所以该四面体的体积吗x£x16X零x2^-8^.

故答案为：~~

3

16.解：①根据抽样的定义可知，任何抽样都必须保证抽出的公平性，即每个个体被抽中的机

会相等，，①正确.

②f(x)=X5+2X3-X2+3X+1=((((x+0)x+2)x-1)x+3)x+1

V3=((x+0)x+2)x-1

将x=l代入得V3=((1+0)xl+2)xl-1=3-1=2.:.②正确.

2222

③当m=l时,方程为工+二=1，此时方程表示为圆，若方程=一+工=1表示椭圆,

445-irnH-3

’5-nO0，nrC5

则，/3>0即，m〉-3，，-3<m<5且mwl,

5-mT^irrl-S,inT^l

22

3Vm<5"是“方程工=1表示椭圆”的必要不充分条件，.•.③正确.

5-ITirrl-3

④\•二次函数y=x?+2x+a,开口向上，；.VxeR,使得K+Zx+aVO不成立，.•.④错误.

故正确的是①②③.

故答案为：①②③.

三、解答题

17.解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022x2+0.028)xl0=l,解得a=0.006；

(2)由己知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)

x10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；(3)受访职工中评

分在［50,60)的有：50x0.006x10=3(人)，记为A”A2,A3；

受访职工评分在［40,50)的有：50x0.004x10=2(人)，记为B1，B2.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，

分别是{A［，A2),{APA3},{APB［},{A］,B2},{A2,A3},{A2,B,},{A2,B2},{A3,

BJ,{A3,B2},{BpB2},

又因为所抽取2人的评分都在［40,50)的结果有1种，即{B］,B2},

故所求的概率为P=±.

18.解：p：-2<x<6.

(I)是q的充分条件，

・・・［-2,6］是［2-m,2+叫的子集

nOO

2-1<-2=>11>4，实数01的取值范围是［4,+8).----------------

・2+m)6

(II)当m=5时，q：-3<x<7.据题意有，p与q—真一假.------------

P真q假时，由J二''enxW0-----------------------

［Y-3或x>7

P假q真时，由(工二2受>6=_3<x<-2或6Vx<7.-----------------

-3&X&7

.••实数x的取值范围为［-3,-2)U(6,7］,----------------

19.解：(I)因点P到点F的距离等于它到直线1的距离，

所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-l为准线的抛物线，…

其方程为y2=4x.…

(II)解法一：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(xPy])，B(x2,

Y2)，

xi+x,二8

依题意，得.…

旷1+丫2=4

①当直线m的斜率不存在时，不合题意....

②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-2=k(x-4),...

y-2=k(x-4)

联立方程组9,

,y=4x

消去y,得lA?-(81?-4k+4)x+(2-4k)2=0,(*)...

OL.2-4k+4

•••X1+X2=J=8,解得k=l.…

此时，方程(*)为X2-8X+4=0,其判别式大于零，…

,存在满足题设的直线m...

且直线m的方程为：y-2=x-4即x-y-2=0.…

解法二：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(xPY1),B(x2,y2),

Xi+Xn=8

依题意，得.…

|/1+丫2=4

VA(X,,y,),B(X2,y2)在轨迹C上，

'y」=4xi…⑴22,、

•••有《。，将(1)-(2),得yj-2=q(x-xQ.…

2

y2=4x2-(2)

当X]=X2时，弦AB的中点不是N,不合题意，…

；.yl~y24

=即直线AB的斜率k=l,...

X1-x2丫1+丫2

注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹C相交)

,存在满足题设的直线m…

且直线m的方程为：y-2=x-4即x-y-2=0....

20.(I)解：四棱准P-ABCD的正视图如图所示.

(II)证明：因为PD，平面ABCD,ADU平面ABCD,

所以PD1AD.

因为AD1DC,PDnCD=D,PDU平面PCD,CDU平面PCD,

所以ADL平面PCD,

因为ADU平面PAD,

所以平面PAD_L平面PCD.

(Ill)分别延长CD,BA交于点O,连接PO,在棱PB上取一点E,

下证AE〃平面PCD,

因为AD/7BC,BC=3AD,

0AAD10A1

所以nn

OBBC3AB2

QA_PE

所以疝加.

所以AE〃OP,

因为OPU平面PCD,AE*平面PCD,

所以AE〃平面PCD.

；公

I✓

石一

21.解：(1)f(2-x)=f(2+x)，

，对称轴x=2,

•・•一1*a_-n2,

2

a=-4,

(2)f(x)=x2+ax+3=(x+-^a)2+3--^a2,

当-［a4-2时，即a24时，函数f(x)在［-2,4］单调递增，.•」(x)max=f(4)=4a+19,

当--1a>4时，即处-8时，函数f(x)在［-2,4］单调递减，.•」(x)max=f(2)=2a+7,

当-2<-/4时，即-8一<4时-，函数f(x)在［-2,-3a)单调递减，在(-去，4］单

调递增，

Vf(4)=4a+19,f(2)=2a+7,

当4a+19>2a+7时，即-6<a<4时，f(x)max=f(4)=4a+19,

当4a+19<2a+7时，即-8<a<-6时，f(x)max=f(2)=2a+7,

=2a+7

综上所述：当a2-6时，f(x)max=4a+19,当a<-6时，f(x)max；

(3)f(x)=x2+ax+3=(x+-1a)2+3--1a2,

当-54-2时，即a1时，函数f(x)在［-2,2］单调递增，...f(x)min=f(-2)=-2a+7,

当-ga"时，即a4-4时，函数f(x)在［-2,2］单调递减，(x)min=f(2)=2a+7,

当-2<-/2时，即-4<a<4时，函数f(x)在［-2,a)单调递减，在(-ga,2］单

调递增，

.♦.f(X)min=f(-=3-'a'

Vxe［-2,2］时,f(x)2a恒成立,

...当此4时，-2a+72a,解得aS」，此时无解，

当aV-4时，2a+72a,解得a*7,BP-7<a<-4,此时实数a的最小值为-7,

当-4VaV4时，3-^a2>a,解得-6VaV2,即-4Va《2,此时实数a的最小值为-4,

4

综上所述a的最小值为-7.

2

22.解：(I)依题意设椭圆「的方程为七(a>b>0),

a'

•••椭圆「的离心率为岑，焦距为2M，

cV3

-―--

a2「

2c=7y^，解得a=2,b=l,0=5/3,

2_.2,2

a-b+c

26

椭圆「的方程为a+丫2=1.

•••点A,B分别是椭圆「的右顶点和上顶点,

AA(2,0),B(0,1),

线段AB：铲尸1，(0<x<2)

设直线1与直线AB平行与椭圆相切于x轴下方的P点,

由题意知当C点与P点重合时，

△CAB的面积取到最大值.

设直线AB的方程为y=~jX+H，

"1+

由，o，消去y得x'-2mx+2m2-2=0....

令4=(-2m)2-4(2m2-2)=0,

解得Iff=-2，或(舍去).…

所以直线1方程为x+2y+2«=0，

点C到直线AB的距离d等于直线1与直线AB的距离,

即匕271^+2泥

5

所以4CAB的面积的最大值：

S十|AB|・同X泥火福