2024版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题五　培优点6　概率与统计的创新题型21

培优点6概率与统计的创新题型概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．考点一概率和数列的综合问题例1(2023·晋中模拟)晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观(如王家大院，常家庄园等)，也有风景秀丽的自然景观(如介休绵山，石膏山等)．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是eq\f(2,3)，选择自然景观的概率为eq\f(1,3)，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为Pn，求Pn.解(1)由题可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))(或者列出分布列)，于是E(X)＝5×eq\f(2,3)＝eq\f(10,3)，D(X)＝5×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(10,9).(2)方法一由题可知P1＝eq\f(1,3)，P2＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,9).当n≥3时，Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(2,3)Pn－2，即Pn＋eq\f(2,3)Pn－1＝Pn－1＋eq\f(2,3)Pn－2，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn＋\f(2,3)Pn－1))为常数数列，且Pn＋eq\f(2,3)Pn－1＝P2＋eq\f(2,3)P1＝eq\f(7,9)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝1(n≥2)，∴Pn－eq\f(3,5)＝－eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(3,5)))，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(3,5)))是以P1－eq\f(3,5)＝－eq\f(4,15)为首项，－eq\f(2,3)为公比的等比数列，∴Pn－eq\f(3,5)＝－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1，∴Pn＝eq\f(3,5)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1.方法二由题可知P1＝eq\f(1,3)，P2＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,9).当n≥3时，Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(2,3)Pn－2，即Pn－Pn－1＝－eq\f(2,3)(Pn－1－Pn－2)，∴{Pn－Pn－1}是以P2－P1＝eq\f(4,9)为首项，－eq\f(2,3)为公比的等比数列，∴Pn－Pn－1＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－2(n≥2)，Pn－1－Pn－2＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－3，……P2－P1＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))0，以上各式相加得Pn－P1＝eq\f(4,9)×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝eq\f(4,15)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1，∴Pn＝eq\f(3,5)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1，又P1＝eq\f(1,3)也满足上式，∴Pn＝eq\f(3,5)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1.规律方法概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式．(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和．(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．跟踪演练1(2023·邯郸模拟)某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛．比赛共设置n道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设某选手答对每道题的概率均为p(0<p<1)，各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)记答题结束时答题个数为X，当n＝3时，若E(X)>1.75，求p的取值范围；(2)①记答题结束时答对题的个数为Y，求E(Y)；②当p＝eq\f(5,6)时，求使E(Y)>4的n的最小值．参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477.解(1)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝1－p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝p2，所以E(X)＝1－p＋2p(1－p)＋3p2＝p2＋p＋1，由E(X)＝p2＋p＋1>1.75得p>eq\f(1,2)，又0<p<1，所以p的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)①P(Y＝k)＝pk(1－p)，其中k＝0,1,2，…，n－1，P(Y＝n)＝pn.方法一Y的均值E(Y)＝p(1－p)＋2p2(1－p)＋…＋(n－1)pn－1(1－p)＋npn＝(1－p)[p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1]＋npn，设Sn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1，利用错位相减可得(1－p)Sn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn，所以E(Y)＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn＋npn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1＋pn＝eq\f(p－pn＋1,1－p).方法二E(Y)＝(p－p2)＋(2p2－2p3)＋(3p3－3p4)＋…＋[(n－1)pn－1－(n－1)pn]＋npn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1＋pn＝eq\f(p－pn＋1,1－p).②依题意，eq\f(\f(5,6)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))n＋1,1－\f(5,6))>4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))n＋1<eq\f(1,6)，即n＋1>＝eq\f(lg6,lg6－lg5)＝eq\f(lg2＋lg3,2lg2＋lg3－1)≈9.848，所以n>8.848，又n∈N*，故n的最小值为9.考点二概率和函数的综合问题例2(2023·淮北模拟)社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科．其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨，将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究．根据社会人口学研究发现，一个家庭有ξ个孩子(仅考虑不超过3个孩子家庭)的分布列为：ξ1230Peq\f(m,p)mm(1－p)m(1－p)2其中m>0,0<p<1，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为eq\f(1,2)且相互独立，记A表示事件“一个家庭有i个孩子(i＝0,1,2,3)”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多)”．(1)若p＝eq\f(1,2)，求P(B)；(2)参数p受到各种因素的影响(如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)，通过改变参数p的值来调控未来人口结构．若希望P(ξ＝2)增大，如何调控p的值？参考公式：P(M|N)＝eq\f(PMN,PN)，P(M)＝eq\i\su(k＝0,n,P)(M|Nk)P(Nk)．解(1)由题意得eq\f(m,p)＋m＋m(1－p)＋m(1－p)2＝2m＋m＋eq\f(1,2)m＋eq\f(1,4)m＝1，解得m＝eq\f(4,15)，又P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝Ceq\o\al(1,1)×eq\f(1,2)，P(B|A2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，P(B|A3)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，且B＝BA0＋BA1＋BA2＋BA3，由全概率公式，得P(B)＝eq\i\su(i＝0,3,P)(B|Ai)P(Ai)＝eq\f(1,2)·eq\f(m,p)＋Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋C\o\al(3,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3))m·(1－p)＝eq\f(m,2p)＋eq\f(m,4)＋eq\f(1,2)m(1－p)，由p＝eq\f(1,2)，m＝eq\f(4,15)，得P(B)＝eq\f(2,5).(2)由题意得P(ξ＝2)＝m，考虑m的变化即可，由eq\f(m,p)＋m＋m(1－p)＋m(1－p)2＝1，得eq\f(1,m)＝p2－3p＋eq\f(1,p)＋3，设f(p)＝p2－3p＋eq\f(1,p)＋3,0<p<1，则f′(p)＝eq\f(2p3－3p2－1,p2)，记g(p)＝2p3－3p2－1，则g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)<0，故g(p)在(0,1)上单调递减，∵g(0)＝－1，∴g(p)<0，∴f′(p)<0，f(p)在(0,1)上单调递减，因此，增加p的取值，eq\f(1,m)会减小，m会增大，即P(ξ＝2)增大．规律方法构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．跟踪演练2(2023·浙江金丽衢十二校联考)某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立．已知生产一件产品的利润如下表：等级一等二等三等利润(万元/每件)0.80.6－0.3(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；(2)求该公司每天所获利润ξ(万元)的均值；(3)若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加n件，其成本也将相应提升n－lnn(万元)，假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由．(ln2≈0.69，ln3≈1.1)解(1)设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件eq\x\to(A)，P(A)＝0.5，P(eq\x\to(A))＝0.5,2件产品至少有一件为一等品事件为AA＋Aeq\x\to(A)＋eq\x\to(A)A，其概率P＝P(AA)＋Ceq\o\al(1,2)P(A)P(eq\x\to(A))＝0.52＋2×0.5×0.5＝0.75.(2)设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.1，则ξ的所有可能取值为1.6,1.4,1.2,0.5,0.3，－0.6，P(ξ＝－0.6)＝[P(C)]2＝0.01，P(ξ＝0.3)＝Ceq\o\al(1,2)P(B)P(C)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(ξ＝0.5)＝Ceq\o\al(1,2)P(A)P(C)＝2×0.5×0.1＝0.1，P(ξ＝1.2)＝[P(B)]2＝0.16，P(ξ＝1.4)＝Ceq\o\al(1,2)P(A)P(B)＝2×0.5×0.4＝0.4，P(ξ＝1.6)＝[P(A)]2＝0.25，则ξ的分布列为ξ－0.60.30.51.21.41.6P0.010.080.10.160.40.25E(ξ)＝－0.6×0.01＋0.3×0.08＋0.5×0.1＋1.2×0.16＋1.4×0.4＋1.6×0.25＝1.22.(3)由(2)可知，每件产品的平均利润为1.22÷2＝0.61(万元)，则增加n件产品，利润增加为0.61n万元，成本也相应提高(n－lnn)万元，所以净利润为0.61n－n＋lnn＝lnn－0.39n，n∈N*，设f(x)＝lnx－0.39x，则f′(x)＝eq\f(1,x)－0.39，当x<eq\f(100,39)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>eq\f(100,39)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝eq\f(100,39)时，f(x)取得最大值，又2<eq\f(100,39)<3，因为x只能取整数，所以x＝2或x＝3，此时f(x)可能为最大值，f(2)＝ln2－0.39×2≈0.69－0.78＝－0.09<0，f(3)＝ln3－3×0.39≈1.1－1.17＝－0.07<0，即在f(x)取得最大值时也是亏本的，所以不应该增加产量．专题强化练1．(2023·石家庄模拟)国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次．假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．(1)若m＝0.4，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的均值最小，并求化验总次数；(2)若m＝0.8，设每人血样单独化验一次费用为5元，k个人混合化验一次费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的均值最小，并求化验总费用．参考数据及公式：eq\r(10)≈3.16，(1＋x)n≈1＋nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01)．解(1)设每人血样化验次数为X，若混合血样呈阴性，则X＝eq\f(1,k)，若混合血样呈阳性，则X＝eq\f(1,k)＋1，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,k)))＝0.996k，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,k)＋1))＝1－0.996k，所以E(X)＝eq\f(1,k)×0.996k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k)))×(1－0.996k)＝1＋eq\f(1,k)－0.996k＝1＋eq\f(1,k)－(1－0.004)k≈eq\f(1,k)＋0.004k，令f(x)＝eq\f(1,x)＋0.004x，则f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋0.004＝eq\f(0.004x2－1,x2)，所以f(x)在(0,5eq\r(10))上单调递减，在(5eq\r(10)，＋∞)上单调递增，因为k∈Z，且f(15)＝eq\f(1,15)＋0.004×15≈0.1267，f(16)＝0.1265，所以当k＝16时，f(x)取得最小值，所以E(X)的最小值为0.1265.所以按16人一组，每个人血样化验次数的均值最小，此时化验总次数为4000×0.1265＝506.(2)设每组k人，每组化验总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y＝k＋4，若混合血样为阳性，则Y＝6k＋4，且P(Y＝k＋4)＝0.992k，P(Y＝6k＋4)＝1－0.992k，所以E(Y)＝(k＋4)×0.992k＋(6k＋4)(1－0.992k)＝6k－5k×0.992k＋4，每个人血样的化验费用为eq\f(EY,k)＝6－5×0.992k＋eq\f(4,k)＝6－5×(1－0.008)k＋eq\f(4,k)≈6－5×(1－0.008k)＋eq\f(4,k)＝1＋0.04k＋eq\f(4,k)≥1＋2eq\r(0.04k·\f(4,k))＝1.8，当且仅当0.04k＝eq\f(4,k)，即k＝10时取等号，所以当10个人一组时，每个人血样化验费用的均值最小，化验总费用为4000×1.8＝7200(元)．2．(2023·广州模拟)随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．(1)公司内部测试的活动方案设置了第i(i∈N*)次抽奖中奖的名额为3i＋2，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．①求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；②求甲参加抽奖活动次数的分布列和均值；(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第i(i∈N*)次抽奖中奖的概率为pi＝eq\f(9＋－1i,40)，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2n(n∈N*)次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于eq\f(9,2).(1)解①甲在第一次中奖的概率为P1＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，乙在第二次中奖的概率为P2＝eq\f(10,15)×eq\f(8,13)＝eq\f(16,39).②设甲参加抽奖活动的次数为X，则X＝1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)；P(X＝2)＝eq\f(10,15)×eq\f(8,13)＝eq\f(16,39)；P(X＝3)＝eq\f(10,15)×eq\f(5,13)×1＝eq\f(10,39).X123Peq\f(1,3)eq\f(16,39)eq\f(10,39)∴E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(16,39)＋3×eq\f(10,39)＝eq\f(25,13).(2)证明丙在第奇数次中奖的概率为eq\f(1,5)，在第偶数次中奖的概率为eq\f(1,4).设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则P(A)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\f(3,4)))n＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n，令m≤n，m∈N*，则丙在第2m－1次中奖的概率P(Y＝2m－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))m－1×eq\f(1,5)，在第2m次中奖的概率P(Y＝2m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))m－1×eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))m－1×eq\f(1,5)，即P(Y＝2m－1)＝P(Y＝2m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))m－1×eq\f(1,5)，在丙中奖的条件下，在第2m－1,2m次中奖的概率为eq\f(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))m－1,PA)，则丙参加活动次数的均值为E(Y)＝eq\f(1,5PA)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(3,5)×3＋4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×5＋6))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n－12n－1＋2n))，设S＝3＋7×eq\f(3,5)＋