2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　培优点8　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用27

培优点8圆锥曲线中非对称韦达定理的应用在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求eq\f(x1,x2)，eq\f(3x1x2＋2x1－x2,2x1x2－x1＋x2)或λx1＋μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”．考点一分式型例1(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2eq\r(5)，0)，离心率为eq\r(5).(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算．跟踪演练1已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，M，N分别为左、右顶点，直线l：x＝ty＋1与椭圆C交于A，B两点，当t＝－eq\f(\r(3),3)时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上．(3)设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：eq\f(k1,k2)为定值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二比值型例2(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝eq\f(\r(3),3)x，且点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))在C上．(1)求C的方程；(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，求l的斜率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法比值型问题适用于x1＝λx2型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3(x2－1)，得到eq\f(x1－1,x2－1)＝－3，继续采用倒数相加解决．跟踪演练2已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AQ,\s\up6(→))，求△OPQ的面积及直线l的方程．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________