线段的定比分点公式及应用

线段的定比分点公式及应用河北史彩玉OaOabPPP图11、定义式：设P与P为直线l上的两点，点P为直线l上不同于P、P的任意一点，则存在一个实数，使得，叫做P分有向线段所成的比。当＞0时，P为内分点；当＜0时，P为外分点；特别地当=时，P为PP的中点。2、坐标式：若设P（x，y）、P（x，y）、P(x，y)，将坐标代入中得到定比分点公式。特例当=时，。3、向量式：如图1所示，若设=a，=b，由于，则－=（－）即－a=（b－），整理得定比分点公式a+b。典例剖析如下：一、定义式的运用例1（1）已知点P分所成的比为，则点B分所成的比为___________。（2）若||=3，点P在的延长线上，且=2，则点P分所成的比为_______。（3）点P在所在直线上，且，则点P分所成的比为_______。P(3)P(3)甲PP21P(3)乙PP21(2)(2)PPP23PAPA(1)13B解析：观察图形，根据定义得：（1）点B分所成的比为；（2）点P分所成的比为；（3）若点P为的内分点，则；若点P为的外分点，则=－2。二、坐标式“”的运用例2（1）△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，1）、B（4，5）、C（7，－3）则△ABC的重心为___________。（2）△ABC三边的中点为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1）则△ABC的重心为___________。（3）△ABC两个顶点的坐标分别为A（0，0）、B（4，0）其重心坐标为G(3，1)，则顶点C的坐标为_____________。分析：直接运用重心坐标公式求值。解析：（1）=3，=1，故重心为（3，1）。（2）设A（x，y）、B（x，y）C（x，y），由题意得：，，三式相加得x+x+x=－2，同理y+y+y=4，故重心为（－，）。（3）设顶点C（x，y），由重心坐标公式得，解得x=5，y=3，故顶点C的坐标为（5，3）。例3已知△ABC的两顶点A（3，7）和B（－2，5），求C点的坐标，使AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上。分析：可用中点坐标公式求解，注意到中点在坐标轴上，可利用横坐标为0或纵坐标为0建立关系。解析：设C点的坐标为（x，y），根据中点坐标公式，可得AC的中点坐标为（，），∵中点在x轴上，∴=0，即y=－7。同样可有BC的坐标为（，），∵中点在y轴上，∴=0，∴x=－2，∴C点的坐标为（－7，－2）。三、向量式a+b应用例4、已知A（3，3）、B(－1，5)一次函数的图像与线段AB有公共点，求实数k的取值范围。分析：设交点为P，则由定比分点公式知可用k表示定比。由于P是内分点，所以≥0，从而求出k的范围。解析：设P（x，y）为一次函数的图像与线段AB的交点，把P看作的定比分点，其定比为，则有≥0，另一方面，由定比分点公式有=，点P在函数的图像上，∴，≥0，解得或。而P点与B点重合时，k=－4，也适合，故或图（2）ABCDPQR图（2）ABCDPQR分析：取两个基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解析：设，。由题意有：，，则，∵A、Q、D三点共线，于是=；∵P、R、C三点共线，于