专题2.2 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（解析版）

2.2二次函数与一元二次方程，不等式知识点1一元二次不等式一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数.知识点2二次函数的零点一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点．注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系的图象的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集的解集注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间．（2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解．重难点1一元二次不等式的解法1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解出的范围，进而可得.【详解】，所以，故选：C2．一元二次不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由一元二次不等式的解法直接求解即可.【详解】，或故不等式的解集为.故选：A.3．已知全集，集合，集合，则集合（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集和补集的定义可求得集合.【详解】因为，，又因为，所以，所以．故选：D.4．使“”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】由，即，解得，因为真包含于，所以是成立的一个充分不必要条件.故选：A5．解下列不等式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）因式分解可得结果；（2）配方法可得结果；（3）配方法可得结果.【详解】（1）由，得，得，所以不等式的解集为.（2）由得，得，得，得或，即或，所以原不等式的解集为或.（3）由得，所以.所以原不等式的解集为.重难点2三个“二次”关系的应用7．已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围.【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个，所以方程有两个实根，即，解得或（舍去），当时，又，，所以要使集合有且只有一个元素，则有，解得，故．故选：．8．（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（

）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则【答案】AD【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对AB利用二次函数性质可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以，即，由于，所以.，当时等号成立，故A正确，B错误.C，不等式的解集为，所以，故C错误.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，所以，故D正确.故选：AD9．（多选）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或【答案】AD【分析】根据不等式解集为或，可判断a的正负，确定是的两根，从而求出，由此一一判断每个选项，可得答案.【详解】关于的不等式解集为或,结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系，可得，且是的两根，A正确；则，故，所以即，即的解集为，B错误；由于的不等式解集为或,故时，，即，C错误；由以上分析可知不等式即，因为，故或，故不等式的解集为或，D正确，故选：AD10．（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（

）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则【答案】CD【分析】根据集合子集的个数列出方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以方程只有一解，所以，所以，由于，所以.A，，当时等号成立，故A错误.B，，当且仅当时等号成立，故B错误.C，不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，故C正确.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，所以，故D正确，故选：CD11．已知不等式的解集是，求a，c的值.【答案】【分析】由一元二次不等式的解与二次方程的根之间关系，由韦达定理即可求解.【详解】由于不等式的解集是，所以和是的两个根，由韦达定理可得且，解得，12．利用函数与不等式的关系．(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由题意知，求出，代入解不等式即可；（2）由题意知，代入化简，解不等式即可；【详解】（1）由题意知，方程的两个根分别为和，且由韦达定理知，解得，则不等式即，解得：或所以不等式的解集为：（2）由题意知，方程的两个根分别为和，且由韦达定理知，即，则不等式，又，则，解得：，所以不等式的解集为：重难点3含参数的一元二次不等式的解法13．（多选）设区间的长度为.已知一元二次不等式的解集的区间长度为l，则（

）A．当时，B．l的最小值为4C．当时，D．l的最小值为【答案】AD【分析】根据一元二次不等式的解法解出不等式，运用代入法，并结合基本不等式求解最小值即可.【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以，当时，，故A正确，C错误；因为，所以（当且仅当，即时，等号成立），所以l的最小值为，故D正确，B错误.故选：AD14．（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．2【答案】CD【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可.【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；所以，，，所以所以不等式的解集为：，根据0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：，则，解得故可取和2，故C,D正确，AB错误；故选：CD.15．已知，则关于的不等式的解集是．【答案】【分析】关于的不等式等价于，结合的范围，比较根的大小，即可得结果.【详解】关于的不等式等价于，由，得，所以不等式的解集为.故答案为：..16．设集合，.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)62(2)或【分析】（1）化简集合并得集合的元素个数，从而利用非空真子集的个数公式计算即可；（2）分两种情况讨论，当时，根据计算，当时，由列不等式组，求解集即可.【详解】（1）当时，集合，A中共有6个元素，所以A的非空真子集的个数为.（2）当集合时，无解，即，解得，此时满足；当集合，即时，，若，则集合，因为，所以，所以，不符合题意，舍去；若，则集合，因为，所以，所以，综上所述，实数m的取值范围为或.17．已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据二次不等式的解法求解即得；（2）分类讨论求解即可得解.【详解】（1）当时，不等式化为，解得或.∴不等式的解集为.（2）关于的不等式，即，当时，得，解集为；当时，无解，解集为空集；当时，得，解集为.综上所述，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.18．解关于x的不等式【答案】答案见解析【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可.【详解】原不等式可化为.当，即时，或；当，即时，；当，即时，或.综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.19．若，解不等式．【答案】【分析】根据题意，，转化不等式，求解即可．【详解】解：∵，∴，原不等式可化为，解得．故原不等式的解集为．重难点4解简单的分式不等式20．已知，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式不等式和绝对值不等式的解法先求出集合与的具体取值，然后再利用交集的概念即可求解.【详解】因为，又因为或，所以，故选：D.21．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为或，故，又因为，则.故选：C.22．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对集合及化简，再由交集的定义即可求得.【详解】因为，所以.故选：C.23．不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】直接解分式不等式即可.【详解】由或，所以不等式的解集为：或，故选：A.24．不等式的解集是．【答案】【分析】化为整式不等式求解.【详解】不等式等价于，解得，所以不等式的解集是.故答案为：25．不等式的解集是.【答案】【分析】进行移项通分，变形成一元二次不等式求解.【详解】.解得或.故答案为：重难点5利用二次函数性质的含参问题26．已知在上是减函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的性质求解．【详解】函数的图象开口向上，对称轴为，若函数在上是减函数，则，解得，即的取值范围为.故选：B．27．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】.【分析】根据一次函数与二次函数的单调性分类讨论求解.【详解】当时，在区间上单调递减，符合题意；当时，函数图象的对称轴为直线，因为f（x）在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意．综上，实数的取值范围为.故答案为：28．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为．【答案】【分析】根据函数特征设然后判断并求解从而解得函数解析式.【详解】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12，所以，所以故答案为：29．已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为.【答案】【分析】由题可得图象的对称轴为，则分，两种情况讨论即可得答案.【详解】函数图象的对称轴为，当，即时，，解得；当，即时，，解得（舍去）或（舍去），综上：.故答案为：30．已知二次函数的对称轴为x＝1，且经过点与．(1)求的解析式；(2)已知t＞0，函数在区间上的最小值为－1，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的对称性求出两个,设函数点代入求参即可;（2）根据函数单调性,再根据最值求参.【详解】（1）∵二次函数的对称轴为，且经过点，∴其与轴另一交点为．设，将代入，解得：．∴.（2）∵二次函数的对称轴为，单调递减,单调递增,若，单调递减,单调递增,则，此时成立；若，单调递增,则，，解得，舍去．综上所述，．31．若函数的单调增区间为，求的值.【答案】－4【分析】利用对称轴求得二次函数单调区间，即求得结果.【详解】因为二次函数的单调增区间是，依题意即是，所以，解得.重难点6一元二次不等式的实际应用32．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定信息，求出利润关于的函数关系，再列出不等式并求解作答.【详解】设该厂每天获得的利润为元，则，，，依题意，，解得，所以当，且时，每天获得的利润不少于1300元.故选：B33．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，由相似三角形将表示出来，从而表示出，然后求解不等式，即可得到结果.【详解】

如图，过作于，交于，易知，即，则，．所以矩形花园的面积，解得．故选:C．34．某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%.(1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？(2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.【答案】(1)250(2)【分析】（1）根据已知条件列不等式，由此求得最多调出的人数；（2）根据“甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润”列不等式，分离常数，根据函数的单调性求得的取值范围.【详解】（1）设从甲项目调出人参加乙项目工作，由题意得：，即，又，所以.即最多调出250人参加乙项目工作.（2）由题知，乙项目工作的工人创造的年总利润为万元，甲项目余下工人创造的年总利润为万元，则，所以，即恒成立，因为，函数在上单调递减，所以.又，所以，35．某种饲料原来每袋成本为10元，售价为15元，每月销售8万袋．(1)若售价每袋提高1元，月销售量将相应减少2000袋，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饲料每袋售价最多为多少元？(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每袋售价每提高1元，月销售量将相应减少万袋．则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．【答案】(1)(2)当售价为时有最大利润为【分析】（1）设饲料每袋售价为元，则，解得答案.（2）设月总利润为，，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）设饲料每袋售价为元，则，解得，故饲料每袋售价最多为元（2）设月总利润为，则，当，即时等号成立，此时故当售价为时有最大利润为.36．百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统．这场史无前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，也铸就了激励14亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果．习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上总结了“上下同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人民”的脱贫攻坚精神．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中．(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围：(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．【答案】(1)(2)a的最大值为6.5【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解；（2）分别求出网店销售的利润和技术指导后养羊的利润，再分离参数结合基本不等死即可得出答案.【详解】（1）解：由题意，得，整理得，解得，又，故；（2）解：由题意知网店销售的利润为万元，技术指导后，养羊的利润为万元，则恒成立，又，∴恒成立，又，当且仅当时等号成立，所以，∴，即a的最大值为6.5．37．某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为（元）.【答案】120或130【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可.【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住，所以，旅馆每晚的收入为元，因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，所以，，即，解得，因为是10的整数倍，所以，每个床位的定价应为120或130元.故答案为：120或130重难点7有关一元二次不等式恒成立的问题38．“”是“在上恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由不等式恒成立求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】由在上恒成立，得在上恒成立，令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，所以，所以，所以“在上恒成立”的充要条件为，所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件，故选：A39．若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案.【详解】原不等式可化为，设，则，当且仅当，且，即时，函数有最小值为2.因为恒成立，所以.故选：C.40．若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简已知不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得的取值范围.【详解】依题意，不等式对任意实数x均成立，即不等式恒成立，当时，不等式可化为恒成立，当时，，解得，综上所述，的取值范围是.故选：B41．已知函数．(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；(3)若方程有两个大于1的不等实数根，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用二次函数单调性，列出不等式求解作答.（2）利用一元二次不等式恒成立，列出不等式求解作答.（3）利用一元二次方程实根分布求解作答.【详解】（1）二次函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，因此，解得，所以实数a的取值范围是.（2）依题意，，即，解得，所以实数a的取值范围是.（3）依题意，，即，解得，所以实数a的取值范围是.42．，恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题运算求解.【详解】因为，整理得，当时，则不恒成立，不合题意；当时，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故答案为：.43．已知“，”为假命题，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“，”为真命题，再利用二次函数的图象特征即可求解.【详解】由“，”为假命题，可知“，”为真命题，设，则有在上恒成立，则须满足：，解得：，故答案为：.44．若，不等式恒成立，则实数m的最小值为.【答案】/【分析】构造新函数，利用二次函数的性质求得最大值，进而求得实数m的最小值.【详解】时，不等式恒成立，即恒成立，令时，，则，则，则，故实数m的最小值为故答案为