专题3.1函数的概念及其表示、分段函数（十一个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题3.1函数的概念及其表示、分段函数知识点1函数的概念1．函数的定义设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.2．函数的定义域与值域函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．3．对应关系除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．知识点2同一个函数1．函数三要素由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．2．相同函数值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数．知识点3区间1．区间的概念(为实数,且)定义名称符号数轴表示闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间2．其他区间的表示定义符号知识点4常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数重难点1求函数的定义域及区间的表示1．已知区间，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由区间的定义列式即可求得结果.【详解】由题意可知，，解得.故选：A.2．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数定义域的定义，结合二次根式的定义以及分母的性质，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意可得：，解得.故选：D.3．函数中，自变量x的取值范围是．【答案】且【分析】根据分母不等于零，开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.【详解】由题意，，解得且，所以自变量x的取值范围是且.故答案为：且.4．函数的定义域为.【答案】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，，解得，所以的定义域是.故答案为：5．函数的定义域为.【答案】【分析】根据偶次根式有意义及分母不为零计算求解即可.【详解】因为函数，满足，即，函数的定义域为.故答案为：.6．把下列数集用区间表示．(1)；(2)；(3)；(4)或．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】由区间的概念求解即可.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）或.7．求下列函数的定义域：(1)(2)；(3)(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)且，(5)【分析】（1）由被开方数非负，列不等式组求解即可，（2）由分母不为零可求得结果，（3）由被开方数非负，且分母不为零可求得结果，（4）由底数不为零，且分母不为零可求得结果，（5）由被开方数非负，可求得答案.【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得，从而函数的定义域为．（2）因为当，即时，有意义，所以函数的定义域是，即．（3）要使函数有意义，则且，解得且，所以函数的定义域为．（4）要使函数有意义，则且，即且，所以函数的定义域是且，（5）要使函数有意义，则，解得，则函数的定义域是．重难点2同一函数的判断8．下列选项中表示同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】根据定义域，值域以及函数表达式是否相同，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于B，因为定义域为，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；对于C，易知函数和的定义域为，值域为，且所以是同一函数．对于D，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数.故选：C．9．下列与函数是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案.【详解】函数定义域为R.对A，函数定义域为，故错误；对B，函数定义域为，故错误；对C，函数定义域为R，函数为，对应关系不同，故错误；对D，函数定义域为R，函数可化简为，故正确.故选：D.10．各组函数是相等函数的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据若两函数的定义域相同，对应关系相同，则这两函数为同一个函数逐个分析判断即可【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误，对于B，，的定义域都为，因为，所以两函数不是相等函数，所以B错误，对于C，，的定义域都为，因为，所以这两个函数不是相等函数，所以C错误，对于D，因为的定义域都为，且对应关系相同，所以是相等函数，所以D正确，故选：D11．下列四组函数中表示同一个函数的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】依次判断各选项中的函数定义域和对应关系是否都相同即可.【详解】对于A，，，与对应关系不同，与不是同一函数，A错误；对于B，与的对应关系不同，与不是同一函数，B错误；对于C，与的定义域均为，对应关系相同，与是同一函数，C正确；对于D，由得：，即的定义域为，又的定义域为，与定义域不同，与不是同一函数，D错误.故选：C.12．（多选）下列各组函数表示的是不同函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】ACD【分析】利用相同函数的定义求解.【详解】A.的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；B.的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；C.的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；D.，由得，所以的定义域为，由，得或，所以函数的定义域为或，所以不是同一函数，故错误；故选：ACD13．下列各对函数中是同一个函数的是(填序号)．①与；②与；③与；④与.【答案】②④【分析】根据函数定义的三要素即可判断.【详解】①函数，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；②与的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③与的对应关系不相同，不是同一个函数；④与的定义域和对应关系相同，是同一个函数．故答案为：②④重难点3求值域14．（多选）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据函数直接分析值域即可.【详解】对于A，的值域为，故A错误；对于B，的值域为，故B正确；对于C，的值域为，故C错误；对于D，定义域，即，则值域为，故D正确.故选：BD15．函数的最大值与最小值分别为M和m，则的值为．【答案】2【分析】先求出函数的定义域，从而求出的取值范围，从而求出，进而即可得到答案．【详解】依题意可得函数的定义域为，即，则，所以，所以，，即．故答案为：2．16．求下列函数的值域.(1)；(2)，.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分离常数的方法确定的值域；（2）判断出在上的单调性，从而求出值域.【详解】（1）函数的定义域为，的值域为.（2）,则的对称轴是，在上单调递减，在单调递增，故；，的值域为.17．求下列函数的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由可推导得到函数值域；（2）将的取值代入解析式即可求得结果；（3）采用分离常数法可求得函数值域；（4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题.【详解】（1），，即，的值域为.（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；，的值域为.（3），，，的值域为.（4）令，则且，，则当时，，的值域为.18．求下列函数的值域．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）采用分离常数法可知即可得其值域为；（2）利用换元法，将原函数表示为，根据二次函数单调性可求得结果；（3）求得函数定义域为，求出二次函数最值即可求得其值域.【详解】（1）由于，且；所以可得，因此函数的值域是．（2）令，所以，即，当时，，即函数的值域为.（3）易知需满足，即，即函数定义域为；，由二次函数性质可得，所以的值域为．19．求下列函数的值域.(1);(2);(3)，(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）用换元法转化为二次函数在给定区间的值域问题求解；（2）用分离常数法求解；（3）根据二次函数的性质求解；（4）利用基本不等式求解．【详解】（1）设，则，所以，根据二次函数的图象和性质，函数的值域为.（2）函数的定义域为，，所以函数的值域为.（3）因为函数图象的对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增，所以函数的值域为.（4），，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立.故函数值域为.重难点4求抽象函数的定义域20．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：C21．若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函数的定义域为求出的定义域，再由可得答案.【详解】函数的定义域是满足，即，又分母不为0，则，所以函数的定义域为：故选：C.22．若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可；【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D23．已知函数的定义域是，则函数的定义域是．【答案】【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法即得.【详解】因为函数的定义域为，所以，则，所以函数的定义域为，故答案为：.24．函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【分析】利用抽象函数的定义域可得出关于的不等式组，即可求得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：25．已知函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.【详解】因为函数的定义域为，所以；即函数的定义域为；由解得，因此的定义域为.故答案为：重难点5根据函数的值域求定义域26．若函数的值域是，则此函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分类讨论解不等式即可.【详解】由函数的值域是，所以当时，，当时，即，解得，所以函数的定义域为：，故选：D27．（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】分别令，，解方程解得，设定义域为，根据图象得到或，然后判断即可.【详解】令，解得，令，解得或-2，可作出函数图象如图：设定义域为，所以或，故AD正确，BC错.故选：AD.28．（多选）若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据二次函数单调性，以及值域，结合其函数特点，即可容易求得结果.【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，故，又，故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC.故选：BC.29．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解.【详解】，当时，若，即，解得或；当时，若，即，解得或，此时.所以，，作出函数的图象如下图所示：因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；当时，区间的长度取最大值.所以，区间的长度的取值范围是.故选：BC.30．已知函数的值域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为.故答案为：31．为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为．【答案】4【分析】根据的定义，函数的定义域和值域分析求解【详解】因为函数，，的值域为，所以最大取到3，最小取到，所以的最大值为，故答案为：432．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有个.【答案】9【分析】根据解析式、值域判断定义域的可能种数，由不同定义域与值域的映射关系确定函数的个数.【详解】由函数的解析式为y＝x2，值域为{1,4}，∴函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，∴这样的函数共9个.故答案为：9.知识点5函数的表示法函数的表示法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．知识点6分段函数1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的．（3）分段函数的图象要分段来画．重难点6函数的表示法33．已知函数，如下表所示：x011x0111则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表格求解即可.【详解】由题意，当时，，当时，，当时，，故不等式的解集为．故选：D34．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（）xy2345A．[2，5] B．{2，3，4，5}C．(0，20] D．N＋【答案】B【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可.【详解】由题中列表表示的函数可知函数的值域为.故选：B.35．函数与的对应关系如下表133123则的值为（

）A．0 B．3 C．1 D．－1【答案】A【详解】由列表法表示的函数可知，，则的值为036．如下图所示是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象，根据图象回答下列问题：

（1）在这个月中，日最低营业额是在4月日，到达万元．（2）在这个月中，日最高营业额是在4月日，到达万元．（3）这个月从日到日营业额情况较好，呈逐步上升趋势．【答案】92216921【分析】根据4月份的营业情况统计图象结合对应关系即可求解.【详解】（1）由4月份的营业情况统计图象得：当日期在9日时，日营业额最小，此时为2万元；（2）由4月份的营业情况统计图象得：当日期在21日时，日营业额最大，此时为6万元；（3）由4月份的营业情况统计图象得：从9日到21日营业额情况较好，呈逐步上升趋势.故答案为：9；2；21；6；9；2137．下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．

(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）以测试序号为横坐标，成绩为纵坐标描点即可的函数图象；（2）根据各人成绩与平均成绩比较分析即可.【详解】（1）不宜用解析法表示，用图象法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：

（2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．38．下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.

(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为？(3)大约在什么时刻内，气温在以上？(4)变量Q是关于变量t的函数吗？【答案】(1)最高气温大约是，最低气温大约是(2)在0时、8时和22时(3)在8时到22时之间(4)Q是t的函数【分析】（1）（2）（3）认真观察函数的图像，根据时间与温度的关系解答，（4）根据函数的定义可判断.【详解】（1）观察图像可知：全天最高气温大约是，在14时达到.全天最低气温大约是.（2）观察图像可知：大约在0时、8时和22时，气温为.（3）观察图像可知：在8时到22时之间，气温在以上.（4）根据函数定义，由图像可知对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数.重难点7函数解析式的求法39．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，设二次函数为，因的最大值是8，所以，当时，，即二次函数，由得:，解得：，则二次函数，故选：A.40．若二次函数满足，且，则的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式.【详解】设，，∵，则，又∵，令，则，∴，即，，令，则，，即，，∴，，.故选：D.41．（多选）设函数为一次函数，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】设，代入，通过对比系数列方程组，求得，进而求得.【详解】设，由于，所以，所以，解得或，所以或.故选：AD42．（1）已知为二次函数，且，则．（2）已知，则．【答案】【分析】（1）设，由已知等式可构造方程组求得的值，进而得到；（2）采用换元法，设，可求得，进而得到.【详解】（1）设，，，解得：，；（2）令，则，，，.故答案为：；.43．求下列函数的解析式(1)；(2)是一次函数，且满足【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用换元法可得答案；（2）设代入，根据多项式相等可得答案.【详解】（1）令，则，所以，可得；（2）设，所以，可得，解得或，所以或.44．已知，求函数的解析式．【答案】【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.【详解】①，以替换，得②，得：，所以.重难点8分段函数求值或值域45．著名的狄利克雷函数，则A．0 B．1C． D．【答案】B【分析】根据狄利克雷函数的定义求解.【详解】；故选：B.46．已知函数，则.【答案】【分析】由自变量的值大于0还是小于0选取不同的表达式计算.【详解】.故答案为：．47．已知函数，设，，则与的大小关系是．【答案】/【分析】根据分段函数解析求出与的值，即可判断.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：48．(1)已知函数，则函数的定义域为，值域为．(2)若定义运算，则函数的值域是．【答案】【分析】（1）由分段函数解析式可知定义域为，由二次函数性质计算可得值域为；（2）根据函数定义写出解析式，画出函数图象即可求得值域.【详解】（1）由已知得，的定义域为，又当时，；当时，；故函数的值域为.（2）根据题意可知，当时，即时，；当时，；即可得，画函数的图象如图所示：

得其值域是.故答案为：，，49．已知函数，关于函数有以下四个结论：①的定义域为；②的值域为；③若，则的值是；④的解集为.其中所有正确结论的序号是.【答案】②③【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断①②，再结合函数解析式分类讨论分别计算③④；【详解】解：因为，函数图象如下所示：显然函数的定义域为，故①错误；又，所以函数的值域为，故②正确；当时，解得或（舍去），当时，解得（舍去），即若，则，故③正确；当时，解得，当时，解得，综上的解集为，故④错误；故答案为：②③50．已知函数.若，求实数等于；函数在区间上值域.【答案】或【分析】根据分段函数解析式分类讨论分别求出的值，画出在区间的图象，即可得到函数在区间上的值域.【详解】因为且，当时，，解得或（舍）；当时，，解得，由上知：或.函数在区间图象如下图所示：

，，，由图象可知函数在区间的值域为.故答案为：或，；重难点9已知分段函数的值求参数或自变量51．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】先令，解得，再令，求出.【详解】当时，，解得，负值舍去，当时，，解得，不合要求，舍去，令，当时，，解得，负值舍去，当时，，解得，不合要求，舍去，综上：.故选：A52．已知函数若，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】先求出在各段上的值域，根据求得的值，进一步求得.【详解】当时，的值域为，当时，的值域为；当时，的值域为.要使，则，所以，解得.故选：D.53．(多选)设函数，若，则（

）A． B．3C． D．1【答案】CD【分析】根据分段函数解析式，对进行分类讨论计算即可求得结果.【详解】因为，又所以；(1)当时，，解得.(2)当时，，所以；综上可知或.故选：CD54．设，若，则x的值为．【答案】【分析】根据分段函数的定义域，分求解.【详解】若，则无解；若，则，所以x＝.若，则无解．综上：.故答案为：55．已知函数(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由分段函数，分别和解即可.（2）由分段函数，分别和解即可.【详解】（1）当时，，解得或（舍去）；当时，，解得.所以的值为或（2）当时，，不符合题意，，且，解得.所以的取值集合是.56．已知函数，若，求的值．【答案】或【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，分类讨论，即可求解.【详解】当时，令，可得，符合题意；当时，令，可得，符合题意；当时，令，可得，不符合题意；综上可知，或.故答案为：或.重难点10分段函数不等式57．设，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别在和的情况下解一元二次不等式即可.【详解】当时，由得：，解得：或，；当时，由得：，解得：，；不等式的解集是.故选：A.58．设函数,若，则的取值范围是.【答案】【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果.【详解】（i）当，即时，，，由得，即，因为，所以恒成立，所以；（ii）当，即时，，，由得，即，即恒成立，所以；（iii）当，即时，，，由得，即，所以，综上所述：的取值范围是.故答案为：59．已知，满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据自变量的范围，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.【详解】若，则，故，由可得，当，则，故，由可得，当时，则不符合要求，综上可知：的取值范围为故答案为：60．已知函数则使成立的的值组成的集合为.【答案】【分析】分段函数分段解一元二次不等式即可得解集.【详解】由题意可得或由解得；由解得.综上所述，使成立的的值组成的集合为.故答案为：.61．已知函数，则不等式的解集是．【答案】【分析】分和，利用分段函数求解.【详解】当时，由－x，解得x，当时，由2x－1，解得x，综上不等式的解为x或x.所以.故答案为：62．已知函数f（x）＝若f（a）＝4，则实数a的值是；若，则实数a的取值范围是．【答案】－2或5【分析】由分段函数函数值求解参数及分类讨论解不等式即可；【详解】若f（a）＝4，则或解得或.若，则或解得或，∴a的取值范围是．故答案为：－2或5；重难点11根据分段函数的值域求参数63．已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围.【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上