专题3.1椭圆及其标准方程（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（解析版）

专题3.1椭圆及其标准方程知识点一椭圆的定义我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距．根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集．知识点二椭圆的标准方程椭圆焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标焦距的关系重难点1根据椭圆的定义求方程1．已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.【答案】【分析】根据椭圆定义可得答案.【详解】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为，，故，，所以椭圆C的标准方程为.故答案为：.

2．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为.【答案】【分析】根据椭圆的定义，再结合的关系确定椭圆方程.【详解】由条件可知，，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，，，所以椭圆的标准方程为.故答案为：3．椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为.【答案】【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答.【详解】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长，所以所求椭圆标准方程是.故答案为：4．已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是．【答案】【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程.【详解】因为M到顶点和的距离的和为，所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（），则，，所以，，M的轨迹方程为.故答案为：.5．已知B，C是两个定点，，且的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程．【答案】【分析】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，根据三角形周长公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．

由，可知点．由的周长等于18．得，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但点A不在x轴上．设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和，，得，所以动点A的轨迹方程是.6．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8；(2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出，，即可求得椭圆方程；（2）由焦点坐标可知且在y轴上，设出标准方程代入计算即可.【详解】（1）由已知得，因此．又因为，所以，易知椭圆的焦点在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为．由已知得，又因为，所以．因为点在椭圆上，所以，即．从而有，解得或（舍去）．因此，从而所求椭圆的标准方程为．7．分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程：(1)点到点、的距离之和为10；(2)点到点、的距离之和为12；(3)点到点、的距离之和为8．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果；（2）根据椭圆的定义可求出结果；（2）可知动点的轨迹是线段.【详解】（1）因为，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，这里，，即，，所以，所以动点的轨迹方程为.（2）因为，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，这里，，即，，所以，所以动点的轨迹方程为.（3）因为，所以动点的轨迹是线段，其方程为.重难点2根据求标准方程8．已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为．【答案】【分析】由题意可知当在轴上时的面积最大，从而可求出，再结合可求出，从而可求出椭圆的标准方程.【详解】如图，当在轴上时的面积最大，所以，所以．又，所以，所以椭圆的标准方程为．故答案为：

9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；(2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出，再由焦点位置得出椭圆方程；（2）由题意求出，根据焦点在x轴写出方程.【详解】（1）由题意得：，，故，因为焦点在轴上，故椭圆方程为.（2）如图，

由题意得：，，所以，，结合焦点在轴上，故椭圆方程为：.10．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，焦距为，且经过点；(2)焦距为4，且经过点．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用待定系数法求出可得结果；（2）讨论焦点位置，求出可得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题意得，解得，所以该椭圆的标准方程为.（2）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，，则，故椭圆的标准方程为.当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，，则，故椭圆的标准方程为.11．求焦点在轴上，焦距为，且过点的椭圆的标准方程．【答案】【分析】根据题意，设椭圆方程为，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】由椭圆焦点在轴上，所以可设其方程为，因为椭圆的焦距为，可得，所以，所以，又因为椭圆过点，所以，联立方程组，可得，所以所求的方程为．12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)，；(2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；(3)焦点在x轴上，，且经过点；(4)，且经过点.【答案】(1)或(2)(3)(4)或【分析】(1)直接联立方程组，求出、的值，再利用椭圆的基本性质求出的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可；(2)由椭圆的定义，直接写出、的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出的值，即可直接写出椭圆的标准方程；(3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可；(4)由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可.【详解】（1）由题意，联立，解得：，则由椭圆的性质得：，所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：；当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：，故椭圆的标准方程为：或.（2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即，又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上，所以由椭圆的性质得：，故椭圆的标准方程为：.（3）因为椭圆的焦点在轴上，且，所以可设椭圆的标准方程为，又因为椭圆经过点，所以，解得：，故椭圆的标准方程为：.（4）因为，由椭圆的性质得，则，所以可设椭圆的标准方程为或又因为椭圆经过点，所以或，解得：或，所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：；当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：，故椭圆的标准方程为：或.13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为；(2)焦点坐标为和，且椭圆经过点.【答案】(1)(2)【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程.【详解】（1）解：因为椭圆的焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为，因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，则，可得，所以，，因此，椭圆的标准方程为.（2）解：因为焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为，因为椭圆经过点，由椭圆定义可得，所以，，则，因此，椭圆的标准方程为.14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设标准方程，由条件分别计算出，再求即可；（2）设标准方程，将两点代入利用待定系数法计算即可；（3）由题意可得焦点坐标，再利用椭圆定义可得长轴长，从而得椭圆标准方程.【详解】（1）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为，易知，∴，又，∴，故所求椭圆的标准方程为；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为，∵椭圆经过点和，∴，解之得，故所求椭圆的标准方程为；（3）根据题意可知，又焦点在y轴上，故焦点坐标为，∵椭圆经过点，∴由椭圆的定义可得，即，∴，故椭圆的标准方程为.重难点3根据方程表示椭圆求参数15．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，方程表示椭圆，则，解得或，即实数m的取值范围是.故选：B16．已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足,解得.故选:C.17．若关于x，y的方程表示的是曲线C，给出下列三个条件：①若曲线C是椭圆，②焦点在y轴上，③焦点在x轴上．请选择其中2个条件与已知组成命题，并求出t的取值范围．【答案】选①②时，，选①③时，.【分析】根据曲线方程选①②，选①③时，由长轴位置列出不等式求解即可.【详解】若选①若曲线C是椭圆，②焦点在轴上，则，解得，若选①若曲线C是椭圆，③焦点在轴上，则，解得，综上，当选①②时，，当选①③时，.18．已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，列不等式求出的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】将曲线C的方程化为，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，而“”不能推出“”；“”可以推出“”，故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：A.19．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为.【答案】【分析】由焦点在y轴上的椭圆方程的特征求解即可．【详解】∵已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴解得.∴t的取值范围是.故答案为：.20．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】把方程化为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为标，当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立；若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立，所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A.21．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的条件．【答案】必要不充分【分析】先求出方程表示椭圆时的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可．【详解】若方程表示椭圆，则且，且，是方程表示椭圆的必要不充分条件，即P是Q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分．重难点4根据椭圆方程求22．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】将椭圆方程化为标准式，即可得到，，从而求出，即可得解.【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，，所以，又椭圆的焦距为，所以，解得.故选：A23．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，设右焦点为，作出图象，根据椭圆的定义可求出，再根据中位线定理即可求出线段ON的长.【详解】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，如图所示：设椭圆左焦点为F，右焦点为.∵，，∴.又∵为MF的中点，O为的中点，∴.故选：B.24．已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为．【答案】或9/9或【分析】讨论焦点所在位置，根据题意列式求解.【详解】因为两椭圆方程分别为，，由题意可得：或，解得或.故答案为：或925．是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，则的周长是．【答案】【分析】根据椭圆定义可得的周长为，代入数值即得结果.【详解】根据椭圆定义可得的周长为为，所以的周长为故答案为:26．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则【答案】4【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果.【详解】由椭圆的方程，可知，又是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，，又，则.故答案为：4.重难点5椭圆的焦点三角形问题27．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由，得，即，所以，即.由椭圆的定义知，,所以的周长为.故选：B.28．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.【详解】由，即，可得，根据椭圆的定义，所以.故选：B.

29．已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为，故选：B30．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.【详解】椭圆的焦点，设，，所以，由于，，所以的取值范围为.故选：A31．（多选），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】由得，不妨，，则，当时，则①平方减去②得，∴，当(或者)时，，令，则，解得，则，.故选：AB.

32．如图所示，已知是椭圆的两个焦点．

(1)求椭圆的焦点坐标；(2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长．【答案】(1)．(2)40【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算即可；（2）由椭圆的定义计算即可.【详解】（1）设焦距为，由得，所以椭圆的焦点坐标为．（2）设椭圆长轴长，则易得，又的周长为,由椭圆的定义可知，故.33．已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：(1)椭圆的标准方程(2)的面积．【答案】(1)(2)【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由已知得解得，，，故椭圆的标准方程为．（2）如图，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．34．如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，求的面积．

【答案】【分析】在中，利用余弦定理结合椭圆的定义可求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】由已知，得，则，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化简解得，所以的面积为，重难点6与椭圆有关的轨迹问题35．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【分析】利用轨迹的直接法求解.【详解】解：由题意得，整理得：，所以点的轨迹为椭圆．故选：B．36．已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.【详解】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.37．已知是圆内异于圆心的一定点，动点满足：在圆上存在唯一点，使得，则的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】C【分析】根据向量垂直关系可确定点轨迹是以为直径的圆，且该圆与圆相内切；根据圆与圆的位置关系可确定，知点轨迹为椭圆；采用相关点法可确定点轨迹方程，由此可得结论.【详解】，，点轨迹是以为直径的圆，又在圆上且唯一，以为直径的圆与圆相内切，设中点为，圆半径为，由两圆内切且点在圆内可得：，，点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，以所在轴为轴，中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，不妨设，，点轨迹为，设，，则，，点轨迹为椭圆.故选：C.38．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（

）

A．面积为的圆 B．面积为的圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆【答案】D【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹.【详解】连接，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆，所以椭圆的离心率为，故选：D

39．若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，则动点M的轨迹方程是.【答案】【分析】利用，根据题意可得，进而结合两点间距离公式运算求解.【详解】设，则，如图，因为，，可得，则，解得，又因为，整理得，则所求动点M的轨迹方程为故答案为：.

40．在中，已知点和点．若边，且满足，求顶点的轨迹方程．【答案】【分析】根据正弦定理，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】根据正弦定理由，所以顶点的轨迹是以和点为焦点的椭圆，因此半焦距为，半长轴长为，所以半短轴长为，所以该椭圆的方程为，设，点是三角形的顶点，所以又因为，所以，所以顶点的轨迹方程为.

41．如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程.

【答案】【分析】根据相关点代入法求得的轨迹方程.【详解】设点M的坐标为，点P的坐标为，则，.因为点在圆上，所以.把，代入上述方程，得.即所求轨迹方程为.点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆.重难点7椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值42．（多选）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（

）A．的最小值为B．的最大值为7C．的最小值为D．的最大值为1【答案】ABD【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，所以，的最小值，即是的长，当点在位置时取到，所以的最小值为，故A正确；设椭圆的右焦点为，所以，则当点在位置时取到最大值，所以的最大值为，故B正确；的最小值当在位置时取到，即的最小值为，故C错误；由，则当点在位置时取到最大值，所以的最大值为，故D正确.故选:ABD

43．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为.【答案】【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，

故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：44．设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任