专题4.4等比数列（十一个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（原卷版）

专题4.4等比数列知识点一等比数列的概念与通项公式1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）.注意：（1）等比数列中不能有0项（2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.2.等比中项如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,.3.等比数列的通项公式（1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为.（2）第项与第项的关系为,变形得.（3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即.知识点二等比数列的常用性质（1）如果,则有.（2）如果,则有.（3）若成等差数列,则成等比数列.（4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.（5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为.（6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即（7）等比数列的单调性①当或时,等比数列为递增数列;②当或时,等比数列为递减数列;③当时,等比数列为摆动数列.重难点1利用定义判断等比数列1．在数列中，，则（

）A．12 B．16 C．32 D．642．已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（

）A． B． C． D．3．已知数列的通项公式为，则数列是（

）A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列4．（多选）设是等比数列，则（

）A．是等比数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等比数列5．已知和为项数相同的等比数列，公比分别为和．求证：为等比数列，其公比为．6．已知是各项均为正数的等比数列，公比为q，求证：是等比数列，并求该数列的公比．重难点2等比数列基本量的计算7．在等比数列中，若，则的公比（

）A． B． C． D．48．在等比数列中，，则（

）A．8 B．6 C．4 D．29．若等差数列和等比数列满足，，，则的公差为（

）A． B． C． D．10．在等比数列中，成等差数列，则（

）A．3 B． C．9 D．11．已知正项等比数列满足:，若存在两项使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．不存在12．在等比数列中，若，则.重难点3等比中项及其应用13．与的等比中项是．14．在等比数列中，，则与的等比中项为.15．已知等比数列满足，，则.16．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为．17．记为等差数列的前项和．若，且成等比数列，则的值为．18．已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是.重难点4等比数列的性质19．在等比数列中，，则的值为（

）A．48 B．72 C．144 D．19220．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（

）A．2 B．3 C．-2 D．-321．数列为等比数列，且，则．22．等比数列满足：，则的最小值为．23．若等比数列满足，，则．24．设等比数列满足，则.25．在数列中：(1)若为等差数列，且，求．(2)若为正项等比数列，且，求的值．重难点5等比数列的证明26．已知数列的首项为3，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.27．已知数列满足，.(1)求证：是等比数列.(2)求.28．已知数列满足，.(1)若数列满足，求证：是等比数列；(2)求数列的前n项和.29．已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式.30．已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：31．已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；知识点三等比数列的前n项和公式已知量公式首项与公比首项,末项与公比知识点四等比数列前项和的性质（1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则.（2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为.（3）若一个非常数列的前项和,则数列为等比数列,即数列为等比数列.重难点6前n项和基本量运算32．已知正项等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．33．已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（

）A． B． C． D．34．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．735．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为36．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则．37．在公比为的等比数列中，为其前项和，（），且，则．38．等比数列的前项和为，若，则.重难点7前n项和的性质39．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．540．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（

）.A．8 B． C．4 D．241．在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（

）A．786 B．240 C．486 D．72642．记等比数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．43．设等比数列的前项和是.已知,，则.44．已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为.重难点8与的关系45．已知等比数列的前项和为，且，则（

）A．3 B．6 C．9 D．1846．已知数列的前项和为．若，，则（

）A． B． C． D．47．等比数列的前项和，则的值为.48．已知等比数列的前n项和为，且，则．49．已知数列的前n项和为，，．(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．50．已知数列，的前n项和分别为，，且，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：当时，．重难点9等比数列的实际应用51．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，便这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（

）万元.（参考数据：，）A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．652．有一个人进行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半.则此人第4天和第7天共走了里.53．一个小球从54米高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，则小球第2次落地时，经过的路程是米；小球第次落地时，经过的路程是米．54．我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设绿洲面积为万平方千米，第年绿洲面积为万平方千米.(1)求数列的通项公式；(2)至少经过几年，绿洲面积可超过（参考数据：）？重难点10等比数列与数学文化的结合55．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是（

）A．24里 B．60里 C．192里 D．216里56．《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．57．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗58．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（

）．A． B． C． D．59．明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（

）A． B．C． D．60．（多选）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．重难点11等差等比的综合应用61．（多选）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（