虚功原理与结构位移计算

第5章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；c）建筑起拱。MQNkγε↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差；不产生内力和变形产生刚体移动位移是几何量，可用几何法求，如lD=bxdwd=k22βΔ虚功法，理论基础是虚功原理a）荷载作用；2、产生位移的原因主要有三种：

计算位移时，常假定：1）σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。1、计算位移有三个目的：如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移

将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。abABCP=1ABCab已知求虚功方程设虚力状态小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。3、虚功原理的另一种应用形式——虚力原理4、支座移动时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:

所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虚功方程§5-2结构位移计算的一般公式——单位荷载法

结构发生位移，一般情况下内部也同时产生应变。因此，结构的位移计算问题，一般属于变形体体系的位移计算问题。计算变形体体系的位移要复杂一些，采用方法仍然以虚功法最为普遍。推导位移计算公式的两种途径{由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导－局部到整体。

按第二种途径计算变形体体系位移，推导结构位移计算的一般公式，可按下列步骤进行：先导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。1、局部变形时静定结构的位移计算举例设静定结构中某个微段出现局部变形（由于制造误差或其他原因造成微段的弯曲、剪切、拉伸变形），微段两端相邻截面出现相对位移（角位移、线位移），而结构的其他部分没有变形、仍旧是刚体。BABA1AB

虚功方程：BA

BA1

A

例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d

，试求A点在i-i方向的位移。

例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d

，试求A点在i-i方向的位移。

例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d

，

试求A点在i-i方向的位移。BABA

BA

1由平衡条件：虚功方程：

当截面B同时产生三种相对位移时，在i-i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：2、局部变形时的位移公式基本思路：dsR

dsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。dsR

dsdsRds

1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设

微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d

－即前例的结论。或3、结构位移计算的一般公式

一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虚功：内虚功：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即：4、结构位移计算的一般步骤:K1实际变形状态虚力状态(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2)求虚力状态下的内力及反力表达式;(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。5、广义位移的计算作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量PΔmβ2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABΔBΔA这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABΔmm

A

B这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。§3-8、刚体体系的虚功原理：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。虚力原理：§5-8、变形体的虚功原理：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作的外虚功总和恒等于各个微段切割面上的应力合力在应变上所作的内虚功总和。结构位移计算的一般公式：§5-3荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。1、计算步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k--为截面形状系数1.2(3)荷载作用下的位移计算公式2、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架（2）桁架（4）拱（3）桁梁混合结构已知：EI为常数。求：qlAx解：§5-4荷载作用下的位移计算举例1、梁的位移计算qACB(a)实际状态P=1ACB(b)虚设状态AC段CB段例1.试计算悬臂梁A点的竖向位移。1）列出两种状态的内力方程：AC段CB段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段CB段设为矩形截面k=1.23）讨论剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比,由材料力学公式。设矩形截面宽度为b、高度为h，则有代入上式图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。求C的竖向位移。柱↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q解：1)将q化为结点荷载P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12l/122P2P2桁架的位移计算ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求4)求ΔC材料杆件NPAlNEAlNNP钢筋混凝土钢筋ADCDDECEAEEG－1.58－1.5001.501.50－4.74P－4.42P4.50P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgΔC=Pl(3.81/AbEb+1.13/AgEg)·23)求NPPP=1例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载qcos=Qq

sin-=Nqsin-=RMqcos=PQPqsin-=PNPqsin-=PRMP虚拟荷载3）位移公式为QNMD+D+D=PPPGAdsQQEAdsNNEIdsMM++=DòòòGAPREAPREIPR++=D4443pkppds=Rdθθdθds2）实际荷载dGAPRdEAPREIPR+ççèæøö+=òòcossin20203qqkqqpp22òkidsEIMMòÞ=kiCEIdxMMEI1åòå==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòÞBAkMdxxtgMEIi1a是直线òÞkidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0

取正号，否则取负号。y0=x0tgα§5-5图乘法⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2

MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例：求梁B段转角。例：求梁B点竖向位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？？图乘法位移计算举例åòå==DPEIydxEIMM0w①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。②图乘法的应用条件：③竖标y0④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0

取正号，否则取负号。⑤几种常见图形的面积和形心的位置：h3l/4l/4二次抛物线ω=hl/3顶点l/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3顶点

a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω1y1y2()bcadbdacl+++=226öødcçèæ+323bl+2dcøöçèæ+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）=－9S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（2）9（3）2369＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非标准抛物线成直线形↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111lω1y1ω2y2ω2y3B23=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=øöççèæ++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwwwNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==DåPNEAqlEAlqlEAlNNP=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222úûù++êëé++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=Dq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2ql2/32y0dxMMEIlPò+021dxMMEIEIlPòøöççèæ-=021111dxEIMMdxEIMMlPlPòò＋020211dxEIMMdxEIMMllPlPVBòò+=D20111上式中的两项积分都是标准图形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，则1325617EIql=214323121llqlEI·+2112432831211llqlEIEIVB··øöççèæ-=DMPP=1xl1l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABEI2EI1ql2/2lql2/8l/2－aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI1=aEI1òò-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111òò+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201òò+=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()ò-－llPdxMMMEI1211ò=lPdxMMEI011MPMPx↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qll11M1M2例：试求等截面简支梁C截面的转角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122úûù·øöççèæ···+··-lqlEIC2183212êëé···=qEIql100333=1）温度改变对静定结构不产生内力，材料为自由胀缩。2）温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/hΔt=t2-t13）微段的变形

dsdθat0dsk=d

/ds=a（t2-t1）ds/hds

=

a

t/hγ=0åòåòD±=dsMhtdsNtaa0åòåòD±=DdshtMdstNaa0该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2ds§5-6温度作用时的结构位移计算

求图示刚架C点的竖向位移，各杆截面为矩形。aa0

+10

+10

CP=1P=1－1aN支座移动，不产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入：得：，仅适用于静定结构abl/2l/2h11支座移动产生的位移计算1h1h00例：求CBAFP=1虚拟力状态解：构造虚设力状态实际位移状态CBAll解：构造虚设力状态()FAyFAx例：已知l=12m,h=8m,

求例：求实际位移状态CBAllFP=1解：构造虚设力状态CBA虚拟力状态FP=1同时考虑荷载、温度和支座位移影响应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即：线性变形体系。P1P2①F1F2②N1M1Q1N2M2Q21、功的互等定理åòøöçèæ++dsGAQkQEIMMEANN121212å=D=FW1221åò

øöçèæ++=dsGAQkQEIMMEANN212121åD=PW2112在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W21。即：W12=W21§5-9互等定理2、位移互等定理P1①P2②在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数δ21

等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数δ12

。或：由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12

。

21

122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121：位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注：1）荷载可是广义荷载，位移是相应的广义位移。

2）δ12与δ21数值相等，量纲相同。3、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110：反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数