2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）（新高考九省联考题型）(含解析)

年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷（一）注意事项：答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，ZA．−i B．−1 C．−3iD．−32．记Sn是数列an的前n项和，设甲：anA．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．已知向量a，b满足a⋅b=1，aA．6+22 B．6+24．已知正项等比数列an中，a4，3a3，a5成等差数列.若数列an中存在两项amA．1 B．3 C．6 D．95．拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（Simpson）公式V=16ℎ(S1+4S0+S2)求体积，其中h是高，S1是上底面面积，SA．18 B．20 C．24 D．256．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有A．48种 B．32种 C．24种 D．16种7．将函数fx=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位后得到函数gA．7π12,C．5π12,8．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过F作圆x2+yA．33 B．53 C．63二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(2026)，且f(x+1)−1是奇函数.则A．f(1)+f(3)=2 B．f(2023)+f(2025)=f(2024)C．f(2023)是f(2022)与f(2024)的等差中项 D．i=110．已知圆C:x2+y2=4上的两个动点A，B始终满足|AB|=4，直线l:x=my+1与x轴交于点M（A．直线l与圆C恒有交点 B．AMC．△ABM的面积的最大值为32 D．l被圆C截得的弦长最小值为11．已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，到上、下底面距离相等的截面叫作中截面．现有拟柱体ABCD−A1B1C1D1，其中上、下底面均为边长为2的正方形，O,OA．拟柱体ABCD−A1B．直线AA1与平面ABCD所成角θC．拟柱体ABCD−A1D．拟柱体ABCD−A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数z满足z+3+z−3=413．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（0<p<1）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为f(p)，则f(p)=；函数f(p)取最大值时，p=.14．已知球O的表面积为36π，正四棱锥P−ABCD的所有顶点都在球O的球面上，则该正四棱锥P−ABCD体积的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f(1)当a=0时，求函数fx(2)若函数fx在区间1,2上是减函数，求实数a的取值范围16．（15分）第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的14(1)完成下面2×2列联表，试根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60(2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X，求X的分布列和期望.附：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817．（15分）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是正方形，平面ABB(1)求证：C1M//平面AD(2)求直线AC1与平面18．（17分）已知点P（非原点）在抛物线C：y=x2上，点P处的切线分别交x，y轴于点Q，(1)若PQ=λPR，求实数(2)定义：过抛物线上一点，且垂直于在该点处切线的直线称为抛物线的法线．若抛物线C在点P处的法线交抛物线C于另一点S，求△PSR面积的最小值．19．（17分）已知Am=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a①ai,j②对任意k∈1,2,3,⋯,n，存在i∈1,2,⋯,m,j∈1,2,⋯,m，使得ai,j(1)判断A3=123(2)若Γ2数表A4满足da(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析1．D[试题解析]在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1则z1=1+2i，z所以复数z1⋅z2．C[试题解析]若an为等差数列，则数列an的前n项和为若数列an的前n项和为S则n≥3,n∈N∗时，所以a1+n−2两式相减得an+a所以an综上所述，甲是乙的充要条件.故选：C.3．A[试题解析]建立如图所示的平面直角坐标系，设OA=a,OB因为a,b=则a=所以a+又因为向量a,b满足a⋅b=1所以a+a−则a+设t=m2+n2所以a+又因为ft=t+2所以ftmin=f4=4．B[试题解析]设正项等比数列an公比为q，由a4，3a有6a3=a4+a5，即若数列an中存在两项am，an则2a12=am⋅1m当且仅当nm=4m所以1m+5．B[试题解析]如图所示：分别取边AE，BF，CF，DE的中点G，H，J，K，由题意知ℎ=3,S1=0,则S0所以V=16ℎ6．B[试题解析]当老师从左到右排在第二或第四位时，共有C2当老师从左到右排在第三位时，共有C41C7．A[试题解析]gx由题意得m>0，故当x∈−m,m时，2x−显然当2x−π6=0，即x=要想y=gx在−m,m若−2m−π6∈若−2m−π若−2m−π8．B[试题解析]设直线l:x=my−c，与椭圆x2a2+y设Ax1,y1，又FB=2AF，所以y2=−2y又直线l与圆x2+y2=b2得9c2=5a29．ACD[试题解析]因为f(x+2)+f(x)=f(2026)，所以f(x+4)+f(x+2)=f(2026)，两式相减得f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为4.因为f(x+1)−1是奇函数，所以f(−x+1)−1=−f(x+1)+1，所以f(−x+1)+f(x+1)=2，即f(−x)+f(x+2)=2，令x=−1因为f(x+2)+f(x)=f(2026)=f(2)，令x=2，得f(4)+f(2)=f(2)，所以f(4)=0，即f(0)=0.因为f(−x)+f(x+2)=2，令x=0，得f(0)+f(2)=2，所以f(2)=2，所以f(x+2)+f(x)=2，所以f(3)+f(1)=2，故A正确.因为f(−x)+f(x+2)=2，所以f(−1)+f(3)=2，即f(3)+f(3)=2，所以f(3)=1.因为f(2023)+f(2025)=f(3)+f(1)=2，f(2024)=f(0)=0，所以B错误.因为f(2022)+f(2024)=f(2)+f(0)=2，f(2023)=f(3)=1，所以f(2022)+f(2024)=2f(2023)，所以f(2023)是f(2022)与f(2024)的等差中项，故C正确.因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(3)+f(2)+f(4)所以i=1202410．ABD[试题解析]直线l:x=my+1与x轴交于点M，∴M(1,0)，且M在圆C:x2+y2因为点M在圆C:x2+y2=4内部，因为|AB|=4，即AB为圆的直径，当M到AB的距离最大时，即为到圆心的距离为1，∴Sl被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长为2211．AC[试题解析]对于A中，如图所示，O,O1分别为底面ABCD和底面OO1与两底面垂直，可得拟柱体ABCD−A1B因为OO1=3，正方形ABCD则外接球的半径为r=(所以外接球的表面积为17π，所以A正确；对于B中，设直线AA1与平面ABCD所成角为θ因为OO1与两底面垂直，则AA1与当AA1最长时，AA1与因为OO1=3，正方形ABCD的边长为2，可得正方形ABCD可得tanθmin=对于C中，如图所示，当拟柱体ABCD−A1B如图所示，当△B1AB,△其面积为2×1×对于D中，当拟柱体ABCD−A12．433（433）因此在复平面内，复数z对应的点Z(x,y)在以±3所以可设椭圆方程为x2a2所以椭圆方程为x2而z−i表示点Z与点0,1的距离，可设Z所以Z2cosθ,sinθ与点0,1所以当sinθ=−13时，d=43313．C102p21−p8；因此f′令f′p=0当p∈0,0.2时，f′p>0；当所以f(p)在0,0.2上单调递增，在0.2,1上单调递减，当p=0.2时，函数f(p)取最大值.故答案为：C102p14．643[试题解析]由S表=4设正四棱锥P−ABCD底面边长为AB=a，高为PM=ℎ，则AM=12a则有22a2VP−ABCD令fℎ=−2故当0<ℎ<4时，f′ℎ>0，当ℎ>4即fℎ有极大值f即该正四棱锥P−ABCD体积的最大值为643.故答案为：6415．（13分）解：（1）a=0时，fx=xf′令f′x>0，解得x>1，令f故fx在x=1处取得极小值，f∴fx的极小值为f（2）∵fx在区间1,2∴在区间1,2上f′∴f令gx=2显然gx=2∴g(x)∴a≤−316．（15分）解：（1）根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为40×1可得得2×2列联表如下：男女合计喜爱看足球比赛501060不喜爱看足球比赛103040合计6040100根据列联表中的数据计算得χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.（2）按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X的可能取值为0,1,2，PX=0=C所以X的分布列为X012P1531期望值EX17．（15分）解：（1）连接AD1在四棱柱ABCD−A1B所以C1D1因为AB∥CD，CD=12AB所以CD∥AM，所以C1D1所以四边形MAD所以MC因为C1M⊄平面所以C1M//平面（2）在正方形ABB1A因为平面ABB1A1⊥平面ABCD所以AA1⊥平面ABCD，而AD⊂即可得AA因为AD⊥B1M，AA1,B所以AD⊥平面ABB1A1，而即AD⊥AB；如图建立空间直角坐标系A−xyz.不妨设AD=1，则A0,0,0，C11,2,1，B所以AC1=1,2,1，设平面MB1C则n⋅C1B1=−x+z=0n于是n=因为cosA所以直线AC1与平面MB18．（17分）解：（1）不妨设Px1,x12，所以点P处的切线方程为y−x令x=0，得yR=−x所以点Q为线段PR的中点．所以λ=1（2）设Sx2,x2又SP=即x1因为x1≠x所以x1x1因为SP=1+1所以S△PSR设fx=2x3则f′令f′x=0当x∈0,36时，f当x∈36,+∞时，所以当x=36时，故△PSR面积的最小值为4319．（17分）解：（1）A3=1d（2）由题可知dai,j,当ai+1,j=1时，有所以ai,j当ai+1,j=2时，有所以ai,j所以a所以a1,1+a1,2+aa2,1+aa1,4=1或a1,