2022年长沙市雨花区九年级中考数学一模考试卷附答案解析

年长沙市雨花区九年级中考数学一模考试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．﹣的相反数是（）A．﹣ B． C． D．﹣2．一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为（）A．20.1×10﹣3kgB．2.01×10﹣4kg C．0.201×10﹣5kgD．2.01×10﹣6kg4．下列运算正确的是（）A．（a4）3＝a7 B．（﹣a2）3＝a6 C．（2ab）3＝6a3b3 D．﹣a5•a5＝﹣a105．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．46．“▲”表示一种运算符号，其意义是a▲b＝3a﹣2b，例如：4▲5＝3×4﹣2×5＝2．已知关于x的不等式x▲k≥﹣2的解集在数轴上如图表示，则k的取值是（）A．4 B．2 C．0 D．﹣27．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数8791412则本次调查中视力的众数和中位数分别是（）A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.98．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，并且DE∥AB，则△CDE的周长为（）A．20cm B．12cm C．13cm D．14cm9．如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h＝（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．分解因式：x2y﹣y＝．12．若分式在实数范围内有意义，则x满足的条件是．13．若n边形的每一个外角都为72°，则n的值为．14．若实数x1，x2分别满足x2﹣4x+3＝0的两个根，则＝．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，那么四边形MABN的面积是．16．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：﹣2sin30°18．（7分）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．19．（7分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠C＝35°，则∠BAD＝．20．（7分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C组所对应的扇形圆心角为度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．21．（8分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）若AB＝90cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留π）22．（8分）某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）这个商店甲种零件每件售价为260元，乙种零件每件售价为190元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于2400元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？23．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦AD∥CO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：BD•BF＝AD•CF；（3）若，OC＝5，求tan∠ABE的值．24．（10分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（2）【应用】如图②，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE＝．（3）【拓展】如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是边AB中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣4的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C（1）直接写出点P的坐标为；（2）如图，若A、B两点在原点的两侧，且OA＝3OB，四边形MNEF为正方形，其中顶点E、F在x轴上，M、N位于抛物线上，求点E的坐标；（3）若线段AB＝2，点Q为反比例函数y＝与抛物线y＝ax2+2ax+a﹣4在第一象限内的交点，设Q的横坐标为m，当1＜m＜3时，求k的取值范围．

参考答案解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：﹣的相反数是，故选：C．2．解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线．故选：D．3．解：100×0.00000201kg＝0.000201kg＝2.01×10﹣4kg．故选：B．4．解：A、（a4）3＝a12，故A错误，不符合题意；B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误，不符合题意；C、（2ab）3＝8a3b3，故C错误，不符合题意；D、﹣a5⋅a5＝﹣a10，故D正确，符合题意．故选：D．5．解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，配方，得x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，即b＝4，故选：D．6．解：∵x▲k≥﹣2，∴3x﹣2k≥﹣2，∴x≥，从数轴可知＝2，解得k＝4，故选：A．7．解：由统计表可知众数为4.9；共有：8+7+9+14+12＝50人，中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.9，则中位数是4.9．故选：B．8．解：∵AB＝AC＝10cm，AD平分∠BAC，∴CD＝BD＝4（cm），AD⊥BC，∵点E为AC的中点，∴CE＝DE＝AC＝5（cm），∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝14（cm），故选：D．9．解：如图：过O作ON⊥CD于N，交AB于M，∵CD∥AB，∴OM⊥AB，∵OC＝OD，∴CN＝CD＝3cm，∴ON＝＝＝4（cm），∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO，∴＝，∴＝，∴OM＝cm，∴h＝4﹣＝（cm），故选：A．10．解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0．当x＝0时，y＝c＞0，∴abc＜0，①错误；②当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴b＞a+c，②错误；③∵抛物线的对称轴为x＝1，∴当x＝2时与x＝0时，y值相等，∵当x＝0时，y＝c＞0，∴4a+2b+c＝c＞0，③正确；④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确．综上可知：成立的结论有2个．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：x2y﹣y＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1）．故答案为：y（x+1）（x﹣1）．12．解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．13．解：∵n边形的的外角和为360°，每一个外角都为72°，∴n＝360°÷72°＝5，故答案为：5．14．解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝3，∴原式＝＝，故答案为：．15．解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE＝DE，∴CD＝2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴＝（）2＝，∵在△CMN中，∠C＝90°，MC＝6，NC＝2，∴S△CMN＝CM•CN＝×6×2＝6，∴S△CAB＝4S△CMN＝4×6＝24，∴S四边形MABN＝S△CAB﹣S△CMN＝24﹣6＝18．故答案为：18．16．解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝＝，∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k﹣﹣＝5．解得k＝8．故答案是：8．三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：﹣2sin30°＝1+（﹣1）+3﹣2×＝3﹣1＝2．18．解：原式＝＝＝﹣，当x＝1﹣时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．19．（1）解：如图所示：AD即为所求；（2）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠CDA＝90°，在Rt△CAD中，∠C+∠CAD＝90°，∴∠C＝∠BAD＝35°．故答案为：35°．20．解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），补全图形如下：故答案为：40；（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，故答案为：72；（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×＝560（人），故答案为：560人；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．21．解：（1）连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴OD的长是圆心O到“杠杆EF”的距离，∵AB＝90cm，∴OD＝OA＝45cm；（2）∵DA＝DF，∴∠F＝∠BAD，由（1）得：∠CAD＝∠BAD，∴∠F＝∠BAD＝∠CAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，∵DF＝6，∴（2OD）2﹣OD2＝（6）2，解得：OD＝6，∴S阴影＝S扇形BOD+S△AOD＝+×6××6＝6π+9．22．解：（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，依题意，得：＝2×，解得：x＝150（元），经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意，∴x+50＝200（元）．答：每个甲种零件的进价为200元，每个乙种零件的进价为150元．（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，依题意，得：（260﹣200）m+（190﹣150）（2m+4）＞2400，解得：m＞16，∵m为正整数，∴m的最小值为17．答：该商店本次购进甲种零件至少是17个．23．（1）证明：连接DO，∵BC与⊙O相切，∴∠OBC＝90°，∵DO＝AO，∴∠DAB＝∠ADO，∵AD∥CO，∴∠DAB＝∠COB，∠DOC＝∠ADO，∴∠DOC＝∠COB，∵DO＝BO，CO＝CO，∴△DOC≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD∥CO，∴∠ADB＝∠OFB＝90°，∴∠CFB＝180°﹣∠OFB＝90°，∴∠ADB＝∠CFB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠OBC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴△ADB∽△BFC，∴＝，∴BF•BD＝AD•CF；（3）解：∵OA＝OB，BF＝DF，OF是△ABD的中位线，∴OF＝AD＝，∵OC＝5，∴CF＝OC﹣OF＝5﹣＝，∵2BF2＝AD•CF；∴2BF2＝×，∴BF＝，在Rt△OBF中，OB＝＝＝3，∴OE＝OB＝3，∴EF＝OE+OF＝3+＝，在Rt△BFE中，tan∠FEB＝＝＝，∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠FEB，∴tan∠ABE＝tan∠FEB＝，∴tan∠ABE的值为．24．（1）证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，则CD＝CE，∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝BD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB，∴CD＝AB；（2）解：如图2中，设CE交AB于点O．∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，∵CE⊥AB，∴∠BCE+∠B＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠A，∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，∴CO＝CB•cos30°＝，∵DA＝DE，DA＝DC，∴DC＝DE，∵DO⊥CE，∴CO＝OE＝，∴CE＝3故答案为：3；（3）过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，∵DG⊥AC，AC⊥BC，∴DG∥BC．∵D是边AB中点，∴DG＝BC