2022年广州市九年级中考数学考前模拟试题卷附答案解析

年广州市九年级中考数学考前模拟试题卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（）A2个 B.3个 C.4个 D.5个2.2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A.3.56×106人 B.35.6×105人C.3.6×105人 D.0.356×107人3.已知，，则代数式的值为（）A.36 B.26 C.20 D.164.如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A B. C. D.5.菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线一定相等C.对角线平分内角D.是中心对称图形6.数据：2，5，4，5，3，5，4的众数与中位数分别是（）.A.4，3 B.4，5 C.3，4 D.5，47.某淘宝店铺一月份的营业额为2万元，三月份的营业额为6万元，如果二、三月份平均每月营业额的增长率为x，则由题意可得方程为（）A. B. C. D.8.如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.49.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ=12，AC+BC=18，则AB的长为（）A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点，将点向左平移2个单位得到点Q，若抛物线与线段只有一个公共点，则m需满足的条件是（）A.且 B.且C.或 D.二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.若y＝+3，则yx的平方根为_____．12.如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于_______．13.用半径为18,圆心角为120º的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________.14.写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程__________．15.在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是________．16.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.（1）化简（2）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．18.已知点A、E、F、C在同一直线上，已知，AD＝BC，AE＝CF，试说明BE与DF的关系．19.先化简，后求值：，其中．20.某工厂计划m天生产2160个零件，安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．（1）直接写出a与m的数量关系：；（2）若原计划16天完成生产任务，但实际开工6天后，有3名工人外出参加培训，如果剩下的工人要在规定时间里完成这批零件生产任务，每人每天至少要多加工多少个零件？21.为弘扬中华传统文化，某校组织七年级800名学生参加诗词大赛，为了解学生整体诗词积累情况，随机抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的列图表，解答问题：组别分数段频数频率一50.5～60.5160.08二60.5～70.5400.20三70.5～80.5500.25四80.5～90.5m0.35五90.5～100.524n（1）本次抽样中，表中m=______，n=______，样本成绩的中位数落在第______组内．（2）补全频数分布直方图．（3）若规定成绩超过80分为优秀，请估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数．22.如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数的图象经过点A．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ．设Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．23.图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画一个周长为8的菱形ABCD（非正方形）；（2）在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线．（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．25.已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，m）（m＞0），B点坐标为（2，0），以A点为圆心OA为半径作⊙A，将△AOB绕B点顺时针旋转α角（）至处．（1）如图1，m=4，α=，求点的坐标及AB扫过的面积；（2）如图2，当旋转到三点在同一直线上时，求证：是⊙O切线；（3）如图3，m=2，在旋转过程中，当直线与⊙A相交时，直接写出α的范围．2022年广东省广州市重点中学中考数学模拟诊断试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【详解】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得．【详解】①﹣1的倒数是﹣1，原题错误，该同学判断正确；②|﹣3|=3，原题计算正确，该同学判断错误；③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；④20=1，原题正确，该同学判断正确；⑤2m2÷（﹣m）=﹣2m，原题正确，该同学判断正确，故选B．【点睛】本题考查了倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则．2.2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A.3.56×106人 B.35.6×105人C.3.6×105人 D.0.356×107人【答案】A科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：356万＝56×106．故选A．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.已知，，则代数式的值为（）A.36 B.26 C.20 D.16【答案】B先根据完全平方公式化简，然后把所得两式相加即可.【详解】∵，∴a2+2ab+b2=36①,∵，∴a2-2ab+b2=16②,①+②，得=52，∴=26.故选B.【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键.4.如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B根据反比例函数的增减性即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数y=的图象在每一象限内随的增大而减小，而A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=第一象限的图象上，∴故选B【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“的图象当时，图象在每一象限内随的增大而减小”是解本题的关键．5.菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线一定相等C.对角线平分内角D.是中心对称图形【答案】B根据菱形的性质逐一判断即可．【详解】解：A、菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；C、菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意；D、菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键．6.数据：2，5，4，5，3，5，4的众数与中位数分别是（）.A.4，3 B.4，5 C.3，4 D.5，4【答案】D【详解】解：数据：2，5，4，5，3，5，4按照从小到大排列是：2，3，4，4，5，5，5，故这组数据的众数是5，中位数是4.故选D．7.某淘宝店铺一月份的营业额为2万元，三月份的营业额为6万元，如果二、三月份平均每月营业额的增长率为x，则由题意可得方程为（）A. B. C. D.【答案】B设二、三月份平均每月营业额的增长率为x,一月份的营业额为2万元，则二月份的营业额为2（1+x），三月份营业额为2（1+x）（1+x），即．【详解】解：如果二、三月份平均每月营业额的增长率为x，则由题意可得：，故选：B．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为.8.如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】①先证出AF=FD=CD，得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF，可得∠DCF=∠BCD，故①正确；②做辅助线延长EF，交CD延长线于M，先证△AEF≌△DMF（ASA），得到FE=MF即，再通过在中斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到CF=EF，故②正确；③根据EF=FM，可得，那么，再通过MC＞BE，得到，即，故③的正确；④先证FC=FE，设∠FCE=x，那么，再通过证∠DCF=∠DFC，那么，则，进一步证得，即可证得，故④错误．【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，即，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∴∵，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴，∴，∵MC＞BE，∴∴故③正确；④设∠FEC=x，∵CE⊥AB，，∴，∵F是EM的中点，∴FC=FE，∴∠FCE=x，∴，∵∴∠FCB=∠DFC∵∠DCF＝∠FCB；∴∠DCF=∠DFC∴∴，∴，∵，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．综上所述正确的是：①②③．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．9.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ=12，AC+BC=18，则AB的长为（）A. B. C. D.【答案】D连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，根据DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=(AC+BC)=9和PH+QI=18-12=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．【详解】解：如下图，连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD中点，∴OH+OI=(AC+BC)=9，∴MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=12，∴PH+QI=18-12=6，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+6=15，故选：D．【点睛】本题考查了中位线定理、垂径定理的应用，解题的关键是正确的作出辅助线．10.在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点，将点向左平移2个单位得到点Q，若抛物线与线段只有一个公共点，则m需满足的条件是（）A.且 B.且C.或 D.【答案】B先求出抛物线的顶点坐标、以及点的坐标，再结合函数图象，建立方程求出临界位置处的值，由此即可得．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为．∴抛物线顶点坐标所在图象的解析式为．由平移的性质可知，点的坐标为，（1）如图，当抛物线顶点坐标落在上的点处时，则，解得；（2）如图，值减小，当抛物线经过点时，将代入，得，解得或．当时，，此时点也恰好在此抛物线上，不符题意，舍去，所以此时；（3）如图，值减小，当抛物线经过点时，将代入，得，解得或（同上，舍去）．所以此时；综上，且，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移，结合函数图象，正确找出临界位置是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.若y＝+3，则yx的平方根为_____．【答案】±3【解析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，代入求出y的值，求出yx的值，求平方根即可．【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝3，∴yx＝32＝9，∴9的平方根为±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．12.如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于_______．【答案】57°##57度【解析】由矩形的性质得，由折叠的性质得到相等的角，再根据图形找到角之间的关系，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，，由折叠的性质得：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握折叠题目中找出相等的角是解题的关键．13.用半径为18,圆心角为120º的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________.【答案】6【解析】根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．【详解】设这个圆锥的底面半径是R,则有解得：R=6.故答案为6.【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图．掌握圆锥的侧面展开图和圆锥底面圆的关系，圆锥底面圆的周长=侧面展开图中扇形的弧长.14.写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程__________．【答案】

（答案不唯一）根据一元二次方程的定义、根与系数的关系，即可得出答案．【详解】一元二次方程的一般形式为，由题意二次项系数为1，即，并且一个根是3，可令，这样的一元二次方程为，故答案为：．【点睛】本题一元二次方程的定义、根与系数的关系，熟练掌握基本知识是解题的关键．15.在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是________．【答案】【解析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【详解】∵点P（5，y）在第四象限，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．16.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．【答案】2或4##4或2【解析】当△为直角三角形时，需要分类讨论，点，，分别为直角顶点时，画出图形求解即可．【详解】解：在中，，，，点是的中点，，，，由折叠可知，，∴①由点运动可知点不可能是直角顶点；②如图，当点为直角顶点，即，，，，，，；③如图，当点是直角顶点时，即，连接，在△中，∴△，，故答案为：或4．【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.（1）化简（2）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．【答案】（1）x+2；（2），当x=﹣2时，原式=2．【解析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出不等式组的整数解，从中找到符合分式的整数，代入计算可得．【详解】（1）原式=x+2；（2）原式•，解不等式组解不等式①得x＜2；解不等式②得x≥-2；∴不等式组的解集是﹣2≤x＜2，所以该不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1，因为x≠±1且x≠0，所以x=﹣2，则原式2．【点睛】本题主要考查分式的化简求值与解不等式组，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解不等式组的能力．18.已知点A、E、F、C在同一直线上，已知，AD＝BC，AE＝CF，试说明BE与DF的关系．【答案】数量关系BE=DF，位置关系；理由见解析【解析】先根据边角边定理证出△CEB≌△AFD，从而可得BE=DF，∠BEF=∠DFE，根据∠BEF=∠DFE可得BE//DF．【详解】解：数量关系BE=DF，位置关系，理由如下：∵，，又，（等式的性质），在△ADF和△CBE中，△ADF≌△CBE(SAS)，BE=DF，∠BEF=∠DFE，．【点睛】此题主要考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是判断出△ADF≌△CBE．19.先化简，后求值：，其中．【答案】，【解析】原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可．【详解】解：原式，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.某工厂计划m天生产2160个零件，安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．（1）直接写出a与m的数量关系：；（2）若原计划16天完成生产任务，但实际开工6天后，有3名工人外出参加培训，如果剩下的工人要在规定时间里完成这批零件生产任务，每人每天至少要多加工多少个零件？【答案】（1）a＝；（2）3个【解析】（1）根据工作总量=参加工作的人数×人均工作效率×工作时间，即可得出a与m的数量关系；

（2）将m=16代入a=中求出a的值，设每人每天多加工x个零件，根据要在规定时间里完成这批零件生产任务，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小整数值即可得出结论．【详解】（1）依题意得：15am＝2160，∴a＝，即a＝．故答案为：a＝．（2）当m＝16时，a＝＝9．设每人每天多加工x个零件，依题意得：15×9×6＋（15﹣3）×（16﹣6）×（9＋x）≥2160，解得：x≥，又∵x正整数，∴x的最小值为3．答：每人每天至少要多加工3个零件．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出a，m之间的数量关系；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21.为弘扬中华传统文化，某校组织七年级800名学生参加诗词大赛，为了解学生整体的诗词积累情况，随机抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的列图表，解答问题：组别分数段频数频率一50.5～60.5160.08二60.5～70.5400.20三70.5～80.5500.25四80.5～90.5m0.35五90.5～100.524n（1）本次抽样中，表中m=______，n=______，样本成绩的中位数落在第______组内．（2）补全频数分布直方图．（3）若规定成绩超过80分为优秀，请估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数．【答案】（1）70，0.12，三（2）补全频数分布直方图见解析（3）估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数为376人【解析】（1）利用成绩为50.5～60.5的学生频数除以其频率可求出随机抽取的学生总数，利用随机抽取的学生总数乘成绩在80.5～90.5的学生频率即可求出m的值，利用成绩在90.5～100.5的频数除以随机抽取的学生总数即可求出n的值，利用中位数的定义即可确定样本成绩的中位数落在第三组；（2）由（1）可直接补全频数分布直方图；（3）求出成绩超过80分的学生频率，再乘总人数800即可．【小问1详解】随机抽取的学生总数为16÷0.08=200人，∴成绩在80.5～90.5的人数为200×0.35=70人，故m=70；成绩在90.5～100.5的频率为24÷200=0.12，故n=0.12．∵随机抽取的学生总数为200人，∴中位数为按大小顺序排列的第100和第101名学生成绩的平均数，∴样本成绩的中位数落在第三组内．故答案为：70，0.12，三；【小问2详解】由（1）可补全频数分布直方图如下：【小问3详解】800×(0.35+0.12)=376，答：估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数为376人．【点睛】本题考查频数分布表和频数分布直方图，由样本估计总体．利用频数分布表获取信息时，必须认真观察、分析，才能作出正确的判断和解决问题．22.如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数的图象经过点A．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ．设Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．【答案】（1）y=；（2）n=（﹣4＜m＜﹣）；（3）5.详解】（1）如图①，∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，∵OA=2OB，AB=5，∴4OB2+OB2=25，解得OB=，∴OA=2，∵AB平行于x轴，∴OC⊥AB，∴OC•AB=OB•OA，即OC==2，在Rt△AOC中，AC=4，∴A点坐标为（4，2），设过A点的反比例函数解析式为y=，∴k=4×2=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）分别过P、Q作x轴垂线，垂足分别为D、H，如图②，∵OQ⊥OP，∴∠POH+∠QOD=90°，∵∠POH+∠OPH=90°，∴∠QOD=∠OPH，∴Rt△POH∽Rt△OQD，∴，∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，Q点坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，∴PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，∴，解得x=2n，y=﹣2m，∵y=，∴2n•（﹣2m）=8，∴mn=﹣2（﹣4＜m＜﹣），∴n=（﹣4＜m＜﹣）；（3）∵n=1时，m=﹣2，即Q点坐标为（﹣2，1），∴OQ=，∴OP=2OQ=，∴S△POQ=．23.图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画一个周长为8的菱形ABCD（非正方形）；（2）在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析．较长的对角线NQ=3（1）根据菱形的周长为以及菱形的性质可知菱形的边长为，因此只需利用网格特点构造直角边长分别为2、4的直角三角形，则直角三角形的斜边即为，由此进行作图即可；（2）根据面积为9可以设计底和高都是3的平行四边形，再利用小正方形的对角线和边长成45°即可画出，利用勾股定理可以求对角线长．【小问1详解】解：如图1中，菱形ABCD即为所求．【小问2详解】如图2中，平行四边形MNPQ即为所求．∴较长的对角线NQ==3．【点睛】本题考查了作图，熟练掌握菱形的判定、平行四边形判定、勾股定理以及网格的结构特征是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线．（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）M（2，3）；（3）P（3，0）或（，0）．【解析】【详解】解：（1）∵，，∴，把A（4，0），代入，可得，解得c=2，则抛物线解析式为；

（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，∵，∴当x=0时，y=2，∴