微13直线与圆-2022年高考数学（理）一轮复习精讲精练含答案解析

直线与圆

【考向解读】

考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问

题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.

【命题热点突破一】直线的方程及应用

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线小/2的斜率心，的存在，则/|〃/2=h=42,/4/20柩2=—1.若给出的直线方程中存

在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

2.求直线方程

要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与X轴垂直.而截距式方程不能表

示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

3.两个距离公式

(1)两平行直线/1：Ax+By+Ci=o,

IC1-C2I

/a：Ax+8.y+C2=0间的距离"=不年京

lAxo+Byo+CI

(2)点(xo,yo)到直线/：Ar+8.y+C=0的距离公式d=~色氏+#~.

例1、已知直线/：mx+y+3加一百=0与圆f+y2=]2交于两点，过4,6分别做/的垂线与x轴

交于C,。两点，若A6=2百，则|CO|=.

【答案】4

【变式探究】(1)已知直线/1：(2—3)x+(4—A)y+1=0与，2：2(2—3)工—2y+3=0平行，则攵的值是()

A.1或3B.1或5c.3或5D.1或2

⑵已知两点A(3,2)和8(—1,4倒直线蛆+)，+3=0的距离相等，则m的值为()

A.0或一5B.5或一6

111

c.-5或5D.o或，

【答案】(1)C(2)B

【变式探究】

己知A(3』)，8(—1,2)两点，若NACB的平分线方程为y=x+l,则AC所在的直线方程为()

1

A.y=2x+4B.y=2x~3

C.x—2y—l=oD.3x+y+l=0

【答案】C

【解析】由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y=x+1对称.设点仇一1,2)关于直线产x+1的对

fyo—2

Jxo+]=—।，]刈=1,

称点为夕(XO,w),则有jyo+2xo-1=[yo=o,即因为夕(1,0)在直线4c上，

、2=2+1

1—01

所以直线AC的斜率为k=3—1=5,

1

所以直线AC的方程为y-\=2(X-3),

即x-2y-l=0.

故C正确.

【命题热点突破二】圆的方程及应用

1.圆的标准方程

当圆心为(a,b),半径为r时，其标准方程为(x—a)2+(y—与2=/，特别地，当圆心在原点时，方程为9+

y2=产.

2.圆的一般方程

DE[/^+序―4-

x2+)P-+Dx+Ey+F=0,其中Z^+f2—4F>0,表示以(一2，—2)为圆心，2为半径的圆.

例2、圆Y+卜2-2x—8)，+13=0的圆心到直线依+>-1=0的距离为1,则“=()

43厂

(A)——(B)——(C)J3(D)2

34

【答案】A

【解析】圆的方程可化为(X-1产+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得：

I<7+4-114

d=―,=1,解得。=——，故选A.

V7+13

【变式探究】(1)若圆C经过(1,0),(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()

A.(x—2)2+(y±2)2=3

B.(x-2)2+(y*V3)2-3

C.(x-2)2+(y±2)2=4

D.(x-2)2+(y±V§)2=4

(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线hx=-2的右侧，若圆M截直线4所得的弦长为2小，且与

直线/2：2x-小y-4=0相切，则圆M的方程为()

A.(%—l)2+y2=4B.(x+l)2+)a=4

C.%2+(y-l)2=4D.%2+(y+l)2=4

【答案】(1)D(2)B

【变式探究】

(1)经过点45,2),8(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.

⑵已知直线/的方程是x+)，-6=0,4,B是直线/上的两点，且AOAS是正三角形(O为坐标原点)，则△048

外接圆的方程是.

【答案】(1)*-2)2+。-1)2=10(2)(x—2)2+b—2)2=8

【命题热点突破三】直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法.

(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为乩圆的半径为r,则duo直线与圆相交，4=0直线与圆相切，

上直线与圆相离.

Ax+By+C=0,

(2)判别式法：设圆C：(工一。)2+日-力2=凡直线/：Ar+B.y+C=0,方程组^一矫+丫一/二/消去y,得

关于x的一元二次方程根的判别式/,则直线与圆相离=/<0,直线与圆相切=/=0,直线与圆相交=/>0.

2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.

设圆G：(x—ai)2+(y—&i)2=r?>圆C2：(x—。2)2+。一岳)2=6,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位

置关系的判断方法如下：

⑴办八+八20两圆外离；

(2)4=n+两圆外切；

(3)|ri—r21Vden+r20两圆相交；

(4)J=|n—相IS方2)0两圆内切；

(5)0<J<|ri—勿(八打2)0两圆内含.

例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:%2+卜2-12天一14>+60=0及其上一

点42,4)

(1)设圆7^与光轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程：

(2)设平行于。4的直线/与圆M相交于氏C两点，且BC=Q4,求直线/的方程;

(3)设点T(f,O)满足：存在圆〃上的两点P和。,使得方+方=道,，求实数f的取值范围。

【答案】(1)(x-6)2+(y-l)2=1(2)/:y=2x+5或_y=2x-15(3)2-2>/21<r<2+2\/21

(2)因为直线1〃OA,所以直线1的斜率为3a=2.

2-0

设直线1的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线1的距离

|2x6-7+zn||/n+5|

因为=A/22+42=2区

而VC?=/+(生)2,

2

2

grN(m+5)例徂

所以25=--------—+5，角牛得m=5或m=-15.

5

故直线1的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设尸(司,乂),0(%2，%)・

因为A(2,4),T(f,0),羽+9二欢，所以，；一：；；；……①

因为点Q在圆M上，所以—6)2+(%-7)2=25...........②

将①代入②，得(玉T—4)2+(y—3)2=25.

于是点P(.y)既在圆M上，又在圆口一(/+4)了+(丁一3)2=25上，

从而圆(x—6)?+(y—7)2=25与圆口一«+44+(丫-3)2=25没有公共点，

所以5—5KJ[(，+4)—6丁+(3—7)245+5,解得2-2亚4Y2+2©・

因此，实数t的取值范围是[2-2。,2+2"[].

【变式探究】⑴已知直线2%+。-3)加一4=0(,"GR)恒过定点P,若点P平分圆x2+y2—2x—4y—4—0的弦

MN,则弦MN所在直线的方程是()

A.x+y-5=0B.x+y-3=0

C.%-y-l=OD.x-y+l=O

(2)已知P(x,_y)是直线丘+y+4=0(&>0)上一动点，PA,PB是圆C：/+y2—2/=。的两条切线，斗，B是切

点，若四边形PACB的最小面积是2,则女的值为()

画厂

A.3B.2C.2jD.2

【答案】(DA(2)D

【变式探究】

(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为/+尸=—2y+3,直线/过点(1,0)且与直线x—y+l=O垂

直.若直线/与圆C交于A、B两点，则AOAB的面积为()

A.1B.V2C.2D.26

(2)两个圆Ci：N+y2+2依+“2—4=0(〃eR)与。2：乂2+)2—2b-1+按=0(66即恰有三条公切线，则a+b

的最小值为()

A.-6B.-3C.-3巾D.3

【答案】⑴A(2)C

【高考题型解读】

1.圆x2+y2-2x—8y+13=0的圆心到直线<zr+y-l=0的距离为1,贝!I。=()

43厂

(A)——(B)——(C)V3(D)2

34

【答案】A

【解析】圆的方程可化为(x-l)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得：

|«+4-1|4

d=L,-[=1,解得a=——,故选A.

V77T3

2.已知平行直线4:2x+y—1=0,乙：2尤+y+1=0,则4,4的距离.

【答案】2叵

5

[解析】利用两平行线间距离公式得d=2I=[Il=还.

^/277F5

3.已知直线/：,法+》+3加—百=0与圆x2+/=12交于4,8两点，过A,8分别做/的垂线与x轴交于

C,。两点，若AB=2瓜贝HCD|=.

【答案】4

4.(本小题满分12分)设圆/+丁+2x—]5=0的圆心为A,直线/过点8(1,0)且与x轴不重合,/交圆A

于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

⑴证明|£4|+1£用为定值，并写出点E的轨迹方程；

(II)设点E的轨迹为曲线G,直线/交Ci于M,N两点，过B且与/垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边

形MPNQ面积的取值范围.

22

【答案】(I)—+^-=1(ywO)(II)[12,873)

43

【解析】(I)因为|AD|=|AC|,EB//AC,故ZE5O=ZA8=ZAOC,

所以|E8|=|E0,故|以|+|七3|=|以|+|七。|=|/1。|.

又圆A的标准方程为(x+iy+y2=i6,从而[4D|=4,所以|EA|+|E8|=4.

由题设得A(T,0),B(l,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

土+匕=1(yH0).

43

(H)当/与x轴不垂直时，设/的方程为y=Z(x-l)/HO),N(x2,y2).

y=k{x-1)

由，/y2_得(4左2+3)/一8%2%+4%2-]2=0

143

Sk24左2—12

则X]+乙=4左2+3,中2—4&2+3

所以

IMN|=Jl+/|x,-x21=；；)

12

过点8(1,0)FL与/垂直的直线m：y=--(x-1),A到机的距离为7，，所以

kylk-+\

IPQ|=242-(,2)2=4J学二把.故四边形MPNQ的面积

Vda+1Vk-+l

STWP0=12反

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPAQ面积的取值范围为［12,873).

当/与x轴垂直时，其方程为x=l，|MN|=3,|「。|=8,四边形"PNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为［12,86).

5.如图，在平面直角坐标系xO)＞中，已知以M为圆心的圆〃：_?+,2一］2%一14丁+60=0及其上一点

A(2,4)

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于的直线/与圆M相交于氏C两点，且5C=Q4,求直线/的方程；

(3)设点/«,0)满足：存在圆M上的两点尸和。，使得瓦+方=河,,求实数f的取值范围。

【答案】(1)(x-6)2+(y-l)2=1(2)/:y=2x+5或y=2x-15(3)2-2后£t£2+2后

(2)因为直线1〃OA,所以直线1的斜率为"=2.

2-0

设直线I的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线1的距离

|2x6-7+m||/7?.+5|

忑=丁

因为3C==V22+42=275,

而用。2=屋+（空）2,

2

所以25=（”+5）,+5，解得111=5或m=-15.

5'

故直线1的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

⑶设。目,乂）,。（%2，%）・

因为A（2,4）,T«,0）,诬十取二道，所以，；一：；：；……①

因为点Q在圆M上,所以（马-6）2+（%—7）2=25...........②

将①代入②，得（西一54）2+（y—3）2=25.

于是点尸（西，芳）既在圆M上，又在圆口―«+4）了+日—3『=25上，

从而圆（x—6『+（y—7）2=25与圆口—。+4）了+（丁—3）2=25没有公共点，

所以5-54][«+4）-61+（3-7）245+5,解得2—2收4Y2+2直•

因此，实数t的取值范围是[2-2。,2+2A/2T].

X2且

6.一个圆经过椭圆讳+了=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.

解析由题意知圆过（4,0）,（0,2）,（0,—2）三点，（4,0）,（0,一2）两点的垂直平分线方程为y+1=—2（x

-2）,

3但、5（3A225

令y=0,解得x=2，圆心为（2，oj,半径为5.故圆的标准方程为1x—力+丫2=彳.

（3A225

【答案】\x-2）+产=彳

7.在平面直角坐标系xQy中，以点（1,0）为圆心且与直线e—＞一2%一l=0（,〃eR）相切的所有圆中，半径最

大的圆的标准方程为.

【答案】（x—1）2+炉=2

8.平行于直线2x+y+1=0且与圆N+y2=5相切的直线的方程是()

A.2x—y+小=0或2x—y—小=0

B.2x+y+小=0或2x+)-小=0

C.2%—)，+5=0或2》一)，-5=0

D.2x+y+5=0或2x+y—5=0

【答案】D

9.过三点A(l,3),8(4,2),C(l,-7)的圆交)，轴于M、N两点，则|MN|=()

A.2y[f>B.8C.4#D.10

【答案】C

10.已知直线/：x+ay—•l=0(aGR)是圆C：/+炉—41-2》+1=0的对称轴